Schallmessverfahren


Ortungsproblem aus der Artillierie

Autor: K. Rottbrand ©
Stand: 28 NOV 2005

Von drei bekannten Punkten E, F, G hörte man den Donner eines Geschützes P, und zwar in E: Δt1[s] Sekunden und in F Δt2[s] Sekunden früher als in G. Das Schallsignal breite sich mit der Geschwindigkeit c[m/s] in Meter pro Sekunde aus. EFG bildet ein Dreieck. Die Distanzen seien EF=g[km], GF=e[km], EG=f[km] in Kilometer.



Gesucht ist die Lage des Geschützes P: Die Entfernung x von G, woraus auch die Entfernungen von E und F folgen, sowie die Richtung (Winkel α bei G bezüglich E und P, Winkel β bei G bezüglich F und P).



Eingaben


Schallgeschwindigkeit c[m/s]:
In E: Δt1[s] früher als in G:
In F: Δt2[s] früher als in G:
|GF|=e[km]:
|EG|=f[km]:
|EF|=g[km]:



Ergebnisse

Entfernung |GP|=x[km]:
Formale Lösung für x:
Entfernung |EP|=x-p[km]:
Entfernung |FP|=x-q[km]:
Winkel PGE=α[Grad]:
Winkel PGF=β[Grad]:


Beispiel: e=5km, f=4km, g=8km, δt1=6s, δt2=3s, c=333.333333m/s ergibt p=2km, q=1km, x=18.336km, α=54,42o, β=70.68o.



Formeln:

Distanz der Verzögerungen: p=cΔt1, q=cΔt2

ΔEPG (γ=ε) ΔFPG (γ=φ) ΔEPF (γ=ε+φ)
a; b; c x; x-p; f x-q; x; e x-q; x-p; g
s x+(f-p)/2 x+(e-q)/2 x+(g-p-q)/2
s-a (f-p)/2=u1 (e+q)/2=u2 (g-p+q)/2=u3
s-b (f+p)/2=w1 (e-q)/2=w2 (g+p-q)/2=w3
s-c x-(f+p)/2 x-(e+q)/2 x-(g+p+q)/2


ΔEPG


ΔFPG


ΔEPF


Für ein Dreieck mit den Seiten a, b, c mit s=(a+b+c)/2 und dem Winkel γ gelten:

sin(γ/2) = [(s-a)(s-b)/(ab)]½

cos(γ/2) = [s(s-c)/(ab)]½

sin((ε+φ)/2) = sin(ε/2) cos(φ/2) + cos(ε/2)sin(φ/2)

Die letzte Relation führt auf eine Wurzelgleichung:

x[u3w3]½ = [u1w1]½ [(x-u2)(x+w2)]½ + [u2w2]½ [(x+u1)(x-w1)]½

aus der schließlich eine quadratische Gleichung folgt:

h = u1w1-u2w2+u3w3
k = u1w1(w2-u2)+u2w2 (w1-u1)
m = [u1u3w1w3]½

Wir setzen noch

a = h2-m2
b = 2hk+m2(u2-w2)
c = k2 + m2u2w2

und erhalten die Lösung aus

a x2 + bx +c = 0
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