ALGEBRA LINEAL PARA TODOS

JOSE ARTURO BARRETO, M.A.

THE UNIVERSITY OF TEXAS AT AUSTIN

Los capítulos del libro ÁLGEBRA LINEAL PARA TODOS originalmente fueron producidos con Word. Al convertirlo a HTML no se vén adecuadamente. Para corregir la falta de alineación se sugiere: bájarlos a un archivo en disco en su computador, abrir luego el programa WORD y a continuación abrir los capítulos utilizando “exclusivamente” el menú archivo o alguna opción de WORD. No los abra de otra manera ya que si los abre con el explorer u otra opción que maneje archivos HTML posiblemente no alinearán perfectamente. Si aún no los vé bién vealos con la opción diseño de impresión de WORD.

CAPITULO 8.

Vectores en Rⁿ

Hasta ahora nos hemos limitado al estudio de vectores en dimensiones 2 y 3 con el fín de lograr la mayor claridad posible y mantener la motivación del estudiante. Esperamos que ya esté preparado para un mayor grado de abstracción algebraica ya que el sentido geométrico se puede mantener hasta el espacio R³en el cual nos movemos materialmente. Sin embargo es necesario crear espacios vectoriales abstractos para modelar la realidad, ya que en la práctica los problemas que se deben resolver, generalizando los asuntos y métodos planeados en R² y R³ , constan de cientos, y a menudo, miles de variables x₁, x₂, x₃,x,₄, x₅, x₆,etc.

El espacio vectorial Rⁿ es el conjunto de todos los vectores con n componentes (x₁, x₂, x_3,... , x_n), dotado de las siguientes operaciones:

i) suma de vectores :

Para cada par de vectores x = (x₁, x₂, x_3,... , x_n) e y = (y₁, y₂, y_3,... , y_n), definimos la suma de vectores, denotada por x + y, así:

(x₁, x₂, x_3,... , x_n) + (y₁, y₂, y_3,... , y_n) = (x₁+ y₁, x₂ + y₂, x₃+ y₃ ... + x_n+ y_n)

ii) (pre)multiplicación de un vector por un número. Para cada número a y cada vector

x = (x₁, x₂, x_3,... , x_n), definimos el producto ax, como el vector:

ax = (ax₁, ax₂, ax_3,... , ax_n)

La siguiente lista de propiedades, asemeja a Rⁿ a otros espacios vectoriales abstractos:

i) Para cada par de vectores x, y, x + y = y + x Propiedad conmutativa

ii) Para cada tripla de vectores x, y, z, (x+y)+z= x +(y+z) Propiedad asociativa

iii) Para el vector 0 = (0, 0, ...,0) x + 0 = 0 + x, Existencia de neutro para +.

iv) Para cada vector x, x + (-x) = (-x) + x = 0 Existencia de inversos para +.

v) Para cada par de números a,b y cada vector x a(bx) = (ab)x

vi) Para cada número a y cada par de vectores x, y a(x + y) = ax + ay

vii) Para cada par de números a,b y cada vector x (a + b)x = ax + by

viii) 1x = x

Las siguientes propiedades son evidentes en Rⁿ .

0x = a0 = 0, 0 e R, 0 e Rⁿ

(-a)x = -(ax). Para todo a e R, x e Rⁿ

Si ax = 0, entonces a=0 o x = 0.

Definición: Dados los vectores x₁, x₂, x_3,... , x_k , una combinación lineal de los x_ies una expresión de la forma a₁x₁+ a₂x₂ + a₃+ ... + a_kx_k , a_i e R.

