Vectores en R2

Vectores en R²

Un vector o vector fila es una pareja ordenada (x , y) donde x e y son números reales. El conjunto de todos los vectores

{ (x,y) | x e R , y e R}

se denomina R².

Sobre un eje de coordenadas se representan por flechas con origen en (0,0) y extremo en (x,y). Para distinguir a los vectores y diferenciarlos de las coordenadas de sus extremos, que se denotan de la misma manera, usaremos la siguiente notación

v = (x,y), denota al vector y V (x,y) , denota el punto extremo

Por comodidad tipográfica denominaremos al vector v , de aquí en adelante por v.

X V(x,y)

v Y

En el conjunto R² , definimos las operaciones suma de vectores, resta de vectores, y multiplicación por un escalar (número real)., así:

Suma: Si u = (u₁, u₂) y v = (v₁, v₂), definimos u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂)

Resta: Si u = (u₁, u₂) y v = (v₁, v₂), definimos u - v = (u₁ - v₁, u₂ - v₂)

Multiplicación por un escalar:

Suma: Si v = (v₁, v₂), y c e R, definimos c v = (c v₁, c v₂)

Ejemplos

u = (2, 1) y v = (1, 3), u + v = (2 + 1, 1 + 3) = (3,4)

u - v = (2 - 1, 1 - 3) = (1,-2)

v - u = (1 - 2, 3 - 1) = (-1,2)

3u = ( 3×2,3×1) = (6,3)

-u = -1(2,1) = (-2,-1)

(1/3) v = 1/3 (1,3) = (1/3,1)

La resta es realmente una suma, ya que por ejemplo,

u – v = u + (- v) = (2, 1) + (-1,-3) = (2-1,1-3) = (1, -2)

Aceptaremos los siguientes principios o propiedades de las operaciones así definidas:

u + v = v + u Propiedad conmutativa

u + (v + w) = (u + v) + w Propiedad asociativa

u + 0 = 0 + u = u 0 es el elemento neutro 0 = (0,0).

c (u + v) = c u + c v

c ( d u ) = (cd) u.

Estas operaciones con sus leyes le dan a R² la estructura de espacio vectorial.

Gráficamente las operaciones de suma y resta se representan y efectúan gráficamente siguiendo la conocida ley del paralelogramo, como lo demuestran las siguientes figuras.

v u+v v v u-v

u u

-u X -v u-v

Notese que el vector u-v es paralelo y está en la dirección de la flecha que va de v a u, y no de u a v.

Para un vector u = (u₁, u₂), definimos la norma, longitud o módulo de u así

P Siguiendo el teorema de Pitágoras:

u₂ïuï u₂ïuï= Ö (u₁² + u₂²)

O u₁

Propiedades de la Norma.

|u| = 0 si y sólo sí u = 0.

|cu| = c|u|, para todo número c.

|u+v| £ |u| + |v|. Desigualdad triangular

Nota: La longitud o norma del vector kv, en donde k Î R, es k “veces” la longitud

o norma del vector v.

Ocasionalmente nos referiremos al vector u, como el vector OP (vease la figura anterior), utilizando los nombres de sus extremos.

Dependencia e independencia lineal

Los vectores u e R² , v e R² son linealmente dependientes si existe k Î R, tal que u = kv, o v = ku, de lo contrario se dicen linealmente independientes.

Geométricamente u y v son linealmente dependientes en R², si y sólo si, están sobre la misma recta, como en los siguientes gráficos:

u v v

La pareja v, 0, donde v es cualquier vector y 0 es el vector nulo, es linealmente dependiente puesto que 0 = 0v, cualquiera sea v.

Si dos vectores u y v son linealmente independientes y

(*) k₁u + k₂v = 0, necesariamente k₁= k₂= 0.

Esto se concluye ya que si alguno de los dos, digamos k₁es tal que k₁¹ 0, podríamos dividir por él, concluyéndose que u + (k₂/ k₁)v = 0, luego u = - (k₂/ k₁)v lo cual contradiría la independencia lineal de u y v. Lo mismo sucedería si k₂¹ 0.

La independencia lineal de u y v, que a nivel geométrico se traslada al hecho de que los vectores no estén sobre la misma recta o sean paralelos o colineales y que a nivel algebraico se expresa en la condición (*) anterior, tiene interesantes aplicaciones geométricas.

Proposición: Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.

He aquí la justificación vectorial.

A partir del siguiente gráfico

u y = u- v

x = u+v

Basta con probar que el punto P se encuentra en el punto medio del vector x = u+v, y del vector

y = u – v, o sea que

OP = (1/2) x y PQ = (1/2) y

Es evidente, del gráfico que para algunos valores k₁y k_2,,

k₁x + k₂y = u. Debemos concluir que k₁= k₂= ½.

Ahora: k₁x + k₂y = k₁(u + v) + k₂(u – v) = u,

de donde se concluye que

(k₁ + k₂- 1) u + (k₁ - k₂) v = 0,

como u y v son vectores linealmente independientes, por no estar sobre la misma recta, entonces por (*),

k₁ + k₂- 1 = 0 y k₁ - k₂= 0,

de donde se concluye que k₁ = k₂ = ½ .

