Este material es producido por José Arturo Barreto, M,A, , en Barquisimeto, Venezuela,

Este material es producido por José Arturo Barreto, M,A, , en Barquisimeto, Venezuela, mailto:josearturobarreto@yahoo,com Tel: (0251)2612905

Originalmente fue producido con Word. Si lo baja a un archivo en disco y aún no lo ve a su satisfacción, ciérrelo y ábralo desde Word. Si después de ello no lo ve bien, véalo como diseño de impresión en Word.

PARA MAYOR INFORMACION ABRA LA PAGINA WEB

geocities.com/laboticaxx1

Prueba de Aptitud Académica. Habilidad Numérica. Guía # 6

ECUACIONES E INECUACIONES(DESIGUALDADES)

Una ecuación en x es una expresión algebraica en x igualada a cero.

Ejemplo: x³- 3x²+ 2 = 0, (x + 1)/(x – 1) + 3x = 0, etc.

Ceros o raíces de una ecuación

Un cero o una raíz de una ecuación en x es un valor de x que satisface la ecuación.

Problema: Halle un cero o una raíz de la ecuación x + 2 = 5

Solución: x = 3.

Problema: Halle un cero o raíz de (x + 1) / ( x – 1) + 3x = 0

Solución: Es claro que x ¹ 1 ya que x – 1 ¹ 0

Reduciendo a común denominador la expresión de la izquierda tenemos:

(x + 1 + 3x(x – 1) )/(x – 1) = 0

Luego: x + 1 + 3x(x – 1) = 0

x + 1 + 3 x²– 3x = 0

3 x²–2x + 1 = 0

x = ( 2 +/- √(4-12) ) / 6 = (2 +/- √ (-8))/ 6

Por consiguiente la ecuación planteada no tiene solución ya que q(-8) no es un número real.

Problema: Halle un cero o raíz de (x + 1) / (x – 1) - 3x = 0

Solución: x¹ 1. Luego (x + 1 – 3x(x – 1))/(x – 1) = 0

(x + 1 - 3 x² + 3x) / (x – 1) = 0. Por lo tanto: (-3 x² + 4x + 1)/(x – 1) = 0

En consecuencia: -3 x²+ 4x + 1 = 0.

Concluyéndose que x = (-4 +/- √ (16 + 12))/(-6) = ( -4 +/- √28 )/(-6) =

= (-4 +/- 2√7) / -6

Por lo tanto: x₁= ((2√7 – 4))/-6 = (4 - 2√7)/6 = (2 - √7) / 3

X₂ = (2 + 2√7) / 3

Por sustitución verifiquemos que

(2 - √7) / 3

es un cero o raíz de la ecuación (x + 1)/(x – 1)+3x = 0

Si lo és, ya que ((2- √7) /3 + 1)/ ((2 - √7)/3) – 1) - 3(2 - √7)/3 = 0.

De modo semejante se puede comprobar que x₂= (2 + √7)/3 es la otra raíz.

Ceros o raíces de ecuaciones de segundo grado

Los ceros o raíces de la ecuación de segundo grado a x²+ b x + c = 0 se pueden hallar por las fórmulas:

x₁ = (-b + √ (b ² – 4 a c) ) / 2a y x₂ = (-b + √ (b ² – 4 a c) ) / 2a,

donde el discriminante (b ² – 4 a c) no puede ser negativo.

Ceros o raíces de expresiones factorizadas

Problema: Halle los ceros o raíces de (x – 3) ( 2x + 1)

Solución: Resolver (x-3)(2x+1) = 0.

Es evidente que las dos raíces son x = 3 y x = -1/2

Problema: Halle los ceros o raíces de x((x+1)/3)

Solución: Resolvemos x((x+1)/3) = 0.

Un cero o raíz es x = 0. El otro se halla resolviendo (x+1)/3 = 0.

Por consiguiente x = -1. Las raíces son por lo tanto x₁= 0 y x_{2 =}- 1.

Problema: Halle las raíces de (x – 2) ²

Solución: Resolvemos (x-2) ²= 0. La única raiz es x = 2. Se dice que la raíz x = 2 es doble.

