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Prueba de Aptitud Académica. Habilidad Numérica. Guía # 4.

 

Sucesiones

 

Una sucesión es un conjunto (o colección) infinito(a) de términos, denominados a₁^, a₂^, a₃^, a₄^, a₅^{, ...,} a_n^, a_n+1^,..., . Las sucesiones que se estudian siguen por lo general una regla de formación.

 

Problema: Hallar los primeros 4 términos de la sucesión { a_n }, donde a_n = 3n².

 

Solución:   a₁ = 3 x 1² = 3     a₂ = 3 x 2² = 12  a₃ = 3 x 3² = 27  a₄ = 3 x 4² = 48

 

Los primeros 4 términos de la sucesión son: 3,12, 27, 48.

 

Problema: Halle a₁₀ , a_5.

 

Solución:   a₁₀ = 3 x 10² = 300               a₅ = 3 x 5² = 75

 

Problema: Dada la sucesión {a_n }, en donde a_n = n/(n + 1), halle a₁ , a₂ , a₃ , a_4, a_20, a_250.

 

Solución: a₁ = 1 / (1+1), a₂ = 2/(2+1), a₃ = 3/(3+1), a₄ = 4/(4+1), a₂₀ = 20/(20+1),

a₂₅₀ = 250/(250+1). Por lo tanto:

 

          a₁ = 1/2    a₂  = 2/3       a₃ = 3/4    a₄ = 4/5     a₂₀ = 20/(21)    a₂₅₀ = 250/(251).

 

Un problema que se plantea comunmente es:

 

Problema: Dada la sucesión

 

a₁ = 1/2      a₂ = 1/4     a₃ = 1/8     a₄ = 1/16    a₅ = 1/ 32 .....

 

Halle la expresión general ( o término general ) a_n.

 

Solución:   a₁ = 1/2    a₂ = 1/ 2 ²    a₃ = 1/2 ³     a₄ =  1/2⁴   a₅ = 1 x 2⁵     a₂₀ = 1/ 2²⁰

 

                  

Luego :      a_n = 1/ 2 ⁿ_.

 

Problema: Halle el término general de la sucesión

 

          1, 3, 4, 7, 11, 18

 

Notese que         a₁ = 1, a₂ = 3. Para calcular los siguientes términos, observe que a partir del tercero, cada término es la suma de los dos anteriores.

 

En consecuencia        a_n = a_n-1 + a_n-2, para n ³ 3.

 

Problema: Cuál es el término general de la sucesión

 

          -1, 2, 7, 14, 23

 

Solución: Estudiemos las diferencias entre cada dos términos así

                      5                    9

 

          -1,     2,      7,      14,    23

 

3                                         7

De donde concluimos que a₁ = -1 y a_{n =}  n² – 2

 

Progresiones

 

Una progresión aritmética es una sucesión en donde la diferencia de cada término con el anterior es una constante r, denominada la razón. Es decir, los términos de la sucesión son:

 

          a1   a₁ + r    a₁ + 2r    a₁ + 3r…

 

Es decir: a_n  = a_{n-1  +} r.

Vemos que en una progresión aritmética: a_{n =} a₁ + (n-1) r.

Suma de los primeros n términos de una progresión aritmética

La suma  Sn de los primeros n términos de una progresión aritmética está dada por:

                             Sn = ((a_{1 +} a_n )/2).n

 

Problema: En una progresión aritmética, el primer término es 2 y la razón 1/2.

 

Solucion: El valor del cuarto término es :

 

                   a₄   = a₁ + (n-1) r.

 

Luego:       a₄ = a₂ + (4 -1) (1/2) = 2 + 3 x ½ = 7/2

 

Problema: Calcular la suma de los 20 primeros números pares.

 

Solución: La suma de los 20 primeros números pares

          (2 + 4 + 6 + ...+ 38 + 40)

 

          S_n  = ((a₁ + a_n )/2). n = ((2 + 40) 20)/2 = 840/2 = 420

 

Problema: Si el primer término de una progresión aritmética es 12, el último es 18 y la suma de sus términos es 75, calcular el número de términos de la progresión.

 

Solución:  a₁ = 12, a_n = 18, S_n = 75,  S_n = (a_{1 +} a_n )n/2

 

Luego: 75 = (12 + 18) n/2 \ 75 = 30n /2 \ 75 = 15n\n = 5

 

Progresión geométrica

 

Es una sucesión en la cual la r no suma sino que multiplica. La fórmula a_n = a_n-1 + r, se transforma en

a_n = r a_n-1,

 

derivando en la fórmula

 

a_n = a₁ r ^n-1.