Probaremos ahora la siguiente proposición: Las medianas de un triángulo se cortan en un punto cuya distancia al vértice está a 2/3 de la distancia del vértice a la base.

Discutiremos la proposición a partir de la figura siguiente.

M₂

v y M₁

x u - v

A u B

Sean los vectores x = A M_1,, y = M₂ B

Puesto que M₁ y M₂ son puntos medios de CB y AC, respectivamente, tenemos que para un par de valores k₁ y k_{2 ,}

(**) k₁x + k₂ y = u.

Para probar nuestra proposición debemos concluir que k₁ = k₂= 2/3.

Como M₁ y M_2,son puntos medios, tenemos que : x + (1/2) (u – v) = u y (1/2) v + y = u.

Luego x = (1/2) u + (1/2) v e y = u – (1/2) v

Reemplazando en (**), concluimos:

k₁((1/2) u + (1/2) v ) + k₂ ( u – (1/2) v ) = u.

De donde concluimos: ( (1/2) k₁+ k₂ – 1 )u + ( (1/2) k₁– (1/2) k₂ ) v = 0

Por la independencia lineal de x e y concluimos:

(1/2) k₁+ k₂ – 1 = 0, k₁– k₂= 0.

Luego: k₁= k₂ = 2/3.

Producto interno o escalar

Para dos vectores u = (u₁, u₂) y v = (v₁, v₂), definimos el producto interno o producto escalar de u y v, y lo denotaremos u . v o < u , v > , como

u . v = < u , v > = u₁v_{1 +} u₂v₂

El producto escalar de u = (1,2) y v = (3,4), es por lo tanto (1 x 3) + (2 x 4) = 3 + 8 = 11.

Por lo tanto: u.u = < u,u > = u₁ x u₁+ u₂ x u₂ = ( u₁ )² + ( u₂)² = ïuï²

Y ïuï = 0 , si y sólo si, u. u = < u,u > = < k₁u + k₂v ,w > = k₁<u,w> + k₂<v,w>² = 0

Propiedades del producto interno o escalar de vectores

< u,u > = 0 si y sólo si u = 0

< u,v > = < v,u >

El producto interno en R²es una función multilineal (bilineal en este caso), en el siguiente sentido

< u,v + w> = < u,v > + < v,w > < ku,v > = k< u,v >

< u + v,w > = < u,w > + < v,w > < u,kv > = k< u,v >

De aquí se concluye

< k₁u + k₂v ,w > = k₁<u,w> + k₂<v,w>

< u , k₁v + k₂w > = k₁<u,v> + k₂<u,w>

< u + v, w + z > = <u,w> + <u,z> + <v,w> + <v,z>

y otras combinaciones más como:

< u, v + w + z> = <u,v> + <u,w> + <u,z>

La multilinealidad del producto interno tiene muchas aplicaciones teóricas y prácticas. Esta multilinealidad ya se había manifestado en la función determinante (por filas y columnas).

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La trigonometría nos permite utilizar el producto escalar en la formulación y solución de problemas geométricos. El siguiente resultado es de gran ayuda.

u.v = ïuïïvïcos q

Donde q es el ángulo formado por los vectores u y v.

La figura que sigue nos ayudará a probar la proposición.

u v - u q v

Por la ley de los cosenos: ïv – uï²= ïuï²+ ïv ï²- 2ïuïïvïcos q (*)

Por otra parte: ïv – uï²= < v – u, v – u> = < v , v > - < v , u > - < u , v > + < u , u > =

ïuï²+ ïv ï²– 2 ïuï²+ ïv ï²– 2 < u , v > (*)

Igualando las dos ecuaciones denotadas por (*), concluimos el resultado deseado.

De u.v = ïuïïvïcos q, concluimos

cos q = (u.v) / (ïuïïvï)

A partir de los siguientes resultados que se basan en la trigonometría, resolveremos algunos problemas geométricos con ayuda del álgebra de vectores, la norma y el producto interno.

ïuï

u ïuïsen q,

ïuïsen q,

Recuerde, en el triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo tiene una norma o longitud: ïuïsen q,

El lado adyacente o proyección de la hipotenusa: ïuïcos q,

Ejemplo

Calcular el área del triángulo de vértices A(1,1), B(3,2),C(2,3)

3 C(2,3)

2 v h

B(3,2)

1 ^q u

A(1,1)

1 2 3

Por lo tanto: v = (2,3) – (1,1) = (1,2) u = (3,2) – (1,1) = (2,1)

Del gráfico, deducimos que

h = ïvïsen q,

Luego el área S del triángulo es: ½ ïuï h = ½ ïuïïvï sen q,

Como cos q = < u,v> / (ïuïïvï) = (2x1 + 1x2) / (Ö(4+1)Ö(1+4)) = 4/5

Como sen ²q + cos ²q = 1, concluimos que sen ²q = 1 – 16/25 = 9 / 25. Luego sen q = 3/5.

