Cartesische Koordinatensysteme in 2D

Autor: K. Rottbrand ©
Stand: 28 NOV 2005

Drehung von Punkt (x,y) um einen festen Punkt A

Gesucht: Koordinaten des gedrehten Punktes P

Drehpunkt A: xA =		yA =
Punkt P: x =		y =
Drehwinkel φ =

x' =
y' =

Beschreibung:

Drehpunkt ist x_A=a, y_A=b. Das Koordinatensystem bleibt fest.
Der Drehwinkel φ wird gegen die positive x-Achse in Grad gemessen.
Die Koordinaten des zu drehenden Punktes P sind x und y. Die Koordinaten des gedrehten Punktes lauten im xy-System x' und y'. Zum Beispiel wird (2,0) um (1,0) mit φ=90 Grad gedreht, ergibt sich (1,1).

Formeln: Koordinaten von P bei Drehung um Punkt (a,b)

x' = a + (x-a)*cosφ - (y-b)*sinφ
y' = b + (x-a)*sinφ + (y-b)*cosφ

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Drehung des xy-Koordinatensystems um Ursprung

Gesucht: Koordinaten von Punkt P in neuem x'y'-Koordinatensystem

Punkt P: x =		y =
Drehwinkel φ =

x' =
y' =

Beschreibung:

Drehpunkt ist der Ursprung. Ein Punkt P werde im xy Koordinatensystem vorgegeben. Dann werden die Koordinatensystemachsen um den Winkel φ gegen die usprüngliche positive Abzissenrichtung (gehört zu φ=0 Grad) gedreht. Sei z.B. (0,1) fest vorgeben. Dreht man das xy-Sytem um 30 Grad so erhät man für den festen Punkt die x'y'-Koordinaten (½ , ½√3) was etwa (0.5 , 0.866) entspricht.

Formeln: Koordinaten von P im gedrehten x'y'-System

x' = x*cosφ + y*sinφ
y' = y*cosφ - x*sinφ

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Drehung von Gerade ax + by = c um einen festen Punkt A

Gesucht: Gleichung der gedrehten Geraden

Drehpunkt A: xA = yA =

x + y =

Drehwinkel φ =

x + y =

Beschreibung:

Drehpunkt ist (x_A, y_A). Das Koordinatensystem bleibt fest.
Der Drehwinkel φ wird gegen die positive x-Achse in Grad gemessen.
Es werden zwei zu drehende Punkte (x₁, y₁) und (x₁, y₁) auf der Gerade bestimmt. Die Koordinaten der gedrehten Punkte lauten im xy-System (x₁', y₁') und (x₂', y₂').

Formeln: Koordinaten von P bei Drehung um Punkt (x_A, y_A)

x' = a + (x-x_A)*cosφ - (y-y_A)*sinφ
y' = b + (x-x_A)*sinφ + (y-y_A)*cosφ

Die Gerade lautet:

(y₁'-y₂') x + (x₂'-x₁') y = y₁'(x₂'-x₁') - x₁'(y₂'-y₁')

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Drehung des xy-Koordinatensystems um Ursprung

Gegeben: Gerade ax+by=c

Gesucht: Geradengleichung im neuen x'y'-Koordinatensystem

Gerade: x + y =

Drehwinkel φ =

x + y =

Beschreibung:

Drehpunkt ist der Ursprung. Auf der Gerade ax+by=c werden zwei Punkte P₁=(x₁,y₁) und P₂=(x₂,y₂) bestimmt. Dann werden die Koordinatensystemachsen um den Winkel φ gegen die usprüngliche positive Abzissenrichtung (gehört zu φ=0 Grad) gedreht.

Formeln: Koordinaten von P im gedrehten x'y'-System

x' = x*cosφ + y*sinφ
y' = y*cosφ - x*sinφ

Die neue Geradengleichung lautet:

(y₁'-y₂') x' + (x₂'-x₁') y' = y₁'(x₂'-x₁') - x₁'(y₂'-y₁')