Matemática [do Grego, ciência] Estudo das relações entre quantidades e propriedades, e suas operações lógicas, das quais estas podem ser deduzidas.

Aritmética

[do Grego, arte de contar] se concentra na forma com que os números podem ser combinados através de adição, subtração, multiplicação e divisão.

Número s.m. Relação entre qualquer quantidade e outra tomada como referência.

Os números usados para contar são chamados de Inteiros Positivos, e são gerados pela adição do número 1 sobre cada termo da série.

De acordo com a contagem ao lado formamos os números da seguinte forma:
1573 = 1000 + 500 + 70 + 3

"Número" inclui os negativos, frações e irracionais algébricos.

contagem na base dez

Na base 10 decompomos o número segundo sua posição (potência):

2843,509 = 2000 + 800 + 40 + 3 + 0,5 + 0,009
2000 = 2×1000 (milhar)
800 = 8×100 (centena) 
40 = 4×10 (dezena)
3 = 3×1 (unidade)
0,5 = 5×0,1 (décimo)
0,00 = 0×0,01 (centésimo)
0,009 = 9×0,001 (milésimo)

base dez = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
9 + 1 = 10

base nove = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
8 + 1 = 10
...
base três = {0, 1, 2}
2 + 1 = 10

base dois (binário) = {0, 1}
1 + 1 = 10

A tabela ao lado representa a soma do valor em negrito da linha com o valor em negrito da coluna (em que é fácil conferir contando nos dedos).

Na regra de adição, devemo separar o número em suas potências, e somar as potências iguais.

ou simplificadamente

Fazemos por exemplo:
2 + 3 = (1 + 1) + (1 + 1 + 1) =
= 1 + 1 + 1 + 1+ 1 =
= 2 + 1 + 1 + 1 =
= 3 + 1 + 1 = 4 + 1 = 5

A Adição é Associativa
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)

e Comutativa
2 + 3 = 3 + 2

se 2 + 1 = 3
então 3 - 1 = 2
e 3 - 2 = 1

A regra de subtração é equivalente à regra de adição.

ou simplificadamente

A subtração não é Comutativa
5 - 3 = 2
3 - 5 = -2
e não é Associativa
(4 - 2) - 1 = 1
4 - (2 - 1) = 3

Junto com os números positivos, são ordenados na seguinte forma:

{...-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4...}
formando uma série infinita para ambos os lados

A subtração de um número A por um número B é o equivalente a fazer a adição de A com -B:

A - B = A + (-B)

Onde -B é o negativo de B, e que:

B + (-B) = 0

3 × 4 = 3 · 4 = 3(4) = 4 + 4 + 4

"Se há 3 pessoas, cada uma com 4 maçãs, temos um total de 12 maçãs."

A tabela ao lado representa o produto do valor em negrito da linha com o valor em negrito da coluna (em que é fácil conferir contando nos dedos).

Na regra da multiplicação devemos separar as potências (como na regra da soma) e fazer o produto segundo a propriedade distributiva.

ou de forma simplificada

Quando multiplicamos pelo mesmo número, usamos um número sobrescrito (potência), simplificando a notação. Ex.:
5 = 5¹
5 × 5 = 5²
5 × 5 × 5 = 5³

A Multiplicação é Comutativa


Associativa


e Distributiva sobre Adição/Subtração

12 ÷ 3 = 12/3 =
= (3 + 3 + 3 + 3) ÷ 3 = 4 × 3 ÷ 3 =
= (4 + 4 + 4) ÷ 3 = 3 × 4 ÷ 3 = 4

"Se há 12 maçãs para serem dividas entre 3 pessoas, cada pessoa fica com 4 maçãs."

se 4 × 3 = 12
então 12 ÷ 3 = 4
e 12 ÷ 4 = 3

Na regra de divisão, subtraímos do número a ser dividido potências de 10 múltiplas do divisor (das maiores para as menores), de forma que reste zero no final do processo.

ou de forma mais clara

valendo para divisores de diversos algarismos

E para números que sobram resto, temos o processo.

Onde é fácil ver que 1/3 = 0,3333... pois o processo se repete indefinidamente.

Sabendo que qualquer número vezes zero é igual a zero, como por exemplo:
0 × 3 = 0
0 × 2 = 0
zero dividido por qualquer número também será zero:
0 × (1/3) = 0 ÷ 3 = 0
0 × (1/2) = 0 ÷ 2 = 0
zero dividido por zero poderia dar qualquer número, portanto dizemos que tal divisão tem valor indeterminado:
0/0 = indeterminado
e como não há número que multiplicado por zero que dê valor diferente de zero, dizemos que dividir qualquer número por zero não é possível, ou seja,
não existe divisão por zero.

A divisão de um número A por um número B é o equivalente a fazer a multiplicação de A por B^-1:

A ÷ B = A × B^-1

Onde B^-1 = 1/B é o recíproco de B, e que:

B × B^-1 = 1

Se raciocinarmos da seguinte forma:
"Distribuir igualmente 12 maças para 4 pessoas, é o mesmo que distribuir 24 maças para 8 pessoas..."
percebemos que existe uma REGRA DA PROPORÇÃO na divisão:

e usando as propriedades Distributivas e Comutativas da multiplicação, deduzimos a REGRA DE ADIÇÃO de frações

e se 2 × 3 × 4 = 24
então 2 × 3 = 24 ÷ 4
e 2 = (24 ÷ 4) ÷ 3
ou usando a propriedade dos recíprocos
2 × 3 = 24 × 1/4
e 2 = 24 × 1/4 × 1/3
que seria o mesmo a fazer diretamente
2 × (3 × 4) = 24
2 = 24 × 1/(4 × 3)
ou seja, deduzimos que
1/3 × 1/4 = 1/(3 × 4)

o que nos leva à REGRA DE MULTIPLICAÇÃO de frações

e se 1/2 × 2 = 1
de onde 1/2 = 1 ÷ 2
é claro que 2 = 1 ÷ (1/2) = 1/(1/2) = 1 × 2

o que nos leva à REGRA DE DIVISÃO de frações

Fatorando dois números em termos de seus números primos é possível encontrar o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum entre eles.
se 4 = 2 × 2 e 6 = 2 × 3
então 4 × 3 = 6 × 2 = 12
e 4 ÷ 2 = 6 ÷ 3 = 2
onde 12 é o mínimo múltiplo comum e 2 é o máximo divisor comum de 4 e 6.
Ou seja, o máximo divisor comum é o maior número inteiro que divide dois ou mais números sem deixar frações, enquanto que o mínimo múltiplo comum é o menor número inteiro que pode ser dividido por dois ou mais números sem deixar frações.

8 - 4 = 8 + (-4) = 4
4 - 8 = 4 + (-8) = -4
8 - (-4) = 8 + 4 = 12

todo número negativo pode ser escrito como o produto de -1 com o valor positivo desse número
-1 × 4 = -4
ou seja, multiplicar um número por -1 produz uma inversão de sinal
-1 × (-4) = -(-4) = 4

assim no produto de dois números
(2)×(5) = 10
(-2)×(-5) = 10
(2)×(-5) = -10
(-2)×(5) = -10

e como (-1)×(-1) = 1
então (-1) = 1/(-1)
demonstrando que as mesmas regras de sinais na multiplicação valem para a divisão