Por consiguiente S = ½ Ö5 Ö5 (3/5) = ½ x 5 x 3/5 = 3/2.

Verifiquemos la respuesta siguiendo el método que aprendimos en la sección de determinantes

S = ½ 1 3 + 3 2 + 2 1 = ½ ( (-1) + 5 –1) = ½ x 3 = 3/2.

1 2 2 3 3 1

Lo cual corrobora nuestra respuesta.

Ejemplo

Hallaremos el ángulo entre los vectores u = (2,1) y v = (1,-4)

Solución

<u,v> = 2x2 – 1x4 = 0. Luego cos q = 0. Por lo tanto q = 90°.

Conclusión: Los vectores u y v son perpendiculares.

Problema: Halle el ángulo entre los vectores u = (Ö3,1) y v = (1, Ö3)

Solución: u. v = Ö3 + Ö3 = 2Ö3. ïuï = ïvï = Ö(3 + 1) = 2.

Luego: cos q = (u.v) / (ïuïïvï) = 2Ö3 / (2x2) = Ö3 / 2

Por consiguiente, sabiendo que sen 30° = ½, podemos construir la figura:

2 1

30°.

Ö3

Concluimos entonces que el ángulo entre los vectores es de 30°.

Matrices de rotación

Si tenemos un lugar geométrico en un eje de coordenadas y queremos saber su ecuación en otro eje de coordenadas que está rotado respecto al primero, aparecen las matrices de rotación, las cuales han jugado un papel muy importante en la matemática numérica.

Sea V = (Ö3,1) un vector cuyas coordenadas corresponden a un eje de coordenadas X’ – Y’, el cual está rotado un ángulo q respecto al eje X – Y, como lo indica la figura.

Y’ y V(Ö3,1) = V(x₁, y₁) y₁ q v x₁ X’ P Q q x X

Calculemos las coordenadas V(x,y) respecto al eje X – Y.

Es claro que: (1) x = x₁cos q - y₁sen q = 3cos q - sen q ,

y = x₁sen q + y₁cos q = 3sen q + cos q

Las ecuaciones (1) son equivalentes matricialmente a:

x cos q - sen q x₁

y sen q cos q y₁

donde las components (x,y) y (x₁, y₁), en los diferentes ejes, se han expresado como los vectores columna o matrices 2x1.

x y x₁

y y₁

La matriz cos q - sen q es una matriz de rotación. Luego si q = 30°

sen q cos q

x cos 30° - sen 30° Ö3 Ö3/2 -1/2 Ö3 1

= = =

y sen 30° cos 30° 1 1/2 Ö3/2 1 Ö3

Por lo tanto la expresión del vector Ö3 de X’-Y’ con respecto a X-Y es 1

1 Ö3

Las matrices de rotación definidas por

cos q - sen q

R_q=

sen q cos q

Tienen entre otras propiedades la siguiente

cos q - sen q cos q sen q cos² q + sen ² q cos q sen q - sen q cos q

R_qR_q^T = =

sen q cos q - sen q cos q cos q sen q - sen q cos q sen ² q + cos² q

1 0

= = I Luego R_qR_q^T = I, por lo tanto son invertibles y además R_q^-1= R_q^T

0 1

Las matrices con la propiedad de que su matriz inversa es precisamente la transpuesta, como se señala en las expresiones en negrilla, se denominan matrices ortogonales.

cos q -sen q

Además, los vectores columna R_q⁽¹⁾ = R_q⁽²⁾ = o escritos en forma convencional

sen q cos q

como R_q⁽¹⁾ = (cos q , sen q) . y R_q⁽²⁾ = (- sen q cos q ), tienen la propiedad

< R_q⁽¹⁾ , R_q⁽²⁾ > = cos q (- sen q ) + sen q (cos q ) = 0, por lo tanto son ortogonales o perpendiculares entre sí.

Además ï R_q⁽¹⁾ ï = ïR_q⁽²⁾ ï = Ö( sen ² q + cos² q) = 1

Por lo tanto además de ser ortogonales entre sí, son unitarios o de norma igual a 1.

Se dicen por lo tanto ortonormales.

Por lo tanto las matrices de rotación son matrices ortogonales, formadas por columnas normalizadas.

Las matrices ortogonales de cualquier dimensión, han jugado un rol muy importante en el desarrollo del álgebra matricial numérica donde a partir de los trabajos pioneros de Wilkinson , Householder y otros se han desarrollado algoritmos estables para realizar cálculos numéricos. Este tema será tratado en apéndices sobre ortogonalidad y estabilidad. Además las encontraremos cuando estudiemos el algoritmo QR para el cálculo de valores propios y en la solución de problemas por mínimos cuadrados..

Formas cuadráticas

Utilizando la notación de los vectores (x,y), en la forma x como vectores columna, estudiaremos las expresiones de la forma: y

X^TAx , en donde A es una matriz simétrica.