Subespacios en Rⁿ

Un subconjunto S Ì Rⁿ , es un subespacio de Rⁿ , si es cerrado bajo la suma ( y en consecuencia la resta) de vectores y la multiplicación por un número, es decir:

i) Si a c R y x e S , entonces ax e S

ii) Si x e S y y e S. Entonces x + y e S

Ejemplos

i) Es claro que el subconjunto í0ý, que consta sólo del vector 0, es un subespacio, el trivial, (de Rⁿ).

ii) El vector 0 se halla en todo subespacio ya que para cada vector x del subespacio, 0x=0 debe estar en el subespacio.

iii) El conjunto de los vectores sobre una recta que pasa por el origen es un subespacio. En general íaxý o expansiones o contracciones de un solo vector, es un Subespacio.

iv) Si x₁, x₂, x_3,... , x_kson vectores en Rⁿ í a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x_3,+... a_kx_k ý de todas las combinaciones lineales de los x_j, j = 1,2,...,k , es un subespacio denominado, el subespacio generado por í x₁, x₂, x_3,... , x_k ý, denotado por Gen í x₁, x₂, x_3,... , x_k ý.

Por ello, el conjunto generado por un vector Gen íxý, o de las combinaciones lineales de un solo vector, es un subespacio. En R² y R³ tales subespacios corresponden a rectas que pasan por el origen. Si x, y son vectores entonces Gen íx,yý es un subespacio. En R² y R³ tales subespacios corresponden a rectas y planos (si x ¹ y) que pasan por el origen.

v) Si S es un subconjunto, el complemento ortogonal de S, denotado S^{^} , formado por todos los vectores ortogonales a S, es un subespacio. Si S es el subespacio trivial í0ý,entonces S^{^} es todo Rⁿ .

vi) Rⁿ es un subespacio de Rⁿ .

Si x e R²o x e R³, y x ¹ 0. íxý^{^} es una recta ortogonal a x que pasa por el origen Para dos vectores x, y en R³, x ¹ y , íx, yý^{^} es la recta ortogonal al plano generado por o que contiene a x e y , que pasa por el orígen.

Particionando una matriz A de dimension m x n, en sus columnas, vemos que si x es un vector columna, o matriz de dimensión nx1, entonces

Ax = x₁ A₁ + x₂ A₂ + … + x_n A_n ,

donde las x_ison los elementos de la matriz nx1, o sea componentes del vector columna x, y las A_i son las columnas de A.

Es evidente por la igualdad anterior que

íAx | A es una matriz de dimensión mxn y x es una matriz de dimensión nx1ý = íx₁ A₁ + x₂ A₂ + … + x_n A_ný, es precisamente el conjunto generado por las columnas de A.

Con esta nueva terminología, concluimos, y este punto de vista nos ayudará a clarificar muchas situaciones, que el sistema de ecuaciones lineales simultáneas

Ax = b

Tiene solución

Si y sólo sí

x e Gen í A₁ , A₂ , … , A_n ý , o sea

sí y sólo sí x se puede expresar

como una combinación lineal de los vectores columna o columnas de A.

Sin entrar en mayores detalles diremos que el conjunto de las matrices de dimensión nx1, junto con las operaciones de suma de matrices y multiplicación por un escalar (número), es un espacio vectorial, que es isomorfo a Rⁿ en un sentido que aquí no aclaramos pero del cual abusamos cuando por comodidad hemos representado a los vectores columna como vectores fila o vectores en R^n.

Al subespacio generado por las columnas de A, lo denominaremos C(A) o espacio columna de A.

vi) Por ello, si A es una matriz de dimensión mxn, el espacio generado por las combinaciones lineales de las columnas de A, Gen (í A₁ , A₂ , … , A_n ý) = C(A), es un subespacio del espacio vectorial de las matrices de dimensión m x 1.

vii) Si A es una matriz de dimensión mxn, se define el núcleo de A, como el conjunto de los vectores columna x, tales que Ax = 0. (Al sistema de ecuaciones Ax = b, se le asocia el sistema de ecuaciones Ax = 0, el cual se denomina sistema homogéneo asociado. Esta asociación es conveniente puesto que de ella salen importantes resultados teóricos. Por ello el conjunto de las soluciones del sistema homogéneo Ax = 0, es un conjunto de gran importancia teórica).

