Historia Universal de las Cifras, Georges Ifrah, ed. Espasa.

       Los dígitos son los dedos, en latín. En griego se dicen dáctilos. Llamamos, y lo hacemos bien, dígitos (dedos) a las cifras, números, pues en su origen los contábamos con los dedos. Los dáctilos, como los curetes y los coribantes, formaban el séquito de la diosa. Los números, pues, (los dedos) pertenecían al mundo de la dies.

La escritura y la notación numérica permitieron fijar el pensamiento humano, tan olvidadizo de por sí, sirvió para comunicarnos, como testimonio de algo que habría que recordar, como medio de acceder al mundo de las ideas. Pues es en el lenguaje donde se encuentran las ideas. Los conceptos son abstractos, pues se aplican en la realidad a cualesquiera que sean sus manifestaciones individuales.

La evolución de la notación numérica, aunque anterior a la escritura, se ha apoyado en la evolución de ésta así como en el soporte al que tenía que adaptarse. Pero si la escritura de palabras necesita previamente de un lenguaje hablado, al número le bastó con nuestra capacidad de pensamiento. El lenguaje de los números pudo perfectamente ser en sus orígenes un lenguaje simplemente “gestual”.

        Calculábamos, contábamos, antes de practicar el sonido articulado? i.e.: antes de hablar? Enumerar, datar, censar, contar… fue sin duda anterior a (incluso origen de) la escritura, pero quizás también lo fue del lenguaje hablado. Los guardianes de armas o de víveres debían comprobar que guardaban las cantidades correctas.

         Pero al comienzo percibíamos lo que veíamos en una sola ojeada. Visualizamos hasta tres, luego hasta cuatro (más que el cuervo del experimento), quizás llegamos a cinco.., pero en pasando de ahí tuvimos que ayudarnos con los dedos. Con el lenguaje articulado seguro que no dejamos de expresarnos al mismo tiempo con los gestos de los dedos en el caso de los números. Cuando el mismo número lo aplicamos a cosas de nombres distintos, su uso abstracto lo independizaba de las cosas materiales concretas contadas. Con el lenguaje articulado los sonidos de los nombres de los números sustituyen progresivamente a los objetos para los cuales habían sido creados. Sus fases, pues fueron el gesto, luego lo hablado (tras haberle puesto nombres), y luego lo escrito. El siguiente paso sería la posición de base y el número 0 (cero) que necesita aquélla.

      Huesos tallados con muescas (unidades contadas) los hay desde el año 35.000 adne. Las pinturas rupestres se remontan a más del 20.000. Del 9000 al 5000 datan fichas, palillos, esferas, con trazos y cruces, en Anatolia y Próximo Oriente, que dan fe de nuestra capacidad de pensamiento simbólico, aunque no fueran expresión de un lenguaje articulado.

          La numeración romana no deriva del griego, es un fósil de la talla prehistórica de “muescas”.

          Los números actuales no tienen su origen en los árabes sino en los indios desde hace 15 siglos.

          Es difícil imaginar la nada (el cero) cuando ya existe algo (menos aún lo sería si ni siquiera existiéramos), pero su invento en el cálculo hizo posible la matemática moderna. Y la geometría analítica algebraica de Descartes, el infinito matemático de Newton o el cálculo infinitesimal de Leibniz, así como los conjuntos, las matrices y el cálculo vectorial.

           El poder “evaluar”que permitía planificar, dominar, predecir… tuvo un carácter mágico y sagrado.

           Los primeros números que aprendimos fueron tres, el 1, el 2 y el 3, correspondiendo el 2 al par y el 3 a “multitud”. Y muchos más serían 9: 3 veces 3. Fue un salto llegar al 4 (historia del cuervo que no entraba en la casa hasta que había salido el tercero, pero no llegaba a apercibirse de que estuviera dentro el 4º). Contar por encima de eso, requiere aprendizaje. El número es posterior al fuego y la inhumación pero anterior a la rueda o a la escritura, por no hablar del alfabeto. Y como lenguaje es el único realmente universal, el que es interpretado exactamente igual por cualquiera que lo lea, el de la ciencia de las matemáticas exactas. La Torre de Babel afectó a las letras pero no a los números.

Es la decena de dedos la que nos hizo utilizar la base 10 (o 20 para los mayas, contando los de los pies). Más abajo veremos por qué los sumerios utilizaron el sistema sexagesimal, sobre base 60, que seguimos aplicando a los minutos/segundos y a los grados (6 veces 60 son los 360º) así como seguimos utilizando la menos común base 12 para las horas del día, 24.

Como instrumentos de cáculo comenzamos con los dedos, con muescas en madera y hueso hace más de 30.000 años, con cuerdas anudadas y apilando piedras, pequeños guijarros (calculus), conchas o bastoncillos. Las muescas en diferentes materiales correspondían a diferentes cosas o animales contados. Las cuerdas anudadas en Sudamérica, China y Riukiu (cerca del Japón) sirvieron de archivos en la ingeniosa burocracia de los incas. Los guijarros están en el origen de los ábacos (suan pan en chino, soroban en japonés, stchoty en ruso).

Antes de que apareciera la escritura, que derivó de los números, en el IV milenio adne. en la iraní Elam un bastoncillo significaba la unidad, una bola la decena, una esfera la centena… Para los sumerios un cono pequeño era el 1, una bola el 10, un cono grande el 60, un cono perforado el 600, una esfera el 3.600… Las cifras sumerias nacieron en el 3.200 metiendo las unidades de cálculo (bolas, conos…) en bolos de arcilla, en cuyo exterior se inscribía su contenido: con muescas sus conos (para el 1 la barra vertical), un orificio para las bolas, un círculo para las esferas…

La escritura añadiría al inventario (de números) la representación visual del pensamiento, haciendo posible su memorización y permanencia, así como la del lenguaje articulado.