1 2

Veamos un ejemplo: Si A = , la forma cuadrática sería

2 -2

1 2 x x + 2y

x^TAx = x y = x y = (x² + 2xy + 2xy -2y² ) = x² + 4xy - 2y²

2 -2 y 2x – 2y

en donde se aplica la constumbre de no distinguir las matrices de orden 1, de los escalares cuando ello no se presta a confusión como en este caso. La forma cuadrática termina siendo una forma algebraica en x e y.

Nótese que nos hemos tomado la libertad de hablar de la componente x del vector x = y

Cuando hablamos de la forma cuadrática x^TAx, nos referimos al vector x con dos componentes, una de las cuales lleva desafortunadamente el mismo nombre.

Como x^TAx es una matriz de orden 1, concluimos que (x^TAx)^T = x^TAx. Además (x^TAx)^T = x^T A^T(x^T)^T=

x^T A^Tx . Por lo tanto, si B = (1/2)(A+ A^T) , entonces B es una matriz simétrica y además

x^T Ax = x^T Bx o sea que la matriz B, simétrica, produce la misma forma cuadrática.

Por ello no se pierde generalidad cuando se estudian las formas cuadráticas de matrices simétricas.

Igualando a 1 la forma cuadrática obtenida en el ejemplo, arribamos a la expresión:

x² + 4xy - 2y² = 1

La expresión anterior es la ecuación de una cónica (parábolas, elipses, hipérbolas, par de rectas paralelas u otros casos degenerados). Como veremos, el término en xy aparece en la ecuación anterior porque la cónica está rotada, respecto al eje de coordenadas XY, como se ilustra en el gráfico siguiente, tomando como ejemplo una elipse.

Y’ Y

X’

Queremos determinar la rotación q de tal manera que la ecuación de la cónica en su nuevo eje X’-Y’ carezca de término en x’y’, o sea que tenga la forma:

a’ x’² + b’ y’² = 1.

De la introducción a las matrices de rotación recordemos que la relación entre (x , y) y (x’ , y’ ) está dada por

x = R_qx’

y y’

Donde R_qes la matriz ortogonal de rotación.

La forma cuadrática x^T Ax se transformaría en este caso en

(1) (R_qx’)^T A R_qx’ = (x’)^T R_q^T A R_qx’ = (x’)^T Dx’ ,

Llamando D a la nueva matriz D = R_q^T A R_q_.

D es todavía simétrica: basta probar D ^T = (R_q^T A R_q )^T = R_q^T A^T ( R_q^T)^T = R_q^T A R_q= D,

Ya que A es una matriz simétrica, es decir A^T = A.

Además, la única manera de que aparezcan en la nueva forma cuadrática solo los términos en

x’²e y’² y nó terminos en x’ y’ es que la matriz sea diagonal, es decir con ceros fuera de la diagonal principal. (probar esto es un buen ejercicio).

Nuestro trabajo, para hallar q consiste, en el caso del ejemplo en:

a ) Calcular R_q^T A R_q_.

b) Determinar q tal que la matriz anterior sea diagonal

c) Dar la nueva ecuación del lugar geométrico, en su nuevo eje canónico(sin término en x’y’).

a) R_q^T A R_q =

cos q sen q 1 2 cos q - sen q

- sen q cos q 2 -2 sen q cos q

cos q+ 2 sen q 2 cos q -2 sen q cos q - sen q =

-sen q + 2cos q -2 sen q -2 cos q sen q cos q

cos² q + 2 sen q cos q + 2 cosq sen q - 2 sen² q - sen q cos q - 2 sen² q + 2 cos² q - 2 sen q cos q

- sen q cos q - 2 sen² q + 2 cos² q - 2 sen q cos q sen² q - 2 sen q cos q - 2 cos² q - 2 sen q cos q

cos² q + 4 sen q cos q - 2 sen² q 2 cos² q - 2 sen² q - 3 sen q cos q

2 cos² q - 2 sen² q - 3 sen q cos q sen² q - 4 sen q cos q - 2 cos² q

Para que la matriz sea diagonal debemos tener que

2 cos² q - 2 sen² q - 3 sen q cos q = 0

Es claro que q ¹ 90°, por lo tanto cos q ¹ 0. Podemos por lo tanto dividir la ecuación anterior por cos² q , resultando:

- 2 tan² q - 3 tan q + 2 = 0.

Sustituyendo u = tan q, debemos resolver

- 2 u ² – 3u +2 = 0

De donde salen las soluciones

u₁ = ½ u₂ = -2

o sea

tan q = ½ o tan q = -2

Tomaremos tan q = ½ . Luego q = tan ^-1 ( ½ ) = arctan (½)

Por lo tanto q » 0, 4636 radianes.

En este nuevo eje X’Y’ que está rotado aproximadamente 0, 4636 radianes » 26 ½°, la forma cuadrática se expresa así, recordando que la nueva matriz es diagonal y que basta calcular las entradas en las posiciones 1,1 y 2,2 de la matriz anterior.

