Gleichungen für den Schnitt zweier Hyperbeln

Autor: K. Rottbrand ©
Stand: 18 NOV 2007
(x - )2/2 - (y - )2/2 = 1
(x - )2/2 - (y - )2/2 = 1
Für die Probe: x0 = , y0 =



Ausgabe
Die Substitutionen x = X + und y = Y +
ergeben die neuen Hyperbelgleichungen:
(X + )2 - (Y + )2 = 1 und X2 - Y2 = 1.
Die Einsetzung der letzten Gleichung liefert nach Isolieren der Wurzel die Gleichung
X2 + X + = * wurzel(1-X2 )
und anschließendem Quadrieren sowie Umordnung:
X4 + X3 + X2 + X + = 0.

Ergebnis d. Probe:
F(x0,y0)=
G(x0,y0)=


Bem.: Im trivialen Fall identischer Kurven gibt es unendlich viele Schnittpunkte. Dies bedeutet das Verschwinden aller Koeffizienten der zu lösenden Gleichung. Das Lösen der Gleichungen für X kann mittels weiterer Programme (quadratische Gleichung, kubische Gleichung, Gleichungen 4.Grades) dieser Page durchgeführt werden.

Die Ausgangsgleichungen lauten:

1. Kurve: (x-a)2/A2 - (y-b)2/B2 = 1

2. Kurve: (x-c)2/C2 - (y-d)2/D2 = 1

Man erhält mittels der Substitutionen x=CX+c, y=DY+d, (x-a)/A = α X + β, (y-d)/B = γ Y + δ, wobei α=C/A, β=(c-a)/A; γ=D/B; δ=(d-b)/B, i.a. Fall die Gleichung 4.Grades: A4X4 + A3X3 +A2X2 +A1X1 + A0X0 = 0. Dazu gehört die Gleichung Y2 = Wurzel(X2-1). Hieraus ergeben sich Werte für x und y. Die Lösungen der Gleichung 4.Grades können mit einem weiteren JavaScripts (Quadratische Gleichung, Kubische Gleichung oder für Gleichungen 4.Grades) ermittelt werden.
Die Koeffizienten der zu lösenden Gleichung sind bestimmt durch: p=α2-γ2, k=2αβ, l=-1+β2+γ2-δ2, m=2γδ in A4=p2, A3=2pk, A2=k2-m2+2pl, A1=2kl, A0=l2+m2.
Hinweis: Es ist erforderlich, die Probe zu machen. Denn, durch das Isolieren der Quadratwurzel und anschließendes Quadrieren können Scheinlösungen entstehen, welche auszugeschließen sind. Dazu setzen wir

1. Kurve: F(x,y) = (x-a)2/A2 - (y-b)2/B2 - 1

2. Kurve: G(x,y) = (x-c)2/C2 - (y-d)2/D2 - 1

Die Probe für eine Lösung (x0,y0) muss F(x0,y0)=0=G(x0,y0) ergeben. Dazu sei bemerkt, dass vor dem im Falle m=0 nicht erforderlichen Quadrieren, die zu lösende Gleichung wie folgt aussieht:
p*X2 + k*X + l = m*wurzel(1-X2 )
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