Contra los escépticos hacia el difusionismo, sépase que son comunes en las mayorías de las culturas los signos 1 con la barra vertical, el 5 con la V (mano abierta), el 10 con la X (dos V) o con la barra horizontal… Basta con “uno” que invente… para que todos los acepten, de inmediato, si la idea es útil, para la supervivencia. Y eso ha venido ocurriendo desde siempre. El nombre del dios hebreo, el Innombrable (en consonantes), se compone de 5 vocales 5: Iauoé, Yavoé, Yahvé. Así resultó divino el número 26 del nombre de YHWH (10+5+6+5).

Cuando se inventó el alfabeto, se asignó un número a las letras por su orden en el fenicio. Las palabras resultantes por la suma de los números y vicerversa han fascinado desde siempre a los esotéricos.

Los babilonios inventaron un tipo de 0, cero, a comienzos del II milenio (valor distinto del 9 según su posición, como lo hicieron luego los chinos poco antes de nuestra era, los mayas en el s.IV y los indios en el V) y dieron un número-nombre a cada uno de sus dioses principales. Pero el 0 como número es hallazgo de los indios, y ha llegado a nosotros via los árabes. Los cronogramas turcos y persas expresaban fechas numérica y semánticamente a la vez. El católico Petrus Bungus “demostró” que la suma de las letras del nombre de Martín Lutero era 666, el número del AntiCristo del Apocalipsis.

Los mayas daban un nombre de dios a los números de cada día del calendario. Los babilonios asignaron el 60 al dios del Cielo Anu, el 50 al de la Tierra Enlil, el 40 al de las Aguas Ea, Marduk el 10, etc… Asignando números a los dioses ayudaron a su abstracción.

Platón, muy influido por Pitágoras, centró en los números la esencia de la armonía del Cosmos. Si las lenguas diversifican las culturas desde Babel, los números las agltinan, pues el número es un lenguaje universal.

El evidente poder de calcular mediante números fue sagrado en principio, inaccesible para el laico.

El experimento del cuervo que esperaba hasta 3 que salieran de la casa donde tenía su nido, pero cuando eran más de 3 no reconocía el 4, nos hace deducir que reconocemos hasta tres como “muchos” pero que el 4 implica ya un cierto grado de abstracción, inaccesible para los animales, o para el humano antes de los 18 meses. Pues hasta entonces percibimos conjuntos, pero no números naturales, con los cuales podemos luego discernir 1+1, 3+1, etc. y cuando vemos uno, dos o “muchos”, no sabemos todavía ver 2+2, y menos aún 2+2+2, pues ya estamos combinando elementos. Con la vista percibimos uno, dos o tres, o hasta 4, platos apilados, pero si son más de cuatro, para saber cuántos hay tenemos que contarlos. Los números 1 a 4 se declinan en latín, pero a partir del quinto carecen de declinación y género. Como eran 4 los meses del año primitivo romano de 10 meses que tenían nombres propios: Martius, Aprilis, Maius, Junius. A partir del quinto se llamaban Quintilis, Sextelis, September, October, November, December.

Las primeras anotaciones de los números llegaron a 5, con la ayuda de los dedos. Cuatro barras, 4, rayadas formarán un grupo de 5. Se practica todavía en las barras de los bares y en las cárceles. Por qué? Porque más de cuatro barras ya no podrían ser contadas de un vistazo, sino que habría que contarlas una a una y con serio peligo de error. De todas formas percibir 4 ya nos sitúa por encima del avispado cuervo.

 No hacía falta contar para saber si regresaban al aprisco todas las cabezas de ganado que salieron a pastar, bastaba con asociar cada elemento a cada una de las muescas talladas en hueso o madera, o a cada una de las piedras amontonadas en número igual a las cabezas inventariadas, sin que fuéramos conscientes de que estábamos practicando la aritmética. Diversos soportes o colores del soporte nos permitían distinguir si lo que estábamos contando eran vacas, ovejas, o cuencos, o fases de la luna, o seres humanos. Si venían más de los que habían salido es que alguna había parido. Asociamos por parejas cuando se sientan las muñecas cada una en una silla, o cuando se pasan las cuentas del rosario a cada una de las cuales se asocia un atributo divino, sin tener que contarlas y como recurso mnemotécnico. El carácter sagrado de los amilladoiros gallegos o montones de piedras de Hermes en el camino bien puede provenir de cuando, al partir para una expedición de peligro, cada uno colocaba su piedra y la recogía al volver, equivaliendo las piedras que quedaran sin recoger a los que se habían quedado en el camino.

Con los dedos podemos contar no sólo hasta 5, sino hasta 20, y combinándolos con las falanges, las articulaciones, los hombros y otras partes del cuerpo, podemos llegar hasta 10.000 millones en China con las dos manos. El lenguaje gestual pudo, pues, permitirnos “contar” y comunicar el resultado incluso antes de utilizar el lenguaje oral!

Todo número cardinal es ordinal en el sentido de que es el último elemento contado, tras la secuencia ordenada de los elementos anteriores, el que nos dice el número total de que se compone el conjunto: 20 cebollas lo son porque la última de ellas es la vigésima.