Como tan q = ½ . Podemos calcular sen q y cos q a partir de la siguiente figura

Ö5

q 1

Luego sen q = Ö5 / 5 cos q = 2Ö5 / 5

De ahí concluimos que 4/5 + 8/5 –2/5 0

R_q^T A R_q =

0 1/5 – 8/5 – 8/5

= 2 0 = D

0 -3

y además que

cos q - sen q 2Ö5 / 5 -Ö5 / 5

R_q= =

sen q cos q Ö5 / 5 2Ö5 / 5

La forma cuadrática original

1 2 x x + 2y

x^TAx = x y = x y = (x² + 2xy + 2xy -2y² ) = x² + 4xy - 2y² ,

2 -2 y 2x – 2y

se transforma en

2 0 x’ 2x’

x’^TAx’ = x’ y’ = x’ y’ = ( 2x’ ² – 3y’ ² ) = 2x’ ² – 3y’ ²

0 -3 y’ - 3y’

La expresión del lugar geométrico en X-Y

(*) x^TAx = 1 o su expresión equivalente x² + 4xy - 2y²= 1, se ha transformado en

x’^TAx’ = 1 “ “ “ 2x’ ² – 3y’ ² = 1 en el eje rotado un ángulo q

La matriz 1 2 2 0

(**) A = se ha diagonalizado como D =

2 -2 0 -3

Por medio de la transformación ortogonal semejante

(**) R_q^T A R_q = D

Este ejemplo, pese a que seguirlo haya requerido un gran esfuerzo por su apelación a la trigonometría, cargado de sentido geométrico, nos acerca a la sorprendente belleza de la naturaleza que el hombre ha tratado de interpretar y modelar a través del desarrollo de las ciencias durante siglos.

La historia de las matemáticas, parte de la fascinante historia del hombre, que solamente puede ser apreciada por quienes tengan una formación al menos básica en aritmética, álgebra, geometría, trigonometría, cálculo y otras disciplinas, es sorprendente! .

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La geometría cuya sistematización se le atribuye a Euclides (300 años antes de Cristo) ha estado ligada al desarrollo de la humanidad durante siglos. El álgebra por medio de los estudios de Fermat (siglo XVII) y otros, transformó sus resultados en ecuaciones que pronto se despojaron de su sentido geométrico. Entre el siglo XVII y el XVIII, el cálculo diferencial e integral y los desarrollos en variable compleja con los trabajos de Newton(1642-1727), Leibnitz (1646-1716 ), Hilbert (1862-1943) y otros, marcan la ruta y sientan las bases de los éxitos en los años consecuentes. La aparición y popularización de las computadoras en la segunda parte del siglo XX, han catapultado las posibilidades de la matemática y contribuido al desarrollo de nuevas disciplinas. Es por ello que es necesario hablar ahora de “las matemáticas” y no de la “matemática”, puesto que ahora mas que nunca se expanden su universo y posibilidades.

Estudios como el de los lugares geométricos y la simplificación de sus ecuaciones, que nacieron del campo de la geometría para ser trasladados al álgebra como se ha visto en el ejemplo, han aportado sus resultados a nuevos campos, entre ellos el análisis numérico del álgebra matricial que recibe gran impulso por los desarrollos del inglés Wilkinson en la época de los 50.

El proyecto “Álgebra Lineal para Todos”, que arranca con este “libro” en la Web, pretende crear un reservorio de información sobre temas en matemáticas y otras ciencias, mas fundamentalmente, por el momento, pondrá especial atención a todos los desarrollos modernos en el análisis numérico del denominado por Wilkinson “problema de la teoría de autovalores”.

Por ello es necesario resaltar algunas conclusiones, relacionadas con este “problema”, que pueden derivarse de este ejemplo con matrices de orden 2, que tendrá su significado cuando estudiemos los problemas de las matrices de gran dimensión, las matrices esparcidas, etc.

Es tal la importancia de las aplicaciones del álgebra matricial para los computadores modernos, que hemos tratado en lo posible de orientar este texto hacia el álgebra matricial mas que convertirlo en un curso clásico de transformaciones lineales. La mirada al álgebra desde este importante punto de vista se pospondrá para otros capítulos dedicados a cursos avanzados, no por que el tema no lo amerite sino porque el enfoque numérico nos brinda oportunidades sin entrar en un universo de abstracción que reduciría la comprensión de los temas. Por supuesto habrá quienes disentirán pero “por ahora” esa es nuestra posición.

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Volvamos a nuestro ejemplo.

Las matrices de rotación definidas por

cos q - sen q

R_q=

sen q cos q

Tienen entre otras propiedades la siguiente

cos q - sen q cos q sen q cos² q + sen ² q cos q sen q - sen q cos q

R_qR_q^T = =

sen q cos q - sen q cos q cos q sen q - sen q cos q sen ² q + cos² q

1 0

= = I (i) Luego R_qR_q^T = I, por lo tanto son invertibles y además R_q^-1= R_q^T

1 1

Las matrices con la propiedad de que su matriz inversa es precisamente la transpuesta, como se señala en las expresiones en negrilla, se denominan matrices ortogonales.

cos q -sen q

Además, los vectores columna R_q⁽¹⁾ = R_q⁽²⁾ = o escritos en forma convencional

sen q cos q

como R_q⁽¹⁾ = (cos q , sen q) . y R_q⁽²⁾ = (- sen q cos q ), tienen la propiedad

(ii) < R_q⁽¹⁾ , R_q⁽²⁾ > = cos q (- sen q ) + sen q (cos q ) = 0, por lo tanto son ortogonales o perpendiculares entre sí.

