Y = m x + b Parámetros de la recta:

Y: variable dependiente b: término independiente, ordenada al origen

x: variable independiente m: pendiente o coeficiente angular

Y Q P = (X₀ , Y₀)

(Y-Y₀) Q = (X , Y)

Y₀ P µ

(X-X₀)

b

µ ´

µ es congruente a µ ´ porque son alternos internos.

Tg µ = / Y-Y₀ / = X¹ X₀

/ X-X₀ /

m = Y-Y₀ =

X-X₀

b = Y si X = 0

b = (0,b)

Hay que conocer:

1) m y b: forma paramétrica

2) Tabla de valores: X Y

X₁ 0

X₁: raíz de la función.

Raíz: 0 = m x + b

x = - b m ¹ 0

m

Función afín o lineal: lugar geométrico de los puntos de un plano tal que y = m x + b

y ³ m x + b Inecuación o desigualdad (igualdad condicionada)

y > m x + b

y £ m x + b

y < m x + b

X₂

Y = m x + b

Y = m₁ x + b₁

X₁

Secantes

Un punto común

Solución al sistema P (x,y)

Y = m x + b

Y = m₁ x + b₁

X₂

Y = m x + b

Y = m₁ x + b₁

X₁

Rectas paralelas

m = m₁ b ¹ b₁

Sistema sin solución

X₂

Y = m x + b

Y = m₁ x + b₁

X₁

m = m₁ b = b₁

Coincidentes

Existen infinitos puntos

Polígono convexo:

• Cerrado
• Abierto: infinitas soluciones

Ejercicio 2 A: Restricciones (desigualdades)

4 x₁ + 2 x₂ £ 16

0. £ 8

£ 4 0

4

X₁ y X₂ ³ 0

Ejercicio 2 B: 4 x₁ + 2 x₂ ³ 16

Ejercicio 2 C: 4 x₁ + 2 x₂ = 16

Modelo Geométrico

Modelo algebraico: Zona de factibilidad (convexo)

Sistemas, Restricciones:

1. 2/5 x₁ + ½ x₂ £ 20 X₁ y X₂ ³ 0 Condiciones de positividad
2. 0 x₁ + 1/5 x₂ £ 5
3. 3/5 x₁ + 3/10 x₂ £ 21

Z Max.: 40 X₁ + 30 X₂ Función objetivo

70

Recta 1

Recta 2

Recta 3

40

(0,25) (18.75,25) (25,20) Po

20

10

(0,0) (35,0)

1. 40 0 25

2/5 X₁ / ½ X₂ =20 0 X₁ / 1/5 X₂ = 5

Recta de borde

Polígono convexo: con infinitas soluciones

30 X₂ = - 40 X₁

X₂ = - 40 X₁

1. m = 4/3

Vértice Po (X₁,X₂) / X₁ X₂ E

1. 2/5 X₁ / ½ X₂ =20
2. 3/5 X₁ / 3/10 X₂ = 21

X₂ = 2 (20 – 2/5 X₁) X₂ = 10/3 (21 – 3/5 X₁)

40 – 4/2 X₁ = 70 – 2 X₁

-4/5 X₁ + 2 X₁ = 30

6/5 X₁ = 30

X₂ = 2 (20 – 2/5 * 25)

X₂ = 2 (10)

Z Max.: 40 * 25 + 30 * 20 = 1600

25 20

1. 2/5 x₁ + ½ x₂ £ 20 Recurso se agota 2/5 * 25 + ½ * 20 = 20
2. 0 x₁ + 1/5 x₂ £ 5 1 tonelada remanente 1/5 * 20 = 4 £ 5 sobra 1
3. 3/5 x₁ + 3/10 x₂ £ 21 Recurso se agota 3/5 * 25 + 3/10 * 20 = 21

Nota: restricción redundante, toda restricción que se sale del convexo.

2/5 X₁ / ½ X₂ =20

0 x₁ + 1/5 x₂ £ 5

X₂ = 2 (20 – 2/5 X₁) X₂ = 5 (5 – 0 X₁)

El resultado es mejor como fracción dado que es más exacto que el valor decimal

Ejercicio 32.b.: Base disolvente $60

Z Max.: 40 X₁ + 60 X₂

Z₀ = 40 X₁ + 60 X₂ = 0

X₂ = -40/60 X₁

X₂ = -2/3 X₁ Po ( 75/4 , 25 )

Z = 40 * 75/4 + 60 * 25

Z = 750 + 1500

Z = 2250

Z = 40 X₁ + 50 X₂

X₂ = -40/50 X₁

X₂ = -4/5 X₁

Nota: convexo abierto "Utopía del gerente". Cuanto más se aleja del (0,0) mejor solución. Es una anomalía que se presenta ante un planteo incorrecto: "Problema de maximización"