Al poner nombres a los números iniciamos su proceso de abstracción. Los sonidos del lenguaje articulado pudieron substituir a los objetos de los que habían derivado. “Aunque la realidad sugiere el número, no por ello lo constituye”, sino que el número es el resultado mental de operar con símbolos numéricos en lugar de con las cosas numeradas. Y así dimos un símbolo distinto a cada número en lugar de repetir indefinidamente las muescas (la unidad).

El número como nombre es un concepto (: la unidad, el par, la tríada…) mientras que la cifra (1, 2, 3…) es una convención gráfica para poder expresarlo y comunicarlo los que saben escribir y contar.

El patriarcal guerrero indoeuropeo que invadió la India y el Mediterráneo desde comienzos hasta finales del II milenio, no procedía del Turquestán sino de una zona entre el Ural y el Danubio, y se les llamó arios en la India (las lenguas védica y sánscrita); casitas, hititas y lidios en Asia Menor (en la Anatolia hitita, licia y lidia); el hicso en Egipto; el armenio en Turquía y los iranios en Persia (que, además del persa antiguo de Darío, hablaron el avéstico, el medo, el escita, el kurdo, el afgano…); aqueos, minoicos, dorios y helenos en la Hélade (que incluyen los eolos, arcadios, micénicos, el griego homérico, el jónico, el koiné y el griego moderno y eslavos); celtas en Europa central (galos, bretones, galeses, gaélicos de Irlanda y de Escocia…), e itálicos en Italia (que incluye los países y lenguas latinas, incluida la rumana). Y al final del imperio romano, los germanos en Europa occidental (escandinavos, sajones, anglosajones…).  

Un hallazgo fue inventar el número base: la decena, la docena, la veintena, la sesentena…, agrupando en la base un número de elementos que formen una unidad a partir de la cual puedan formarse otras unidades de orden superior. Con ello redujimos el número de símbolos para números elevados. Diez conchas anudadas con un cordel blanco dan paso a un nuevo cordón azul (del 11 al 20), que nos permite desanudar el primer cordón blanco, y luego otro blanco…, y tras diez azules se inciarían nuevos nudos de conchas en un cordón rojo… con lo que al contar, vga.: 258 vacas, tendríamos 2 cordones rojos completos (de 10 conchas cada uno) para 200, 5 azules para 50 y ocho nudos en una sola cuerda blanca. Así han contado hasta recientemente los pastores su ganado en Africa Occidental. 

En la base decenal tenemos 9 números, cada uno con su nombre propio (también el 20, y en inglés y alemán llegan hasta el doce, más el 20), sometidos a un orden, “principio de posición” (1,2,3,4…), utilizando un número nulo, el “0” - resultado de restarse a sí mismo, lo que es una abstracción del copón-, el cual constituye la base, formando el 10 como unidad del “segundo orden” que se compondrá del 10 +1, +2…, hasta el 20. Del 20 al 90 los múltiplos de la base son las decenas o “unidades de segundo orden decimal” y se expresan por multiplicación: 2x10=20; 3x10=30… Cuando el número de las centenas sea igual o superior a 10, las unidades de centena “de tercer orden decimal” se expresan así: 10² = 100; 2x100=200; 3x100=300… Agrupados de nuevo en paquetes de 10 se obtienen los millares (“de cuarto orden decimal”): 10³=1.000…, y luego las miríadas… Así, el número 65.936 se compone de 6 miríadas, 5 miles, nueve cientos, 3 decenas y 6 unidades, o sea: (6 x 10.000) + (5 x 1.000) + (9 x 100) + (3 x 10) + 6. El sánscrito utiliza también el sistema decimal pero lo expresa al revés que nosotros: el 65.936 lo escriben 639.56.

Lo del 20 no es un residuo del sistema vigesimal, pues el indoeuropeo fue un sistema decenal (y por tanto posterior al año 3000! y en Grecia después del 2000) sino que se explica porque deriva del sánscrito vimsati (visati/dvi-dasati: dos decenas, ahí sí)

La primitiva numeración de uno, dos y “muchos” (a partir de más de dos) se refleja en el dual egipcio y el griego (la raíz poli en griego es tanto de “muchos” (más de 2) como de “ciudad” (donde hay muchos), el trans latino que es “más allá” (del 2),  el tres francés que también significa muchos (muy) y como base el trop “demasiados” (más de 2), el through (más allá, del 2) y el thrice inglés que significa “tres veces” tanto como “varios”, o la tropa española, francesa e italiana, que incluye muchos componentes (más de 2). Ahora entendemos que la diosa, “múltiple” en sus manifestaciones-epifanías según las localidades que la adoptaban, fuera siempre triple, “tres” diosas, tres lunas, tres Gracias, tres Musas, etc. puro poli-teísmo. 

Muchas tribus sudamericanas, africanas y los apis hawaianos utilizan el número 5 como base, pues para contar utilizaban una sola mano. Y los hay que utilizan la base 4 lo que se explicaría por utilizar una sola mano y el pulgar sólo como contador, o porque son 4 los puntos cardinales, o porque nuestra percepción visual puede llegar de un golpe hasta 4 sin tener que calcular.

Una hipotética “base 2”, con los dígitos 0 y 1, para expresar el número 2.452 de 4 dígitos en el sistema decimal, necesitaría de 12: 1001100100000 = 1x2² + 0x2¹⁰ +0x2⁹ + 1x2⁸ + 1x2⁷ +0x2⁶ +0x2⁵ + 1x2⁴ +0x2³ + 0x2² + 0x2 + 0.