Además (iii) ï R_q⁽¹⁾ ï = ïR_q⁽²⁾ ï = Ö( sen ² q + cos² q) = 1

Por lo tanto además de ser ortogonales entre sí, son unitarios o de norma igual a 1.

Se dicen por lo tanto ortonormales.

Por lo tanto nuestras matrices de rotación son matrices ortogonales, formadas por columnas normalizadas.

Para nuestra adecuada escogencia de q, tenemos que: R_q^T A R_q = D, D es una matriz diagonal.

Como se dijo, R_qes una matriz ortogonal que diagonaliza a la matriz simétrica A, por medio de una transformación semejante.

(Una transformación semejante de A es una expresión de la forma BAB^-1 o del tipo B^-1BA, en donde B es por supuesto una matriz invertible, no singular)

La transformación R_q^T A R_q es una transformación semejante ya que R_q^T = R_q^-1 por ser R una matriz ortogonal.

Las transformaciones semejantes conservan los autovalores, término que se definirá en el capítulo correspondiente, pero al cual nos acercaremos revisando el ejemplo, así,

Transformando R_q^T A R_q = D en R_qR_q^T A R_q = R_q D.

Concluimos que A R_q = R_q D ,

Particionando a A y R_q y D, en sus columnas A₁ y A₂, R_q⁽¹⁾ , R_q⁽²⁾ y D⁽¹⁾ y D⁽²⁾ _,tenemos que:

A R_q⁽¹⁾ R_q⁽²⁾ = R_qD⁽¹⁾ D₂⁽²⁾

A R_q⁽¹⁾ AR_q⁽²⁾ = R_qD⁽¹⁾ R_q D₂⁽²⁾ _,

Luego (***) (a) A R_q⁽¹⁾ = R_qD⁽¹⁾ , (b)AR_q⁽²⁾ = R_qD⁽²⁾

Examinando las igualdades anteriores en nuestro caso particular

(***a)

1 2 2Ö5 / 5 2Ö5 / 5 -Ö5 / 5 2 1 2 2Ö5 / 5 4Ö5 / 5 2Ö5 / 5

= ,luego, = = 2

2 -2 Ö5 / 5 Ö5 / 5 2Ö5 / 5 0 2 -2 Ö5 / 5 2Ö5 / 5 Ö5 / 5

Por lo tanto A R_q⁽¹⁾ = 2 R_q⁽¹⁾

(***b)

1 2 -Ö5 / 5 2Ö5 / 5 -Ö5 / 5 0 1 2 -Ö5 / 5 3Ö5 / 5 -Ö5 / 5 = , luego, = -3

2 -2 2Ö5 / 5 Ö5 / 5 2Ö5 / 5 -3 2 -2 2Ö5 / 5 -6Ö5 / 5 2Ö5 / 5

Por lo tanto A R_q⁽²⁾ = -3 R_q⁽²⁾

Las expresiones A R_q⁽¹⁾ = 2 R_q⁽¹⁾ y A R_q⁽²⁾ = -3 R_q⁽²⁾

Constituyen nuestro primer encuentro con un conjunto de vectores relacionados con A los autovectores y un conjunto de valores asociados con ellos, los autovalores a los cuales dedicaremos capítulos básicos y varios apéndices, dada su importancia para las matemáticas y las ciencias.

Dada una matriz A, un autovector de A es un vector v ¹ 0, tal que Av = lv, para algún número l.

El número l correspondiente se denomina un autovalor.

En consecuencia, las columnas de nuestra matriz de rotación R_q son autovectores de A y los elementos de la diagonal de A, sus correspondientes autovalores.

Nuestro método de solución, del problema geométrico de las cónicas rotadas respecto a un eje que pretende hallar su fórmula algebraica respecto a su eje canónico, donde no está rotada (ni transladada que es un problema menor) eliminando el factor xy y dejando sólo los términos de 2do. Grado, nos llevó a estudiar las matrices ortogonales de rotación. Encontramos que para nuestra matriz A, hallamos una matriz ortogonal de rotación R_qformada por autovectores de A y de la matriz D, diagonal, que simplifica la forma cuadrática esta formada por sus correspondientes autovalores.

En capítulo posterior resolveremos el problema calculando directamente los autovalores y los autovectores, lo cual será más facil siempre y cuando utilicemos un paquete como Matlab, Maple o matemática cuando los vectores sean de dimensión 3 o mayor.

