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Prueba de Aptitud Académica. Habilidad Numérica. Guía # 5.

 

Trigonometría, vectores, ecuación de la recta  y problemas geométricos referidos al cálculo de ángulos, lados, alturas y áreas.

 

Esta guía se desarrolla alrededor de un ejemplo, el cual fue diseñado sólo con el fín de poderle aplicar diferentes métodos y tratando de que la manipulación de los datos no oscureciera la esencia del problema y de los métodos a aplicar.

Dados dos vectores  a = (a1 , a2 )  y   b = (b1 , b2 ) como en la figura siguiente:

 

                 

 

 

         

 

 

                                                                       

                                                                   

 

                                                                                            

 

 

 

 

 

 

 

 

Podemos calcular el área del triángulo OAB, el ángulo j, otros ángulos, alturas del triángulo, la longitud de los lados, perímetro, , etc., utilizando las conocidas igualdades referentes al producto escalar.

 

Sabemos que si a = (a₁, a₂) y b = (b₁, b₂) , el producto escalar a . b se puede calcular de dos maneras diferentes así:

 

          a)       a . b = a₁ b_{1 +} a₂ b₂          y

         

b)       a . b = êa êêb êcos j         en donde j es el ángulo formado por los     vectores a y b, y

 

êa ê= V a₁+ a₂ es módulo del vector a          y

           êb ê= q b₁+ b₂  es el módulo del vector b.

 

Problema: Hallar el ángulo j formado por los vectores a = (q3, 1) y b = (1 , q3) , el ángulo formado por los vectores, la altura AN y la altura BM.

 

                                                          

 

                                         

 

                                        

 

 

 

 

Solución: Calcularemos

a . b = a₁ b_{1 +} a₂ b₂  =  q3 + q3 = 2q3,

como

          a . b =  êa êêb êcos j = ( q3 + 1) ( q1 + 3) cos j

                                               Por lo tanto   2q3 =  2 x 2 cos j,

                                              

En consecuencia

 

cos j = q3/2

Del conocido triángulo

                                            

                                           

                                                                              

 

 

 

 

 

 

 

Deducimos que       j = 30°         

 

Recordando que en un triángulo rectángulo de hipotenusa    c y ángulo j, como lo muestra la figura    

                                             

                                                        

                                           

                                                

 

 

 

 

 

el cateto opuesto al ángulo mide c sen j  y el adyacente o proyección  c cos j, encontramos que

 

AN = OA sen j  =  êa ê sen 30° = 2 x 1/2 = 1     y

 

BM = OB sen j  =  êb ê sen 30° = 2 x 1/2 = 1

 

 

 

 

Problema:

 

En el triángulo OAB formado por los vectores a = (1, q3  / 3 )   y    b = (1, q3 ),

 

      

                                                     

                                           

                                       

                                                                                                               

 

 

 

 

 

 

 

 

Calcule:

 

a)    Los lados OA, OB y AB y el perímetro del triángulo OAB

b)    Los ángulos d, a  y  b

c)     La altura AM

d)    El área del triángulo OAB 

 

a)              êa ê =  q 1² + 3/9  = q12/9 =  q 4/3 = 2 q1  / 3   = 2 q3  / 3

êb ê =  q 1² + 3  = q4 = 2

Como      AB  = (1-1,  q3 - q3 /3 ) = (0 , 2 q3/3)

Concluimos que:      êAB ê = 2 q3/3    

 

Hemos calculado la longitud de los tres lados

 

El perímetro del triángulo OAB es

 

          p =    2 q3/3  + 2 q3/3   + 2 =  4 q3/3   +  2

 

      b)  

De la fórmula    cos d = (a . b) /  êa êêb ê = ( 1x1 + (q3  / 3) q3 ) /  ( (2 q3  / 3) x 2) =

                                          2 / (4  q3  / 3 ) = 3 / 2 q3   = q3  / 2,

 

                    concluimos que  d = 30°

 

.Como                    a . AB = 1 x 0 +  q3/3 x 2 q3/3 = 2 /3

 

De la formula

 

    cos a = (a . AB) /  êa êêAB ê = ( 2/3 ) / (2 q3  / 3)( 2 q3  / 3) = (2/3) / (4 x3 / 9) = 1/2

 

    Luego   a = 60°.

 

Como a + l = 180° ,por estar a un mismo lado de la recta,

concluimos que l = 120°

 

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180°, concluimos que

 

                                       b = 30°

 

c) AM = êa êsen d = 2 q3  / 3 x (1/2) =  q3  / 3

 

d)

 El area del triángulo OAM = (base x altura)/2 =  êb êAM/ 2 = (2 x  q3  / 3)/ 2 = q3  / 3