Ceros y raíces de ecuaciones de tercer grado y su relación con la factorización

Problema: Hallar los ceros de 3 x³– 7 x²+ 5x –1 sabiendo que x=1 es una raíz.

a) Verifiquemos que x = 1 es una raíz, sustituyendo la x por el número 1.,así

3( 1³) – 7 (1²) + 5 – 1 = 3 –7 + 5 – 1= 8-8 = 0. Verificado.

b) Como x= 1 es una raíz, entonces x – 1 es un divisor o factor de

3 x³– 7 x²+ 5x –1

Efectuando: 3 x³– 7 x²+ 5x –1 x – 1

-3 x³+ 3 x² 3 x²- 4x +1

-4 x²+ 5x

4 x²- 4x

x – 1

Luego 3 x³– 7 x²+ 5x –1 = (x – 1) (3 x²4 x +1) (x = 1 es una raíz)

Hallemos ahora las raíces de 3 x²- 4x +1

x = ( 4 +/- √ (16 – 12) ) / 6 = ( 4 +/- √4 ) / 6 = (4 +/- 2) / 6 = 1/3

En consecuencia, las raíces son x₁= 1 y x₂= 1/3

Problema: Factorice 3 x³– 7 x²+ 5x –1

Solución: Conociendo las raíces x = 1 ( raíz doble) y x₂= 1/3

Diremos que 3 x³– 7 x²+ 5x –1 = 3 (x – 1)²(x – 1/3).

De dónde salió el 3 del lado derecho? Respuesta: tomando el coeficiente 3 de

3 x³– 7 x²+ 5x –1

(Aquí hay que hacer, como en química, una especie de balanceo de ecuaciones)

Problema: Cómo hallar las raíces racionales de un polinomio de grado 3 o mayor y cómo factorizarlo?

Solución: Los ceros o raíces racionales (de la forma p/q, q¹ 0, p y q, números enteros)) , del polinomio

a₃ x³+ a₂x²+ a₁x + a₀

deben cumplir las siguientes condiciones:

p debe dividir o ser un factor de a₀

q debe dividir o ser un factor de a₃

Problema: Determine si 3 x³– 7 x²+ 5x –1 tiene raíces racionales y factorícelo en lo posible.

Solución: Las raíces racionales (de la forma p/q, p y q números enteros, p ¹ 0), deben cumplir que:

p ½ -1 y q½ 3

(Leáse “½” como divide a).

Como p y q deben de ser enteros, tenemos las siguientes posibilidades, para los valores de p y q.

p = +/- 1

q = +/-1, +/-3

Los posibles valores de p/q serían:

1, -1, 1/3, -1/3

Sustituyendo estos números en 3 x³– 7 x²+ 5x –1, encontramos que

X = 1 y x = 1/3 son raíces racionales.

Luego si 3 x³– 7 x²+ 5x –1 = 3 (x –1) ( x – 1/3) h(x).

Cómo hallar h(x)?.

Solucion

Efectuemos 3 (x – 1) (x – 1/3) = 3 ( x²– (4/3)x+ 1/3 ) = si 3 x²- 4x +1

Efectuemos ahora: 3 x³– 7 x²+ 5x –1 3 x²- 4x +1

- 3 x²+ 4 x²– x

-3 x²+ 4x –1 x – 1

3 x²– 4x + 1

Luego: 3 x³– 7 x²+ 5x –1 = 3 (x – 1) (x – 1/3) (x – 1)

De nuevo vemos que las raíces son x = 1 (raíz doble) y x = 1/3

Inecuaciones (desigualdades):

Problema: Resolver 3x < 1

Solución: Dividiendo a ambos lados de la inecuación por 3 (o pasando el 3 a dividir), obtenemos x < 1/3

Problema: Resolver - 3x < 1

Solución:(primer método)

Sumando 3x a ambos lados ( o pasando 3x a sumar), obtenemos

0 < 1 + 3x

Sumando –1 a ambos lados (o pasando el 1 a restar)

-1 < 3x

Luego -1/3 < x

(2do. Método)

Partiendo de - 3x < 1

Multiplicamos por (-1)

Ambos lados de la ecuación 3x > -1

Note que al multiplicar o dividir ambos términos de una inecuación por un número negativo, debe cambiarse el sentido de la inecuación.

Por lo tanto

x > -1/3

Problema:

Resolver 3x³– 7 x²+ 5x -1 < 0

Solución:

Paso 1. Factorizamos 3 x³– 7 x²+ 5x –1 = 3(x-1)²(x –1/3)

Esta expresión es negativa sólo en el caso en que

x – 1/3 < 0,

ya que el número 3 es un número positivo y

(x – 1)²³ 0, para todo valor de x.

De x – 1/3 < 0, deducimos que

x <1/3