Por otra parte, en una numeración con base 5,7,11, números primos que no tienen más divisor que ellos mismos, la irreductibilidad de las fracciones entrañaría la unicidad de las representaciones, mientras que con el sistema decimal el número vga.: 0,68 corresponde tanto a la fracción 68/100 como a 34/50 o 17/25, no teniendo nuestro sistema decimal la ventaja de o bien muchos divisores o bien ningún divisor. 

La base 20 la utilizaron los mayas, aztecas, los aínos japoneses, los esquimales de Groenlandia, los yorubas de Nigeria, los banda del Africa central, los vascos, cuya lengua no es indoeuropea… Incluso one score en inglés es 20 (scores eran las muescas en la vara), Lincoln empezó su discurso en Gettysburg: “Four score and seven years ago…” (hace ochenta y 7 años…) y entre los celtas irlandeses, bretones y galeses, 30 es diez más veinte, 40 es dos veces 20, 50 tres veces 20…

Los sumerios utilizaron la base 60, que seguimos utilizando para las horas y minutos así como para los grados de los arcos, que incluye la latitud y longitud en minutos y segundos desde el ecuador. La datación numérica sumeria data del 3200. Pero como memorizar 60 números distintos hubiera resultado costoso, se auxiliaron con el 12 como grado intermedio entre las distintas unidades sexagesimales.

En el sistema sexagesimal tienen nombres propios los diez primeros números, que multiplicados por 1,2,3… hasta 6, llegará a la base sexagesimal. El 10x2 da 20, el 10x3 da 30, pero 40 es 20x2, 50 es 40+1 y 60 es 20x3 (los tres últimos son restos del sistema vigesimal). 60 es ya la primera unidad. 60x2, x3…/…, x10, darán 120, 180…/…600, que es la segunda unidad. 600 x2, x3…/… x6, dará 1.200, 1.800 …/… 3.600 que también puede expresarse 60². 3.600, la sesentena de sensetenas, será un nuevo grado que multiplicado por 2 y hasta por 10 llegará a 36.000, el cual multiplicado por 2 y hasta por 6 dará el 216.000, que multiplicado hasta por 10 llegará al 2.160.000, el cual multiplicado hasta por 6 dará la unidad superior 12.960.000 (60⁴). Así que 6 se multiplica por 10 para la primera unidad, ésta por 6 para la segunda, ésta por 10 para la tercera, ésta por 6 para la cuarta, ésta por 10 para la quinta, ésta por 6 para la sexta.

La unidad, la decena y la sesentena se expresaban arcaicamente mediante una muesca, un círculo y una muesca gruesa, respectivamente. Combinando los signos, se llegaba al 36.000 que se expresaba con un círculo mayor y otro más pequeño en su interior. Estos signos verticales se volvieron horizontales desde el siglo XXVII en que pronto se escribirían en grafía cuneiforme, evolucionando la figura del signo al cambiar el cálamo. La escritura se “trazaba”, pero los números se “imprimían”. El “papel” soporte era la arcilla blanda. El paso de la escritura de derecha a izquierda y de arriba abajo hacia otra de lectura de izquierda a derecha en horizontal fue motivado por el cambio de soporte que, al ser mayores las tablillas, hizo más cómoda así la escritura, y luego más estilizada, ayudando a su abstracción. 70 se escribía con los signos de 60 y de 10 separados, mientras que 600 utilizaba los dos signos pero juntos. Las unidades se expresaban claramente separadas. La grafía numérica arcaica duró 1.000 años, del 3100 al 2100, año éste en que se utilizó la escritura numérica cuneiforme.

Sólo los sumerios utilizaron la base sexagesimal. Razones? Porque es la que tiene más divisores, según unos; porque se originó en el calendario solar de 360 días con la consiguiente división del círculo en 360º, según otros, y como la cuerda del sextante (1/6 del círculo) es igual a su radio, ese número genera la división del círculo en 6 partes iguales; porque dentro del sistema decimal se adoptó el 6 para facilitar las fracciones de l/2 y de 2/3…, o porque 60 es el resultado de multiplicar los 12 meses por los 5 planetas entonces conocidos, o porque 30 resultaba insuficiente al no ser divisible por 4, o porque dividiendo el círculo en 6 ángulos iguales en lugar de 4 ángulos rectos se adoptaba como patrón -figura fundamental de referencia- el demiúrgico triángulo equilátero (con lo cual el círculo se dividió por 60). O por varias de -o todas- esas razones.

El número 12 tuvo mucho que ver, y ayudó, a la adopción de este sistema. Las medidas de longitud (1 ninda = 12 codos), de superficie (1 sar = 12 x 12 codos), de capacidad (1 pi = 3 x 12 silas, 1 ban tenía 6 silas) y de peso (1 gin/siclo tenía 3 x 12 su) en Mesopotamia se aplicaron sobre esta base.

Sesenta es además el mínimo común múltiplo de 10 y de 12 y al mismo tiempo es el menor entero que tiene como divisores los seis primeros números. Utilizaron, pues, las dos bases, por docenas y decenas, ésta última de forma secundaria, siendo 60 un ciclo cómodo para los cálculos.

Si la geometría y la astronomía no fueron motivos suficientes para generar el sistema de base 60, sí al menos explican por qué perdura en nuestra medida del tiempo, del arco y del ángulo.

Si un sistema es mejor cuantos más divisores tenga su base, la mejor base habría sido la docena en lugar de la decena. En nuestro sistema decenal la base 10 es múltiplo de 2 y de 5, mientras que 12 sería divisible por 2, por 3, por 4 y por 6. Sería fácil calcular sobre la marcha no sólo la mitad sino hasta tercios, cuartas e incluso sextas partes, y un año tendría un número de meses igual a la base, un día constaría del doble de horas que la base, una hora tendría 5 veces esa base en minutos y otro tanto éstos en segundos, la medida del círculo sería 30 veces la base 12, la medida del ángulo recto sería 15 veces esa base y la eclíptica podría medirse según una simple división en 30 partes iguales a la base. Nos han quedado las medidas de las ostras y los huevos.