El conjunto N(A) = íx | Ax = 0ý

Es un subespacio del conjunto de las matrices de dimensión n x 1.

Al conjunto N(A) o conjunto de las soluciones del sistema homogéneo Ax = 0, se le denomina el núcleo de A. Calcular el núcleo de A corresponde ,particionando la matriz en sus columnas A_i , a hallar los vectores columna

x₁

x = x₂

x_n

tales que x₁ A₁+x₂ A₂ + ... + x_n A_n = 0 (*)

Como se ha visto, plantear una ecuación como (*), se utiliza entre otras cosas para averiguar la independencia lineal de las columnas de A (estudiadas como elementos del espacio vectorial C(A)).

Muchos resultados prácticos se logran efectuando estudios teóricos sobre Rⁿy sus espacios isomorfos. Por ello muchos autores parten del estudio general de los espacios vectoriales para concluir importantes resultados generales tanto de importancia teórica como práctica. Esta tentación, la de generalizar tempranamente, la hemos resistido por razones pedagógicas y de comprensión de los lectores y estudiantes. Sin embargo, tales generalizaciones son parte del proyecto “Álgebra Lineal para Todos” y por lo tanto aparecerán en la WEB como apéndices a este texto, lo cual permitirá que se utilice en el futuro para cursos avanzados para estudiantes de Ciencias básicas.

Uno de nuestros apéndices, cuyos resultados se utilizarán en este libro básico, se dedicará al estudio del rango de una matriz y sus aplicaciones, que son de particular importancia.

viii) Si A es una matriz de dimensión mxn, y b ¹ 0 es un vector columna o matriz de dimensión nx1 , el conjunto

íx | Ax = b, b ¹ 0ý

no es un subespacio de Rⁿ .

Bases

Sea S un subespacio . Una base V = ív₁ , v₂ , … , v_ký Ì S es un subconjunto de k vectores de S, tales que:

i) Los vectores v₁ , v₂ , … , v_kson linealmente independientes.

ii) Cada vector v de S se puede expresar como una combinación lineal v =a₁ v₁ + a₂ v₂ + … + a_kv_k de los vectores v_i o lo que es equivalente S = Gen í v₁ , v₂ , … , v_k ý = Gen(V).

Consecuencias

A partir de las definiciónes pueden concluirse los siguientes resultados (ver apéndice) en la página Web www.geocities.com/laboticaxx1 del proyecto “Algebra Lineal para Todos”.

Sea S un subespacio

i) Si V es una base de S, cada vector u de S se puede expresar, de manera única, como una combinación lineal de los vectores base.

ii) Si í v₁ , v₂ , … , v_p ý es un conjunto de vectores linealmente independientes de S y ív₁ , v₂ , … , v_q ý es un conjunto de generadores de S ( o sea Gen ív₁ , v₂ , … , v_qý=S) entonces p £ q.

iii) Todo subespacio S ¹ í0ý, posee una base

iv) Dos bases de S tienen el mismo número de elementos

Dimensión de un subespacio

Como todas las bases de un subespacio tienen el mismo número de elementos, k, definiremos tal número como su dimensión. Para calcular la dimensión de un subespacio, basta con contar el número de elementos de cualquier base.

Para completar la definición de dimensión, definiremos:

Dimensión de í0ý = 0.

Ejemplos

i) Los vectores e₁ = (1,0) y e₂ = (0,1) son una base de R² . Luego R² es de dimension 2.

ii) Los vectorese₁= (1,0,0), e₂ = (0,1,0) y e₃ = (0,0,1) son una base de R³ . Luego R³es de dimensión 3.

iii) Los vectores e₁= (1,0,..., 1), e₂ = (0,1,0,...,0), ... , e_k = (0,0,..,1,...,0), ..., e_n = (0,0,..,0,...,1) son una base de Rⁿ . Luego Rⁿes de dimensión n.

iv) El conjunto de los vectores, situados sobre una recta que pasa por el origen es de dimensión 1. Por qué?.

v) Un plano en R³ que pasa por el origen tiene dimensión 2. Por qué?

