Gleichung 4. Grades

Autor: K. Rottbrand ©
Stand: 26 OKT 2007
x4 + x3 + x2 + x + = 0

   



Ausgabe

Die kubische Hilfsgleichung für die Aufspaltung in quadratische Gleichungen lautet
y3 + y2 + y + = 0.
Veinfachung mit Substitution y = Y + ergibt die Normalform
Y3 + Y + = 0
Eine reelle Lösung dieser Normalform lautet Y0 =
Dabei gilt für die Diskriminante: q*q/4+p*p*p/27 =
Eine reelle Lösung der urspr. kubischen Hilfsgleichung ist y = .
Die Aufspaltung ergibt die quadratischen Gleichungen
x2 + x + = 0

mit den Lösungen
x1 = + i
x2 = + i

x2 + x + = 0

mit den Lösungen
x1 = + i
x2 = + i



Nach Division durch den führenden Koeffizienten erhält man die Gleichung 4. Grades von der Form: x4 + a x3 + b x2 + c x + d = 0. Dazu gehört die kubische Gleichung: 8 y3 -4b y2 + (2ac-8d) y + (4bd-a2d-c2) = 0.
Dazu wird eine reelle Lösung y berechnet. Man setzt dann |D|=Wurzel(8y+a2-4b).Die multiplikative Aufspaltung in der obigen Gleichung 4.Grades besteht dann aus zwei quadratischen Gleichungen als Faktoren:
[x2 + (a+|D|)/2 x +(y + (ay-c)/|D|)] * [x2 + (a-|D|)/2 x +(y - (ay-c)/|D|)] = 0.

Spezialfall

x4 + x2 + = 0

   

Ausgabe

x12 = + i
x22 = + i

Die Wurzeln lauten (dazu gehören noch die negativen Werte!!):
x1+ = + i
x2+ = + i



Vereinfachung auf Gleichung ohne x3 Term

X4 + X3 + X2 + X + = 0

   


Ausgabe


Die Substitution X = x - ergibt die reduzierte Gleichung
x4 + x2 + x + = 0

Hosted by www.Geocities.ws

1