Por qué entonces la base 10? Porque fue con ella que comenzamos cuando empezamos a contar con los dedos. Por eso el nombre sumerio del número 10 era u, que significa “dedos”. Si hubiéramos tenido seis dedos en cada mano, seguro que habríamos adoptado el sistema docenal. Claro que la base 20 se origina también en los dedos de las mano, más los de los pies.

Se especula mucho sobre el origen místico de los números. Pitágoras los utiliza como base de su religión que fascinó incluso a Platón. Así el círculo representa tanto el número 3.600 (60x60) como la perfección, el Cosmos, el Todo; el dios celeste An(u) se identifica con un signo de asterisco/estrella y también con el número 60, sosse, que además representa el sextante (360º); la Tierra el 50, el Abismo el 40, la Luna el 30, el Sol (y el rey) el 20, Ishtar (y el planeta Venus) el 15… Pero la aplicación posterior mística no parece más fuerte en su origen que la eficacia pragmática a la que el número debe su existencia. No nació por tanto el sistema sexagesimal porque el dios Anu fuera el 60 sino que más bien le adjudicarían ese número al adoptar ese sistema. Lo curioso de su origen es que los sumerios traían consigo el sistema 5 cuando en el IV milenio invadieron el sudeste de Mesopotamia donde los nativos utilizaban la base 12. En efecto, los nombres sumerios de los números 6,7,9 (as, imin, ilimmu) se componen de 5 (iá, que significa “mano”!) más 1 (ges), 5 más 2 (min), 5 más 4 (limmu). El “avance” patriarcal de esta cultura se muestra al representar al varón con el número 1 (ges, que también significaba “pene”, dejando patente la relación de su nuevo status social predominante con el descubrimiento de la relación entre cópula y parto, reacción explicable si hasta entonces su status hubiera sido el contrario, el de subordinado), a la mujer con el 2 (par dual, tan complementario como antagonista, que también se dio en los griegos y en los egipcios) y el 3 para significar lo plural en general (de nuevo como en Grecia y Egipto). También en China el “bosque” se representaba con 3 árboles y “muchedumbre” con 3 figuras humanas.

Pero también la base 12 tiene un origen “manual” si, como imaginamos, los nativos utilizaban el pulgar para contar apoyándolo sobre cada una de las 3 falanges de los otros 4 dedos. Tal uso sigue vigente en Egipto, Siria, Irak, Afganistán, en Pakistán y en algunas regiones de la India. A pesar de lo cual, la evidencia de 10 dedos en las manos se expresa en el término u, que significa tanto “dedos” como “diez”, representándose el 12 como u-min: 10 más 2.

La base 60 surgió pues espontáneamente de la combinación de las dos bases, la del 12 y la del 5, las dos manuales. La sesentena era la base principal, y los números 12 y 5 eran las bases auxiliares. Los que optaron por la base 10 lo hicieron por parecerles ésta más natural o evidente al extender los dedos de las dos manos. Al ser 60 el resultado de 10 veces 6, éste número prevaleció como base auxiliar en lugar del 5, y lo aseguraron sacralizando sus principales unidades, identificando con ellas a los dioses sumerios.

Los dedos de las manos están, pues, en la base de los números, tanto si la base utilizada era el 5 como si era el 6, ó el 10, ó el 12, ó el 20 ó el 60.

Con los dedos de las manos cuentan los sordomudos hasta el 10.000 (9.999) y el monje irlandés Beda el Venerable explica cómo llegar al millón, cifra que se expresa entrecruzando los dedos de las manos. En China llegaron a contar con  una mano hasta 100.000 y hasta 10.000 millones con las dos!

A pesar de la eficacia del cálculo a partir de los números árabes, todavía en informática se habla de cálculo digital (digiti que en latín significa “dedos”, y articuli “articulaciones”, se utilizaban en la Edad Media para representar las unidades simples y las decenas), porque digit en inglés significa “cifra”. El número, pues, ha sustituído a la mano como soporte para el cálculo aritmético. Incluso el término informático bits viene de binary digits.

 Pero volvamos al origen de los números mediante muescas en huesos o pedazos de madera tallados, cuya práctica conocemos desde hace 40 milenios. Los primeros testimonios arqueológicos nos remontan al período Auriñaciense, del 35000 al 20000 adne., anterior al Magdaleniense que va del 20000 al 12000. El reparto regular de las muescas talladas en grupos de 5 implica no sólo concebir los números abstractos sino también descomponerlos sobre el principio de la base. La contabilidad escrita precedió con mucho a la escritura: contábamos a pesar de ser analfabetos. La burocracia inglesa no abolió los palotes en trozos de madera de olmo (tally, tallado) hasta 1826. En esas fechas todavía se utilizaban los tallies en los mercados públicos de la Europa continental como instrumentos de cuentas a crédito, y aún en el siglo XX los panaderos usaban dos tallies, uno de los cuales, tras tallar la muesca correspondiente, se entregaba al cliente y el otro permanecía en la panadería lo cual, más que un recibo o factura, era toda una tarjeta de crédito. Signare, firmar, era el hecho de marcar con una cruz la operación realizada, lo cual perfeccionaba el “contrato”. El camarero señala todavía con tiza en la barra un palote para avisar de la consumición aún no pagada y los pilotos aéreos entre las dos guerras mundiales dibujaban un signo en la carlinga por cada bombardeo hasta cumplir el total de la misión encomendada.