Aplicación

Hallemos la dimensión del subespacio de las soluciones del sistema homogéneo

2x - y + z = 0 x + y - z = 0

x - y + z = 0

Este sistema es el sistema homogéneo asociado a un sistema de ecuaciones que fue planteado como ejemplo en el capítulo 3, el cual tiene infinitas soluciones tal como se puede y conviene repasar (revise el sistema no homogéneo, correspondiente, planteado en el capítulo 3).

La matriz de los coeficientes es

2 - 1 1

A = 1 1 - 1

1 -1 1

Como see comentó hace poco, una solución

x₁

x = x₂

x₃

es tal que

(*) x₁ A₁+ x₂ A₂+ x₃ A₃= 0

donde las A_ison las columnas de A.

Por lo tanto, resolver el sistema homogéneo Ax = 0 , es equivalente a probar

i) 0 e Gen (íA₁, A₂, A₃ý). Lo cual es siempre verdad ya que Gen (íA₁, A₂, A₃ý) es un subespacio y 0 pertenece a todo subespacio.

ii) Hay que hallar los x_ique satisfacen (*)

Podemos mirar ahora el problema desde este nuevo punto de vista.

En el capítulo 3, la matriz de los coeficientes A fue convertida a la forma escalonada, en este caso, tringular superior

2 -1 1

U = 0 3 – 3

0 0 0

Si Q es el producto de las matrices elementales que produjeron los ceros, en su orden, Q es una matriz no singular por ser un producto de matrices elementales ( no singulares), entonces , particionando adecuadamente a U en sus columnas U ₁ U ₂U ₃ y a partir de la igualdad

QA = U

Obtenemos

Q A ₁ = U ₁Q A ₂ = U ₂Q A ₃ = U ₃

Donde las A _ison las columnas de A.

Resolver (*) que es resolver

x₁ A₁+ x₂ A₂+ x₃ A₃= 0

es equivalente a resolver

(**) x₁ QA₁+ x₂ QA₂+ x₃ QA₃= 0

o sea, resolver

x₁ U₁+ x₂ U₂+ x₃ U₃= 0, (***)

lo cual termina siendo un sistema de ecuaciones lineales, triangular o en algunos casos trapezoidal superior.

Al plantear el sistema de ecuaciones a partir de (***) , llegamos a :

2 -1 1

x₁ 0 + x₂ 3 + x₃ –3 = 0

0 0 0

Como una solución es x₁ = 0, x₂=1 x₃= 1,

que de paso es una solución del sistema homogéneo, concluimos que los vectores columna

U ₁ , U ₂, U ₃ son linealmente dependientes,

lo cual garantiza a partir de (***) por ser Q no singular(por que?), que las columnas originales A_1.. , A_2, A₃lo eran.

Mas sin embargo, puede verificarse que el conjunto í U ₁ , U ₂ ý es linealmente independiente y por lo tanto lo son A_1
yA₂. Por la relación entre (*) y (***) por intermedio de (**), al ser la matriz Q no singular.

Se puede probar que en este caso íA₁ A₂ý es una base de Gen (íA₁ , A₂ , A₃ý) el espacio generado por las columnas de A, el cual es por lo tanto de dimensión 2. Este número se llama el rango de A y corresponde al númerol máximo de columnas de A linealmente independientes.

El número de variables x_i , que pueden tomar valor arbitrario (en este caso) es 1.

Este último número coincide con la dimensión del Núcleo de A, denominada nulidad ,nul(A) o sea la dimension de

íx | A x = 0 ý

En este ejemplo se ha cumplido un resultado teórico que dice:

Sea A una matriz de dimensión mxn, entonces:

(!) Rango (A) + nul (A) = n

El resultado teórico (!) señala que los grados de libertad (nul(A)), dependen del rango de A.

