Teorema de Pitágoras
y sus distintas demostraciones
Pitágoras
fue un filósofo y matemático griego que vivió hacia el año 500 antes de Cristo.
Él descubrió la siguiente
relación: en un
triángulo rectángulo cualquiera, cuya hipotenusa mide a
y los dos catetos miden b y c,
se verifica:
a2=b2+c2
Definición de triángulo
rectángulo: un triángulo se denomina rectángulo cuando uno
de sus ángulos es recto, es
decir mide 90º.
Definición de catetos e hipotenusa: en un triángulo rectángulo los lados que forman el ángulo
recto se
denominan catetos y el lado restante
hipotenusa.
Enunciación
del teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la
hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos. Es decir a2
= b2 + c2
Demostración clásica del teorema de
Pitágoras.
En la figura
siguiente se demuestra el teorema de Pitágoras.
Aparecen en ella
dos cuadrados iguales cuyo lado mide b+c.
En ambos cuadrados hemos colocado, pero de manera diferente, cuatro
triángulos rectángulos iguales cuya hipotenusa mide a y sus
catetos, b y c.
En el cuadrado de
la izquierda, el hueco que queda después de haber colocado los cuatro
triángulos es un cuadrado de lado a, la hipotenusa del triángulo. El
área de ese cuadrado mide por tanto a2.
En el cuadrado de
la derecha, quedan dos huecos cuadrados de lados b y c. Sus
áreas miden por tanto b2 y c2 respectivamente.
Como los cuadrados
originales son iguales, los huecos que quedan en ambos tienen la misma
superficie. En el de la izquierda, a2 y en el de la derecha, b2+c2.
Luego a2 = b2+c2
Distintas
demostraciones gráficas del teorema.
1. ROMPECABEZAS DE HENRY
PERIGAL (1801- 1898)
A
partir de un triángulo rectángulo de catetos b y c
e hipotenusa a, se hace una partición del cuadrado
de lado b
de la siguiente forma: por el centro del
cuadrado se trazan dos segmentos, uno paralelo a la
hipotenusa y el otro
perpendicular a ella. Obteniéndose
así cuatro piezas que
junto al cuadrado de lado c
encajan perfectamente en el cuadrado de lado a.
2. DEMOSTRACIÓN
DE BHÂSKARA
(1114-1185)
El matemático hindú Bhâskara
reconstruyó la demostración del teorema de Pitágoras que aparece en un diagrama
de la Aritmética Clásica China, en el que se representa la más antigua
demostración del teorema, admirada por su elegancia. Bhâskara
expuso esta demostración en su libro Vijaganita
sin añadir más comentarios que el de “observe”. A partir de un triángulo
rectángulo de catetos b y c e hipotenusa a se ha hecho una partición en
cinco partes: cuatro de estas partes son triángulos rectángulos iguales al
de partida y la otra es un cuadrado de lado
b-c.
3. ROMPECABEZAS DE OZANAM
Las cinco piezas que componen este rompecabezas se obtienen
de cortar los dos cuadrados construidos sobre los catetos. Se colocan los cuadrados de lados b y c. Se
construyen dos cuadrados iguales al de lado c situados inferiormente como muestra la figura. Una
vez determinado el punto P
se traza un segmento paralelo a la hipotenusa y uno perpendicular a la
misma por el punto P. Estos
segmentos determinan las cinco piezas que situadas convenientemente encajan
en el cuadrado construido sobre la hipotenusa.
4.
ROMPECABEZAS CON OCHO PIEZAS
En cada uno de los cuadrados construidos sobre los catetos se
traza una diagonal y por los otros dos vértices del cuadrado se trazan
segmentos paralelos a la hipotenusa. Los segmentos anteriores determinan así cuatro partes, en
cada uno de los cuadrados construidos sobre los catetos. Las ocho piezas obtenidas de esta forma
colocadas convenientemente recubren el cuadrado sobre la hipotenusa.
Enlaces:
Realizado por Javier Pérez 2do. Año
de matemática
Geometría
Un teorema
famoso
|
Realizado por Javier Pérez 2do. Año
de matemática |