El conteo con los dedos de la mano servía para visualizar los números pero no los memorizaba. Conservar las enumeraciones lo conseguían los incas mediante quipus, cuerdas con nudos, aunque no conocieran ni la tracción animal, ni la rueda o la escritura. Los quipus no eran ábacos. Pero servían como soporte mnemotécnico para sus rituales, calendario, cronología o estadísticas, tributos, censos, cosechas, tanto como medio de transmisión de mensajes. La cuerda blanca se usaba para el dinero, la amarilla para el oro, la roja para las guerras… Los delegados regionales del gobierno central eran los quipucamayocs, que guardaban las cuerdad de nudos e informaban sobre censos e inventarios, de hombres o animales.

El término árabe ‘aqd significa tanto “contrato” como “nudo”. El rosario es una cuerda con nudos.

La primera forma de comercio, el trueque sin dinero, necesitó del número. Antes que los metales, y hasta el siglo VII del primer milenio adne., en Grecia la primera unidad de trueque fue el buey. Del latín pecus, “rebaño”, vienen pecunia, peculio o pecuario; el cuerno era el símbolo de la abundancia. De caput, “cabeza”, se deriva “capital”.  Del sánscrito rupa, ganado, viene la rupia.

Antes de convertirse en una ciencia especulativa y axiomática, las matemáticas sirvieron para controlar el calendario y la geometría para medir longitudes, superficies y volúmenes.

Para calcular las distancias, los egipcios utilizaban en sus obras públicas la plomada, el codo, la cuerda, el palo-escala, la escuadra… La escuadra se “fabrica” con tres cuerdas formando un triángulo rectángulo, cuyos lados medían 3, 4 y 5 unidades de longitud. El cuadrado de la mayor es igual a la suma del cuadrado de las otras dos, por lo que se adelantaron a Pitágoras que se atribuyó el teorema.

La arcilla en Mesopotamia se usaba en la construcción, para la cerámica, figurillas, morteros, sellos, ladrillos, abalorios. Antes de ser utilizada como soporte material de la escritura, los montones de guijarros servían para fines numéricos. Calculus -en griego khaliks- en latín significa “guijarro” y todavía decimos “cálculos en el riñón”. El término asirio y babilonio abnu significaba tanto “piedra” como “cuenta”, al igual que el signo sumerio inma. En Grecia y en Roma los niños usaban “cálculos”/guijarros para aprender a contar. El término árabe haswa, “guijarro”, es de la misma raíz que ihsa’ que significa “cuenta”. En Abisinia los soldados, al marchar para una expedición, depositaban su guijarro en un montón y lo recuperaban al regresar, siendo los restantes el número de pérdidas sufridas. El dios griego Hermes lo es tanto del número como de los viajes.

Se remontan a más del 8000 adne. estos tipos de guijarros con trazos desde Anatolia a Irán y hasta Sudán, siendo su réplica en dos dimensiones el origen de la escritura sumeria cuya expresión simbólica evolucionaría hasta los signos del lenguaje hablado. Así, la muesca fina de la “unidad” replicaba un cono de arcilla; la marca circular de la “docena”, la piedra redonda, bola o esfera; la muesca gruesa del 60 recordaba el cono grande; la marca circular con un punto en medio, 36.000, sería antes la esfera perforada. 

Los sumerios no eran indoeuropeos, no lo era su lengua -que era aglutinante como la semítica, las caucásicas y las turcomongolas-, y procedían de Irán en el Asia central. Al llegar a Uruk (IV, ciudad de Gilgamesh) en la mitad del IV milenio desde las montañas, por añoranza de éstas desarrollaron la escultura de piedra y el zigurat, ya que esos dos elementos faltaban en la Baja Mesopotamia. De ellos son la glíptica (donde los cilindros con escenas religiosas y de animales dominaron sobre los sellos), la escultura en relieve y la escritura. La ciudad-estado sumeria era más bien ciudad-templo (Gis-Par) donde residía (vivía) el rey-sacerdote (EN, Señor, vicario del dios) antes de que nacieran los palacios que separaron el clero del estado mediante su organización militar, originando el monarca-caudillo con el título de Rey (Lugal). El primer palacio conocido fue el del Tell A de Kish y el primer rey de Kish fue Mebaragesi en el 2700 adne. Templos eran los de Isthar en Mari, de Innana en Nippur, el oval de Khafaje o el cuadrado de Tell Asmar.

Mil años después, en el siglo XXIV adne., con Sargón en Acad/Agadé en el 2350 –que impuso al dios Marduk sobre los dioses locales para centralizar el poder-, las ciudades sumerias se harían acadias aunque asimilando la cultura sumeria. Invadidos los acadio-sumerios en el 2150 por los gutis, tribus montañesas, renacen los reinos sumerios en el 2120, derrotando a los gutis y tomando la hegemonía la ciudad de Lagash, y aún más la de Ur, hasta el imperio asirio del 2000. Hammurabi impone la semita Babilonia en el 1730. Babilonia fue construida por los amorreos en el 1830, tomada por los cassitas en el 1530 hasta el 1150 y dominada por los asirios desde el s.X al VII adne. La invasión hitita fue en el 1594. Asiria cayó con Nínive en el 612 adne. Babilonia aguantó hasta el 539 adne. en que llegaron los persas con Ciro. El griego Alejandro lo hizo en el 311 adne.   