Si el sistema de ecuaciones es mxn y rango(A) = n, o sea, si las columnas de A son linealmente independientes, entonces nul(A) = 0 y el conjunto de soluciones del sistema homogéneo se reduce a la solución trivial í0ý. En este caso, el sistema tiene solución única x = 0.

Las relaciones entre rango(A) y la no singularidad o invertibilidad de una matriz cuadrada A serán estudiados en detalle en los apéndices de “Álgebra Lineal para todos”, que puede consultar en la página Web: www.geocities/laboticaxx1

Proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. Existencia y construcción de bases ortogonales

El producto interno de vectores se generaliza a Rⁿ de manera natural así:

x = (x₁, x₂, x_3,... , x_n) e y = (y₁, y₂, y_3,... , y_n) son vectores en Rⁿ , se define el producto escalar o producto interno, denotado por x . y o < x, y > como:

x . y = < x , y > = x₁ y₁ + x₂ y₂ + x₃ y₃ +_,... + x_n y_n

La norma de x, denotada por |x| se define como:

|x| = Ö( x₁ ² + x₂ ² + x₃ ² + … + x_n ² )

Todas las propiedades algebraicas de la norma y del producto interno que estudiamos en R²y R³ y las relaciones entre la norma y el producto interno se cumplen en Rⁿ , salvo los resultados geométricos que no se pueden modelar para n > 3.

El siguiente proceso de ortogonalización se puede aplicar a partir de R² . Si en R² tomamos dos vectores v_{1 y}v₂, diferentes de 0, no colineales, y definimos

u₁ = v₁y u₂ = v₂ – (< v₂ , u₁ > / < u₁ , u₁ > ) u₁

tenemos que: < u₁, u₂> = < v₁, v₂ > - (< v₂, v₁ > < u₁ , u₁ > / < u₁ , u₁ >) =

= < v₁, v₂ > - < v₂, v₁ > = 0.

Luego u₁es ortogonal a v₂ .

Además si tenemos k vectores v₁ , v₂ , … , v_{k ,}que son ortogonales entre sí o sea que

< v_i , v_j > = 0 si i ¹ j.

El conjunto ív₁ , v₂ , … , v_k ý es linealmente independiente ya que si

a₁ v₁ + a₂ v₂ + a₃ v₃ + ... + a_k v_k = 0

entonces, para probar que necesariamente a₁ = a₂= a₃= a_n= 0

lo cual garantiza la independencia lineal , basta con utilizar el producto interno sucesivamente así:

0 = < v₁ , 0 > = < v₁ , a₁ v₁ + a₂ v₂ + a₃ v₃ + ... + a_k v_k > =

= a₁ <v₁ , v₁ >+ a₂< v₁ , v₂> + a₃ <v₁ , v₃ > + ... + a_k < v₁ , v_k >=

= a₁ <v₁ , v₁ >

ya que los otros productos internos dan 0 por ortogonalidad. Como < v₁ , v₁ > = | v₁ | ² ¹ 0, concluimos que a₁ = 0. De manera sucesiva se multiplica la combinación lineal igualada a 0 por v_kpara probar que a_k= 0, k= 2,...,n.

En consecuencia: todo conjunto ortogonal de vectores diferentes de 0, es linealmente independiente.

Los vectores así construidos en R² . Son linealmente independientes y como R² es de dimensión 2, hemos construido una base de R² .

El vector u₂, se obtiene restando a v₂, su proyección (< v₂, u₁> / < u₁, u₁ >) u₁ , así:

v₂ – l u₁

v₂ u₁

l u₁l = < v₂, u₁> / < u₁, u₁ >

Se vé cómo geométricamente, los vectores son ortogonales en R² .

