Juan Camilo Muñoz Castelblanco
Ejercicios de la lectura 3
Baldwin, Douglas. Algorithms and Data Structures : The Science of Computing.
3.4 Consider
the problem of making Robin the robot back up one tile. The precise
preconditions and postconditions for this problem are
as follows:
Preconditions:
·
There
are no obstructions within two tiles of Robin, in any direction
Postconditions:
·
Robin
is one tile behind (relative to its original direction) its original position.
·
Robin
is facing in its original direction.
Prove that each of the following algorithms
correctly solves this problem:
ALGORITHM 1
Algorithm 1
robin.turnLeft();
robin.turnLeft();
robin.move();
robin.turnLeft();
robin.turnLeft();
Precondicion
No hay obstaculos para que Robin se
mueva dos azalejos en cualquier direccion.
Teorema
Despues de que el algoritmo finalice Robin
está una posicion atrás de la posicion
original y está mirando hacia la direccion original.
Demostración:
En las dos
primeras líneas Robin gira hacia la izquierda, es
decir queda mirando en el sentido contrario a la posicion
original.
Luego se mueve
una vez robin.move(); así queda una posición atrás de la original.
Finalmente en
las dos últimas líneas gira hacia la izquierda dos veces y queda mirando en el
mismo sentido de la posición original.
Cuando el
algoritmo finaliza la poscondicion se cumple.
ALGORITHM 2
Algorithm 2
robin.turnLeft();
robin.move();
robin.turnLeft();
robin.move();
robin.turnLeft();
robin.move();
robin.turnLeft();
Precondicion
No hay obstaculos para que Robin se
mueva dos azalejos en cualquier direccion.
Teorema
Despues de que el algoritmo2 finalice Robin
está una posicion atrás de la posicion
original y está mirando hacia la direccion original.
Demostración:
El primer paso
es girar hacia la izquierda, luego Robin se mueve un
tile, al girar a la izquierda y desplazarse una posicion
el robot queda mirando en la direccion opuesta a la
original. Luego vuele a girar a la izquierda y avanza una posicion
y queda ubicado exactamente una posicion atrás de la
original.
Al volver a
girar hacia la izquierda Robin resulta mirando en la
misma direccion de la posicion
original. Esto satisface la poscondicion
ALGORITHM 3
Algorithm 3
robin.turnRight();
robin.turnRight();
robin.move();
robin.turnLeft();
robin.turnLeft();
Precondicion
No hay obstaculos para que Robin se
mueva dos azalejos en cualquier direccion.
Teorema
Despues de que el algoritmo3 finalice Robin
está una posicion atrás de la posicion
original y está mirando hacia la direccion original.
Demostración:
Robin
se mueve dos veces a la derecha y avanza una posicion,
de ésta manera queda una posicion atrás de la posicion original y en sentido opuesto. Al girar dos veces
de nuevo a la derecha el robot queda mirando en la misma dirección de la
posición original, lo cual cumple con la poscondición.
3.5 Explain
why each of the following is or is not a valid use of modus ponens:
1. Birds have wings. Having wings
implies being able to fly. Therefore, birds are able to fly.
Tener alasà
ser capaz de volar
Los
pájaros tienen alas .
Los pájaros son capaces de volar
Aplica correctamente modus ponens puesto que
concluimos la consecuencia del antecedente que es que los pájaros tienen alas.
2. Sue always wears sunglasses when
driving. Sue is driving now. Therefore, Sue is wearing sunglasses now.
Sue
está manejando à
Sue usa gafas de sol
Sue está
manejando ahora .
Sue está usando gafas de sol
Aplica correctamente modus ponens puesto que
concluimos la consecuencia (Sue está usando gafas de
sol) del antecedente.
3.
Dogs
do not have wings. Having wings implies being able to fly. Therefore, dogs can't fly.
Tener alasà
ser capaz de volar
┐
Los perros tienen alas
.
┐ Los perros son
capaces de volar
Aplica correctamente modus ponens. Si negamos el
antecedente concluimos la negación del consecuente.
4.
Birds
fly. Having wings implies being able to fly. Therefore,
birds have wings.
Tener alasà
ser capaz de volar
Los
pájaros vuelan .
Los pájaros tienen alas
En éste caso no se aplica
correctamente modus ponens,
ya que sólo permite deducir la consecuencia del antecedente y no en dirección
contraria (Si los pájaros vuelan entonces tienen alas).
5.
If A and B are both positive, and A < B,
then 1/A > 1/B. 2 < 2.5, and 2.5 < 3. Therefore, 1/2.5 lies between 1/2 and 1/3.
Si A y B son positivos y A <
Bà
1/A > 1/B
Aplicando correctamente modus ponens tenemos:
2
< 2.5 .
1/2 > 1/2.5
2.5 < 3 .
1/2 .5> 1/3
De lo anterior que 1/2 >
1/2.5 > 1/3
6. Any composite number is the product
of two or more prime numbers. 18 is composite.
Therefore, 18 is the product of two or more prime numbers.
Número compuesto à
es producto de dos o más números primos
18
es un número compuesto .
18
es producto de dos o más números primos
Aplica correctamente modus ponens puesto que
concluimos la consecuencia del antecedente.
7.
Any
composite number is the product of two or more prime numbers. 18 is composite. Therefore,
18 = 3×3×2.
Número compuesto à
es producto de dos o más números primos
18 es un número compuesto .
18 = 3 x 3 x 2
Aunque la conclusión es correcta
no se está aplicando adecuadamente modus ponens puesto que no concluimos la consecuencia del
antecedente.
8.
If a
baseball player drops the ball, then he or she is a bad baseball player. I once
saw a college baseball player drop the ball. Therefore,
all college baseball players are bad baseball players.
Jugador de béisbol deja caer la
bola à
Es mal jugador de béisbol
Un jugador universitario de béisbol dejó
caer la bola .
Todos los jugadores universitarios son malos
No aplica correctamente modus ponens puesto que si un
jugador universitario deja caer la bola de béisbol no podemos concluir que
TODOS los jugadores de la universidad son malos jugadores de béisbol.
9. Any person who hand-feeds piranhas
is crazy. Therefore, this book's first author is crazy.
Quien
da de comer de su mano a las pirañas à Está loco
No hay razones suficientes
concluir que el autor principal del libro está loco. No se aplica correctamente
modus ponens.
3.6 Which steps in the correctness proof
for the secondsSinceMidnight method would be invalid
if hour or minute included a fractional part? What if hour were greater than 23, or minute or second greater than 59?
class Time{ private int hour;
private int minute;
private int second;
public void setTime(int h, int m, int s) { hour = h;
minute = m;
second = s; }
public int secondsSinceMidnight() { return (hour * 60 + minute) * 60 + second; }
}
·
Las variables hour,
minute no pueden tener parte fraccionaria, ya que en el algoritmo están
declaradas como private int
y el programa al compilarlo arrojaría una excepción.
Si éstas variables contienen
parte fraccionaria en el método secondsSinceMidnight(), la expresión (hour * 60 +
minute) no computa el número de minutos entre la medianoche y hour:minute:0.
Al mutiplicar el anterior resultado por 60 y sumarlo
con seconds no tendríamos el total de segundos trasncurridos según las exigencias de la poscondición
·
Si la
variable hora fuera mayor que 23 o las variables
minutos o segundos fueran mayores a 59 igualmente la prueba de correctitud estaría bien hecha ya que contempla ésta
restricción. De no ser así no retornaría el número de segundos transcurridos
desde la medianoche inmediatamente anterior hasta el tiempo hour:minute:second.