ALGEBRA LINEAL PARA TODOS
José Arturo Barreto G.,M.A
The
University of Texas at Austin
Capítulo 9
Regresión
Lineal
Preliminares
En el capítulo de vectores en Rn, vimos
que cuando el sistema de ecuaciones lineales
Ax = b no tiene solución, podemos siempre resolver Ax= b,
El cual siempre tiene
solución ya que b es la
"proyección" de b sobre el
subespacio generado por las columnas de A.
En
ese capítulo solucionamos el problema Ax
= b, en donde A era una matriz de orden 2, con vectores columna (
columnas), linealmente independientes, proyectando a b sobre el subespacio generado por las columnas de A, Gen(A).
Para resolver el problema
procedimos así:
i)
Calculamos una base V1 , V2 , de Gen
(A).
ii)
Calculamos la proyección b , de b en Gen(A).
iii)
Procedimos a resolver Ax = b.
La solución x así obtenida se denominó una solución por mínimos cuadrados de Ax =
b.
En tal capítulo, a título
de ilustración, resolvimos, por mínimos cuadrados, el sistema de ecuaciones
lineales simultáneas:
2 x + y =
1
2 x - y = 2
x + y = 1
La matriz de los
coeficientes del sistema de ecuaciones planteado es .
Sus
vectores columna son:
Como v1
y v2 , son
linealmente independientes, anteriormente construimos a partir de ellos, un
conjunto ortogonal de Gen(A),
formado por:
El proceso de
ortogonalización aplicado, exigía que los dos vectores no fueran colineales,
esto es que fuesen linealmente independientes.
La condición de
independencia lineal de n vectores v1 , v2 , … , vn, es que la ecuación
l1 v1 +
l2 v2 +
… + ln vn =
0,
tenga
como única solución:
l1 = l2 = … = ln
= 0
o sea que la única
solución sea la trivial l
= 0.
Esta condición la satisfacen
plenamente los vectores v1 y
v2.
Por esta razón se pudo
aplicar el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. Si no, no se podría
aplicar. Aún más v1 y
v2 son una base de
Gen(A), ya que además de ser
linealmente independientes, por la propia definición de Gen(A), lo generan.
La situación se complica
cuando las columnas de A no son
linealmente independientes como veremos en el ejemplo siguiente.
Problema
Hallar el conjunto
solución del sistema de ecuaciones lineales:
x +
y + z
= 1 2x + y = 2 - x + 2y + 5z = -3
Utilizando el método de
Gauss, procedemos así:
º º º
x +
y + z
= 1
- y - 2z
= 1 0z = 1
El sistema de ecuaciones
equivalente : (*)
No tiene solución (es
inconsistente).
Procederemos a hallar su
solución por mínimos cuadrados:
Tomemos los vectores
Veamos si estos vectores son
linealmente independientes.
A partir de la ecuación: l 1 A1 + l 2 A2 + l 3 A3 = 0,
1 1 1 l
1 2 +
l 2 1
+ l3 0 =
0 -1 2 5
Hosted by www.Geocities.ws