En R³ , podemos construir los primeros dos vectores u₁ y u₂. El vector u₃se obtiene al restarle a v₃su proyección sobre el plano generado por u₁y u₂ así:

u₃ = v₃ – (< v₃ , u₂ > / < u₂ , u₂ >) u₂- (< v₃ , u₃ > / < u₃ , u₃ >) u₃

El proceso se ejemplifica en el gráfico siguiente. El vector u₃es ortogonal al plano que contiene a u₁y a u₂ .

v₃

u₃

u₂

u₁

El nuevo vector u₃ es ortogonal a u₁ y u₂ lo cual puede probarse efectuando <u₁ , u₃> y < u₂ ,u₃> , recordando que < u₁ , u₂ > = 0, ya que u₁ y u₂ ya son ortogonales.

La construcción de u_kse hace, a partir de v_k,después de que se han definido los vectores mutuamente ortogonales u₁ , u₂ , u₃ , ... , u_k-1 así:

u_k= v_k– (<v_k, u₁> / <u₁, u₁>) u₁ – (<v_k, u₂> / <u₂, u₂>) u₂ – ... - (<v_k, u_k-1> / <u_k-1, u_k-1>) u_k-1

Si en particular, arrancamos de una base v₁ , v₂ , … , v_ken un subespacio de dimensión k, obtendremos una base ortogonal. Si dividimos cada uno de estos vectores por la norma de cada uno de ellos, obtenemos una base ortonormal.

Este proceso de ortogonalización denominado de Gram- Schmidt nos permite asegurar que todo subespacio de dimensión finita con producto interno, posee al menos una base ortogonal (u ortonormal).

Solución de sistemas de ecuaciones lineales por mínimos cuadrados

En base a los comentarios de este capítulo, el sistema de ecuaciones Ax = b, A de dimensión mxn, tiene solución si y sólo si b e Gen íA₁ , A₂ , A_ný o sea al espacio generado por las columnas de A.

En el caso en que Ax = b, no tiene solución, calculamos la proyección b de b sobre

Gen íA₁ , A₂ , A_ný. El sistema de ecuaciones Ax = b siempre tiene solución.

Veamos un ejemplo en R² .

Claramente el sistema de ecuaciones 2x + y = 1

2x – y = 2

x + y = 1

Al ser resuelto por Gauss, nos lleva a:

2 1 1 º 2 1 1 2 1 1

2 -1 2 0 -2 1 0 -2 1

1 1 1 0 ½ ½ 0 0 ¾

El sistema es por lo tanto inconsistente.

2 1

A partir de los vectores columna v₁= 2 v₂= -1

1 1

construimos. u₁ = v₁ ,

7/9

Ahora: u₂ = v₂ - < v₂ , u₁ > / < u₁ , u₁ > u₁ = v₂ – (1/9) v₁ = -11/9

8/9

7 7/9

Utilizando u₂= -11 en lugar de -11/9

8 8/9

ya que cualquier vector ortogonal diferente de 0 puede sustituirse por otro en su misma dirección, tenemos:

b = (< b, u₁ > / < u₁ , u₁> ) u₁ + (< b, u₂ > / < u₂ , u₂> ) u₂

2 7 35/26

= (7/9) 2 + (-7/ (26×9) ) - 11 = 49/26

>1 8 14/26

Ahora, en lugar de tratar de resolver el sistema de ecuaciones inconsistente

Ax = b,

procedemos a resolver ahora el sistema, que siempre tiene solución

Ax = b ,

En donde b es el vector proyección de b en el espacio generado por las columnas de la matriz A, el cual acabamos de calcular. En este caso el nuevo sistema sería:

2 x + y = 35/26

2x - y = 49/26

x + y = 14/26

cuya solución es x = 21/26 , y = -7/26.

ALGEBRA LINEAL PARA TODOS

Subespacios en Rn

Ejemplos

Bases

Dimensión de un subespacio

Aplicación

Solución de sistemas de ecuaciones lineales por mínimos cuadrados

Subespacios en Rⁿ