La escritura no sólo guarda la palabra sino que además objetiva el pensamiento que hasta entonces permanecía en estado de mera posibilidad. La palabra escrita proporciona un acceso directo al mundo de las ideas. Pero la simple representación visual del pensamiento mediante signos materiales, pictografía, no es suficiente para constituir la escritura que se refiere al lenguaje más que al propio pensamiento y que requiere un esfuerzo sistemático para la reproducción del lenguaje hablado. En las tablillas de arcilla cocida de la sumeria Uruk, al sur de la Baja Mesopotamia, en las que son más de dos mil los signos utilizados, la mujer se respresentaba con el triángulo púbico pero ya el varón se expresaba por su pene, que significaba también “fecundar”. Al igual que en los jeroglíficios egipcios que se aferran a su origen ideográfico, el sol significará también “día”, “brillar” y “luz”; dos trazos paralelos, “amistad”, y entrecruzados, “enemigos”; rayas bajo un semicírculo (la bóveda celeste) serán la noche, la oscuridad; un huevo junto a un ave, “parir”.

Para los acadios los signos sumerios no eran reconocibles sino simples símbolos con sonidos, lo que facilitó el tránsito del ideograma al fonema. Con el signo sumerio del clavo vertical dibujaron el 1 y con el de la espiga el 10, pero al carecer de signo para el 100 (me’at) y el 1000 (li’im), los escribieron fonéticamente. Este fue el motivo de que, al utilizar los semitas el sistema decimal en el lenguaje hablado, los asirio-babilonios terminaran por abandonar el sistema sexagesimal sumerio para adoptar el decimal, hasta nuestros días.

Las primeras tablillas de Sumer a finales del IV milenio eran “piezas de contabilidad”, resúmenes de operaciones administrativas de redistribución o intercambio, como lo muestran las cifras totales al final (o dorso) del documento. Su origen comercial, númerico, económico, lo puso bajo la administración de los templos que atesoraban los excedentes y los redistribuían. Y servían como guía de la memoria, pues la escritura sumeria era más apta para memorizar que para notificar.

Es a partir del 2800/2700 que la escritura sumeria comienza a relacionarse con la lengua hablada. Mediante un valor fonético a los signos ideográficos. Por ejemplo, si dibujamos un rostro y luego una col, podemos leerlo “caracol”, que no tiene que ver con ninguno de los dos ideogramas. Así en sumerio el pictograma de un horno, que se decía ne, pasó a convertirse en un sonido. Como “flecha” se decía ti, pero también se decía ti para expresar la “vida”, el sonido ti se podría escribir de cualquiera de las dos maneras y terminarían por escribir una flecha para expresar la palabra “vida”. Porque el signo dejó de ser un pictograma, “ya no pintaba” nada, para pasar a ser un fonograma (que evoca un sonido, un fonema). A la escritura de cosas sucedió la escritura de palabras que ya no transmite el pensamiento sino el lenguaje, el habla. Y con ello no sólo serviría para memorizar sino también para informar, instruir, enseñar, transmitir, comunicar. A pesar de lo cual la escritura sumeria no traicionó nunca su origen pictográfico donde los signos seguían expresando conceptos (pensamientos) más que palabras (habladas).

Actualmente las cifras tienen un valor variable según la posición que ocupen en la escritura de los números: decenas, centenas, millares… Cuando los asirios en Mari se decidieron a escribir 200 con dos clavos igual que el 2, hubo que hacerlo modificando su posición para poder distinguirlos. Pero les faltaba el cero… y el signo que hoy separa la parte entera de la fraccionaria. Mil doscientos años les costó, ya en el 1500, asignar el signo de dos clavos oblicuos al 0 (cero) que indicaban un vacío posicional pero no la nada de 1-1.

Los egipcios adoptaron la base decimal, allá por el 3000, como en Mesopotamia.

Los jeroglíficos no eran realmente escritura al no permitir una figuración detallada del discurso hablado ni depender de una lengua determinada. Dibujar una naranja para expresar ese fruto es pictografía. Pero en la ideografía este dibujo no depende de una lengua concreta a la cual referirse ni se pueden expresar ideas abstractas como “concepto”, “anhelar”, “merecer”…  En una segunda fase se utilizó el pictograma como fonema, por su sonido. Por ejemplo un francófono pintaría, en lugar de una naranja, unas monedas de oro y un ángel, y al leerlo diría or-ange (así de simple) cuyo sonido le evocaría de inmediato dicho fruto, por su expresión fonética. Así los signos dejaron de ser imágenes para convertirse en útiles fonográficos. Los determinativos (a menudo el propio ideograma completo, distinguido por un trazo vertical, para reforzar lo expresado y evitar la confusión de los homófonos) fueron un tercer hallazgo de la escritura egipcia, que no llegó a más, ni al alfabeto ni a las vocales. El nombre del rey Nrmr en la célebre paleta figura encima de su cabeza con dos signos: un pez (Nr) y un cincel (Mr); mujer (Set) se escribía con dos signos: un cerrojo (S) y un pan (t); buitre (Neret) con tres: los signos del agua (N), de la boca (R) y del pan (T).