 

En este caso, la suma de los primeros n términos está dada por

 

S_n = a₁ ((1 - r ⁿ )/(1-r))>

 

Problema: Hallar el cuarto término de la progresión geométrica 7, 14, 28, ...

Solución:  r = 2, luego a₄ = a₁ r ^n-1\ a₄ = 7 x 2³  = 56.

 

Problema: Hallar el primer término de una progresión geométrica, si el    tercer término es  10 ^–3 y la razón es 10^-1.

 

Solución: a_n = a₁ r ^n-1 \ a₁ = a_n / r ^n-1 \ a₁ = a₃ /r ^n-1 = 10 ^-3 /(10^-1) ^3-1

 

^Luego               a₁ =  10 ^-3 /(10 ^–1)² \ a₁ = 10^-3/10 ^–2 = 10 ^-3  10² = 10 ^–1

 

Problema: Si en una progresión geométrica a₁ = 1/4  y  la razón vale 2, calcular la suma de los 5 primeros términos.

 

Solución:              Sn = a₁ (1 - r ⁿ)/(1-r) = (1/4) (1- 2 ⁵)/(1-2) =

                                  = (1/4)(1- 32)/(-1) = (1/4)(-31)/(-1) = 31/4.

 

Logaritmos:

 

Primer ejemplo: logaritmos en base 2

 

Como                 2 ³ = 8, se dice que log₂ 8 = 3

                            2 ² = 4, se dice que log₂ 4 = 2

                            2 ⁴ = 16, se dice que log₂ 16 = 4

 

Segundo ejemplo: logaritmos en base 10

 

De manera semejante:

 

Decir que log₁₀ 1000 = 3, equivale a decir 10 ³ = 1000.

 

El número 2 en los primeros ejemplos y el 10 en el último

Se denominan “la base”                          

 

Como 10 ² = 100, se dice que log₁₀ 100 = 2

Como 10 ³ = 100, se dice que log₁₀ 1000 = 3

 

Problema: Halle log 10000.

 

Como se ha omitido la base, debe entenderse que es 10.

Como 10000 = 10 ⁴, se concluye que log 10000 = 4

 

Problema: Halle log₃ 27 y log₃ 81

 

Solución: Como 3 ³ = 27,  y   3 ⁴ = 81, concluimos que

               Log₃ 27 = 3  y  log ₃ 81 = 4.

 

Problema: De dos números  x  e  y , se sabe que:

 

                              Log₄ x = 2 y  log₄  y = 5

 

Calcule el producto y/x

 

Propiedades del logaritmo

 

Sea  z = log _b x     y    w = log _b y. Probaremos que:

 

                                                     a)Log _b  (xy) = log _b  x  +   log _b  y

                                                     b)Log _b  (x/y) = log _b  x  -   log _b  y

                                                     c)Log _b  (x^z) = z log _b  x

                                                     d)Log _b  (x ^1/z) = (1/z) log _b  x

                                                    

                                                     e)Log _b  ⁿ   x   = (1/n) log _b  x

 

Demostración:

 

Sea u = log _b  x   y  v = log _b  y.

 

a) es consecuencia del hecho que si x = b^u , y = b^v  entonces xy = b^u b^v  = b^u+v

b) es consecuencia del hecho que si x = b^u , y = b^v  entonces x/y = b^u /b^v  = b^u-v

c) es consecuencia del hecho que si x = b^u , y = b^v  entonces x ^z = (b^u)^z = b^uz

d) es consecuencia de c)

     

      e) Log _b  ⁿ   x   =  log _b   x ^1/n = (1/n) log _b   x (por d y/o c)

 

Problema: En una cierta base b, se sabe que    log _b   5 = a    y  log _b  12 = c.

                                                                                ₄

Calcule log _b  60, log _b   12/5, log _b  5/12, log _b           144

 

Solución:

 

    log _b  60 = log _b  (12 x 5) = log _b   12  +  log _b   5 = a + b

    log _b   12/5 = log _b   12 - log _b 5 = a - b

    log _b   5/12 = log _b  5 - log _b   12 = b-a

    Log _b    ⁴   144 = (1/4) log _b  12 ² = (1/4) (2) log _b  12 = (1/2) c.  

 

Valor absoluto

 

Para un número x, se define el valor absoluto de x o  êx ê así:

 

 

                                                                            x     si   x³ 0

                                                         êx ê =         

 

                                                                            -x     si x <0

 

Ejemplo:  Si x = 5 entonces      êx ê = x = 5

                Si x = -5 entonces      êx ê =  -x =  -(-5) =  5

 

Luego, el valor absoluto de un número es siempre positivo.

 

Note que entonces     ê5 ê = ê-5 ê = 5  y          ê3  ê = ê -3 ê = 3