Para la matriz

1 2 2Ö5 / 5 -Ö5 / 5

A =

2 -2 los autovectores son Ö5 / 5 , 2Ö5 / 5 , l₁ = 2, l₂= -3 los correspondientes autovalores

Si dibujamos estos autovalores en X-Y, obtenemos 2Ö5 / 5 R_q⁽²⁾ Ö5 / 5 q₂ R_q⁽¹⁾ q₁

-Ö5 / 5 2Ö5 / 5

Si examinamos los ángulos q₁ y q₂ que forman los autovalores R_q⁽¹⁾ , y R_q⁽²⁾ con el eje X, hallamos que

tg q₁ =(Ö5 / 5) / 2Ö5 / 5 = 1/2 y tg q₂= (2Ö5 / 5) /- (Ö5 / 5) = -2

Estos fueron exactamente los valores que definieron la rotación q en la ecuación de segundo grado que resolvimos para diagonalizar la matriz. En consecuencia, los autovalores están precisamente en la dirección de los ejes de rotación. La forma cuadrática original fue reducida a:

2x’ ² – 3y’ ² y la ecuación de la cónica a 2x’ ² – 3y’ ²= 1.

Los números 2 y –3, que aparecieron en la matriz diagonalizada, son además los autovalores y son los que determinan los coeficientes de los factores cuadráticos en la última ecuación.

Por los valores y signos de los autovalores, concluimos que la cónica es una hipérbola. Si los autovalores fuesen ambos positivos sería una elipse y si son iguales y positivos, una circunferencia.

Posteriormente como lo comentamos antes, a partir del cálculo de los autovalores y los autovectores, sacaremos las consecuencias geométricas o de otro tipo, según la aplicación.

Si en lugar de la matriz simétrica A del problema propuesto y recientemente resuelto, tuviéramos la matriz simétrica

a c

A =

c b

entonces, la matriz a diagonalizar estaría dada por

(****)

cos q sen q a c cos q - sen q

- sen q cos q c b sen q cos q

En este producto de matrices, el cual es de orden 2, las expresiones en los términos fuera de la diagonal, deben ser iguales ya que la nueva matriz es aún simétrica, puesto que la transformación semejante es ortogonal. Deben ser igualados a cero para que queden sólo los factores de segundo grado en la forma cuadrática, por lo tanto :

( b - a) sen q cos q + c cos² q - c sen² q = 0

Dividiendo por cos² q , obtenemos:

-c tan² q + (b – a) tan q + c = 0

Multiplicando ambos lados de la ecuación por –1 y sustituyendo u = tan q,

Debemos resolver:

(1) c u² + (a - b) u - c = 0

Si la ecuación de la cónica estuviese dada por

x^T A x = 1

8 6

donde o sea, si la ecuación fuese 8 x² + 12 xy + 3 y² = 1

6 3

la ecuación a resolver para hallar q sería, veáse (1) arriba,

(1) 6 u² + 5 u - 6 = 0

De donde u₁= 2/3 , u₂= -3/2. Por lo tanto: tan q ₁ = 2/3 y tan q ₂ = -3/2

Luego q » 0,5880 radianes » 33° 41’. Además, tomando tan q = 2/3

Y si calculamos, los términos de la matriz diagonal obtenida a partir de (****),

a cos² q + 2 c sen q cos q + b sen ² q ,

es el término en 1ra. fila, 1ra. columna, obteniendo

8 (9/13) + 2 (6) (2/Ö13)(3/Ö13) + 3 (4/13) = 12

Aquí hemos sustitído a = 8 , b = 3, c = 6 y los valores de sen q y cos q, han sido calculados a partir de que tan q = 2/3 con ayuda del siguiente triángulo

Ö13 2

Del mismo modo:

a sen² q - 2 c sen q cos q + b cos ² q ,

es el término en 2da. fila, 2da. columna, obteniendo

8 (4/13) + 2 (6) (2/Ö13)(3/Ö13) + 3 (9/13) = - 1

Como R_q⁽¹⁾ = cos q y y R_q⁽²⁾ = - sen q , vectores columna de la matriz de rotación son los

sen q cos q autovectores, concluimos que estos son:

(3/Ö13) - (2/Ö13)

(2/Ö13) (3/Ö13)

Los autovalores correspondientes son 12 y –1, tomados de la matriz diagonal

12 0

0 -1

La ecuación de la cónica en el nuevo eje X’-Y’, sería:

12x’ ² – y’ ² = 1

con cortes con el eje X’, cuando y’ = 0, o sea en x’ = (+/-) Ö3 / 6

La cónica sería de nuevo una hipérbola, no rotada sobre los ejes X’-Y’, en la dirección de los autovalores.

Además. Si v es un autovector de A, con autovalor l, entonces kv es también un autovector, con el mismo autovalor, veamos:

A(kv) = k Av = klv = l(kv)

Por lo tanto podemos escoger como autovectores a

3 y -2

2 3

El gráfico podría parecerse a:

Y’ X’

Los vectores y la ecuación de la recta

La aplicación de los vectores que se presentará a continuación se hace no por la importancia del tema desde el punto de vista matricial, ya que no intervendrán para nada las matrices, si no más bién por:

a) Aprovechar la ocasión para presentar o repasar algunos temas de interés en matemática fundamental o cálculo.

b) Las ecuaciones de rectas y planos (en el caso de dimensión 3) son aproximaciones como lo es la recta tangente a la curva o el plano tangente a la superficie, en las cercanías del punto de contacto.

