Besselfunktionen mit reellem Argument

Autor: Klaus Rottbrand©
Stand: 15 NOV 2007

Bessel 1. Art von Ordnung ν: Jν(r)
Bessel 1. Art von Ordnung n: Jn(r)
Modifizierte Bessel 3. Art von Ordnung ν: Kν(r)     [Macdonald-Funktionen]
Integration und Auswertung von g(x;p,r,s,t,u) über x- Intervall [a,b]
Funktionen und Terme
Mathematische Konstanten
Physikalische Konstanten in SI Einheiten
Ein/Ausgabe von f(x;p,r,s,t,u) an der Stelle x=x0
BOTTOM


Bessel 1. Art von Ordnung ν: Jν(r)

Ordnung ν =
Stelle r =
Zahl der Teilintervalle: N =
Für Einbau in Automatisierung: (0, 0) ≤ (ν, r) ≤ (10 , 100 ) und (0, 0) ≤ (ν, r) ≤ (100, 50 )

Bessel 1. Art von ganzer Ordnung n: Jn(r)

Ordnung n =
Stelle r =
Zahl der Teilintervalle: N =
Für Einbau in Automatisierung sicher abgedeckt: (0,0) ≤ (ν, r) ≤ (100,100)


Modifizierte Bessel 3. Art von Ordnung ν: Kν(r)

Ordnung ν =
Stelle r =
Obere Grenze (fix) b =
Zahl der Teilintervalle: N =
Sicher abgedeckt für Einbau in Automatisierungen ist: (0, 0.1) ≤ (ν, r) ≤ (70, 100) und (0, 2.0) ≤ (ν, r) ≤ (100, 100)

DOWN [Für Nebenrechnungen]
          
Funktionen
          
Konstanten


Integration und Auswertung von g(x; p,r,s,t,u) über ein x-Intervall [a,b] :

Eingabe g(x) =
Obere Grenze b =
Untere Grenze a =
Parameter p =
Parameter r =
Parameter s =
Parameter t =
Parameter u =
Zahl der Teilintervalle: N =
Ausgabe der N+1 Stützstellen (0 = NEIN): 

DOWN [Für Nebenrechnungen]
          
Funktionen
          
Konstanten



Funktionen und Terme
abs acos asin atan
acosh(x) = log(x+sqrt(x*x -1))
  [1 <= x]		 asinh(x) = log(x+sqrt(x*x +1)) atanh(x) =(log(1-x) - log(1+x))/2
  [0 <= x2 < 1]		 cos
cosh(x) = (exp(x) + exp(-x))/2 exp log sin
sinh(x) = (exp(x) - exp(-x))/2 sqr(x) = exp(2 * log(x))     xr=pow(x,r) sqrt tan
tanh(x) = (exp(2*x) -1)/(exp(2*x) +1) 2*p*t*exp(-t*x*t*x)*(1/(1+exp(t*x))-1/(1+exp(t))) p*exp(-r*x*x-2*s*x-t) p*exp(-x*x)
1/p*cos(t*sin(x)-r*x) [r: Integer]
Grenzen 0 bis p=pi: Bessel Jr(t) 		exp(t*log(r))*exp(-r*x+(t-1)*x) [r,t>0]
Grenzen 0 bis ∞: Γ(t) 		1/p*exp(t*cos(x))*cos(r*x) [r: Integer]
Grenzen 0 bis p=pi: Mod. Bessel Ir(t) 		exp(-t*cosh(x))*(cosh(r*x)) [t>0]
Grenzen 0 bis ∞: Mod. Bessel Kr(t)

TOP + DOWN


Mathematische Konstanten
π = 3.141592653589793238462643 π/2 = 1.570796326794896619231322 π/3 = 1.047197551196597746154214 π/4 = 0.7853981633974483096156608
3π/2 = 4.7123889803846898576 4π/3 = 4.1887902047863909846 2π = 6.2831853071795864769 4π = 12.566370616359172953
π1/2 = 1.7724538509055160272 π1/3 = 1.4645918875615232630 π1/4 = 1.3313353638003897127 (2π)1/2 = 2.5066282746310005024
1/π1/2 = 0.56418958354775628694 1/π1/3 = 0.68278406325529568146 1/π1/4 = 0.75112554446494248285 1/π = 0.31830988618379067153
π2 = 9.8696044010893586188 1/π3/2 = 0.17958712212516656168 1/(2π)1/2 = 0.39894228040143267793 ln(π) = 1.1447298858494001741
2/π = 0.6366197723675814 2/π1/2 = 1.1283791670955125 πe = 22.459157718361045473 21/2/π = 0.45015815807855303477
e = 2.7182818284590452353 21/2 = 1.4142135623730950488 31/2 = 1.7320508075688772935 51/2 = 2.2360679774997896964
γ = 0.577215664901532860606512 Γ(1/2) = 1.772453850905516 1r in Grad = 57.295779513082320876798155 1o in Rad = 0.017453292519943295769237

TOP + DOWN

Physikalische Konstanten in SI Einheiten
VakuumLichtGeschwindigkeit[m/s] c = 2.9979250e+8 Elementarladung[C] e = 1.6021917e-19 Erdbeschleunigung[m/s2] g = 9.80665 Gravitationskonstante[Nm2/kg2] G = 6.6732e-11
Avogadrokonstante[mol-1] NA = 6.022169e+23 Elektronenmasse[kg] me = 9.109558e-31 Boltzmannkonstante[J/K] k = 1.380622e-23 Plancksche Konstante[Js] h = 6.626196e-34


Ein/Ausgabe von f(x; p,r,s,t,u) und Auswertung an der Stelle x = x0 :

Eingabe f(x) =  
Eingabe x0 =
Parameter p =
Parameter r =
Parameter s =
Parameter t =
Parameter u =

TOP [Panel Integration]
          
Funktionen
          
Konstanten



Anmerkung:
In unserem Fall wird bei der Integration in N Teilintervallen jeweils die Newton-Cotes Formel vom geschlossenen Typ mit n=10 verwendet und anschliessend über die Teilintervalle aufsummiert. Die Fehlerformel ist entsprechend. N kann man variieren. Diese Formeln wurden auch für die Berechnung von Besselfunktionen verwendet.
Formel: ∫x0x10 g(x) dx = 5h/299376 [16067 (g0 + g10) + 106300 (g1 + g9) - 48525 (g2 + g8) + 272400 (g3 + g7) - 260550 (g4 + g6) + 427368 g5 ] - 1346350/326918592 g(12)(ξ) h13
Literatur
Milton Abramowitz und Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions, Dover (101972), Formel 25.4.20 auf Seite 887 (Integration), Gradshteyn I.S und Ryzhik I.M.: Tables of Integrals, Series, and Products ACADEMIC PRESS,62000, Formel 8.411.4 auf Seite 902 (Jν), Formel 8.432.1 auf Seite 907 (Kν): hier mit ν > −½.
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