Comencemos.

Q(x₁, y₁)

R(x₂, y₂) O

P(x,y) lv lv

Al observar un punto P sobre una recta L, que pasa por dos puntos Q(x₁, y₁) y R(x₂, y₂), vemos que el vector OP, debe cumplir la ecuación vectorial

OP = OQ + QP = OQ + l QR, l e R

O lo que es lo mismo, (x, y) = (x₁, y₁) + l (x₂ - x₁, y₂ - y₁ ), l e R

De donde sale la ecuación paramétrica de la recta:

x = x₁+ l (x₂ - x₁), y = y₁+ l (y₂ - y₁), l e R

Ejemplo: Si P(1,1) y Q(2,3), las ecuaciones paramétricas serían:

x = 1+ l (2 - 1), y = 1+ l (3 - 1), l e R

Luego: x = 1+ l , y = 1+ 2 l , l e R o

x = 2+ l , y = 3+ 2 l , l e R , si se toma R(3,1), como punto inicial

Para hallar diferentes puntos de L, basta con dar valores arbitrarios a l en cualquiera de las dos ecuaciones anteriores. Si igualamos las partes izquierda y derecha de la primera ecuación, despejando l, llegamos a:

l = x – 1 = (y – 1) / 2.

De donde concluimos la ecuación que liga a las variables x,y : x – 1 = (y – 1) / 2.

De aquí sale (y – 1) = 2 ( x – 1 ), que es la ecuación punto-pendiente de la recta de pendiente 2 que pasa por el punto (1,1).

Si despejamos l y luego igualamos en el segundo conjunto de ecuaciones, obtenemos:

y – 3 = 2 ( x – 2),

que es la fórmula punto pendiente de la recta de pendiente 2 que pasa por R(2,3).

Ejemplo Determinaremos las ecuaciones paramétrica y la relación funcional y = f(x) para la recta que pasa por P(1,2) y Q(4,-2).

Solución.

Ecuación paramétrica

x = 1+ l (4 - 1) = 1 + 3l , y = 2+ l (-2 - 2) = 2 - 4l

Despejando l e igualando, obtenemos:

(x – 1) / 3 = (y – 2) / - 4

luego

y – 2 = (-4/3) (x – 1)

Esta es la ecuación de la recta de pendiente m = - 4/3 y que pasa por P(1,2)

Ejemplo: Calcularemos ecuaciones de la recta perpendicular a y = 3 x – 1 que pasa por P(2,1)

y=3x-1

P(2,1)

Solución:

Calculamos dos puntos de L, en particular los cortes con el eje X, donde y=0, y el eje Y, en el cual x=0. Por lo tanto: Corte de L con el eje Y Q(0 ,1 )

Corte de L con el eje X R(1/3,0)

El vector u = QR = (1/3-0, 0-1) = (1/3 , -1) es un vector en la dirección de L.

Un vector v perpendicular a u, o sea en la dirección de la recta perpendicular a L, debe cumplir la condición

< v,u > = 0

Escojamos u = (3,1) el cual claramente cumple la condición.

Como la recta perpendicular a L, pasa por P(2,1), y sigue la dirección de u, su ecuación paramétrica es:

x = 2+ 3l , l e R y = 1 - l , l e R

Igualando por medio de l, obtenemos:

y – 1 = (-1/3) (x – 2)

que es la ecuación punto- pendiente de la recta de pendiente –1/3 que pasa por P(2,1).

Esta recta es perpendicular a L, si cumple con la ecuación

m₁. m₂ = -1, en donde m₁ y m₂son las pendientes de L y su recta perpendicular.

Esta condición se cumple ya que 3 × (-1/3) = - 1

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Ahora una descarga del autor:

El siglo XXI, por el momento se puede señalar como el siglo de las comunicaciones. Ahora más que nunca todas las disciplinas arrancando con las humanísticas y sociales, pasando por las de la salud, la economía y las ciencias, requieren de personas con sólida formación interdisciplinaria.

Por ello, si alguna vez el conocimiento se movió entre una élite que le daba una significación social, que podría moverse entre clubes y salones, ahora su desarrollo es un imperativo de seguridad y supervivencia de las naciones. Por ello los países desarrollados se están rasgando las vestiduras por la “escasa” formación de sus recursos humanos, “la escasez” y “falta de formación” y “dedicación” de sus docentes, el “desinterés” de los alumnos. Se abre aquí el universo de oportunidades para quienes comprendan la magnitud del reto desde el tercer mundo. Las oportunidades se encuentran de nuevo en campos que parecían haber sido socialmente relegados a un segundo lugar, entre ellos las ciencias básicas y las ciencias sociales.

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Ejemplos

Dependencia e independencia lineal

v y M1

Producto interno o escalar

Propiedades del producto interno o escalar de vectores

Ejemplo

Ejemplo

Solución

Formas cuadráticas

v y M₁