La unidad la expresaban con un pequeño trazo vertical   y se pronuncia   w’ (wa’)
la decena con una U invertida, una herradura, un asa, y se pronuncia  md (mdej)
la centena, una espiral                                                         y se pronuncia   st (shet)
el millar con una flor de loto                                                 y se pronuncia   h’ (kha’)
la decena de millar con un dedo levantado                  y se pronuncia   db’ (djebe’)
la centena de millar con una rana con rabo                 y se pronuncia   hfn (hefen)
el millón con un hombre arrodillado levantando los brazos al cielo
                                                                                                 y se pronuncia hh (heh)

Así los 47.209 enemigos aniquilados por el faraón Hasehem en el 2800 se expresan con dos espirales (200) sobre 9 (9) trazos verticales seguido de un ramillete de 3 flores de loto y otro de 4 (7.000) y luego 4 dedos levantados (40.000).

La barra vertical ha sido universal desde hace más de 30.000 años, pues comenzaría siendo un simple bastoncillo (excepto en China donde la unidad se expresaba con un trazo horizontal y la decena con uno vertical). La U invertida de la decena bien pudo provenir de la cuerda que anudaba los grupos de 10 o de 5 unidades. Los signos de 100 (la espiral) y de 1.000 (flor de loto) pudieron ser préstamos fonéticos. El dedo de 10.000 quizás fuera un remanente del conteo con los dedos hasta la cifra de 9.999. El renacuajo para el 100.000 pudo ser una simple asociación con la abundancia generada por las aguas del Nilo o por su gran fecundidad. El signo del millón con el hombre arrodillado y los brazos en alto significaba también “un millón de años” y “eternidad”, y quizás representaba un Atlas que sostenía la bóveda celeste o que admiraba la multitud de estrellas en el firmamento. El 7 se dibujaba con una cabeza por los siete orificios de la misma (ojos, narices, oídos y boca). No sabían multiplicar o dividir directamente más que por 2, sirviéndose para las demás de engorrosas duplicaciones.

Las fracciones las expresaban con el signo de la boca (eR) -con el sentido de “parte”- dibujado encima de la cifra o en la parte superior derecha de la primera línea del número expresado, aunque ½, 2/3 y ¾ tenían signos específicos. Como sólo conocían fracciones con la unidad como numerador, 3/5 lo expresaban con los signos de ½ y (más) 1/10. En el caso de medidas usaban el signo del ojo en lugar del de la boca. Los cinco días epagómenos que Thot (ibis o mono, dios de la sabiduría, la escritura, los números y el calendario) añadió al año solar de 360 días se atribuyeron a los dioses Osiris, Horus, Seth, Isis y Neftis. Seth encerró a su hermano Osiris en un cofre que arrojó al mar y arribó a las playas de Biblos. Rescatado de las aguas por su hermana Isis, por haberlo encontrado su hijo Horus, Seth lo trocea en catorce pedazos que dispersó por el Nilo. Isis recuperó trece, pero no el pene que había sido devorado por un pez, el oxirrinco, y recompuso el cadáver con la ayuda de su hermana Neftis. Horus castró a su tío Seth pero éste le sacó el ojo que cortó en seis pedazos y los esparció por todo Egipto. Las 6 fracciones del ojo suman 63/64 (½  + ¼ + 1/8… + 1/64) y el 1/64 restante lo guarda el dios Thot.

Los cretenses (2200/1400) escribieron de un modo (minoico, lineal A) y de otro procedente de un sistema jeroglífico (micénica, lineal B, 1350/1200, con más de cinco mil tablillas desde Knosos hasta Micenas y Pilos) que aún no han sido descifrados. Su escritura era bustrófedon: se leía en los dos sentidos en el orden de los surcos. Su sistema numérico era el decimal: la unidad era un trazo vertical, la decena un círculo o una barra horizontal, la centena era una barra oblicua, el millar un rombo…, los mismos en las dos escrituras. La idea y su expresión era la misma que la egipcia. Su grafía no fue cuneiforme, lo que sí ocurrió en Mesopotamia. En la lineal B conocieron el 10.000 pero utilizando la multiplicación de 10 por 1.000: una barra horizontal dentro de un rombo.

Los hititas indoeuropeos en sus tres fases: de asentamiento pacífico (s. XVIII/XVI), el Imperio Antiguo (1600/1450) y el Imperio Nuevo (1450/1200), de Anatolia central hasta el norte de Siria, sucumbieron a la ola de los Pueblos del Mar del 1200 y resurgieron al norte de Siria en pequeños pueblos neohititas” desde el s. IX al VII adne., en que fueron absorbidos por los asirios. Del 1500 al 1200 la escritura jeroglífica se impuso a la cuneiforme, coexistiendo las dos. La unidad se expresaba con un trazo vertical, la decena con un trazo horizontal, la centena con una X y el millar con una C picuda. El trazo horizontal es propio del tiempo de las muescas en que el 5 era la barra que tachaba (cruzaba) los 4 palotes primeros, como el dedo gordo que pisa los cuatro restantes, siendo 10 esa misma postura de los dedos con las dos manos. Es el sistema decimal con el 5 como base auxiliar.

 La escritura numérica griega clásica (ática del 500) expresó la unidad con trazos, el 5 con una Pi mayúscula, el 10 con la Delta, el 100 con la Heta, el 1.000 con la Xi, el 10.000 con la M…, donde cada letra se debe a la pronunciación de la cifra correspondiente: pi para 5, pente; delta para 10, deka; Heta para 100, hecaton; X para 1000, Jilioi; M para 10.000, myrioi… Si la cifra era dineraria y no de medida, al trazo vertical le añadía otro horizontal desde su centro hacia la derecha: |- o sustituían el trazo por una T(au) si se trataba de talentos (que valían 6.000 dracmas). Los submúltiplos del dracma eran la X de Jál(i)kos (1/8 de un óbolo), la T del Tetrazmorion (1/4 de óbolo), la C de ½ óbolo y la O del óbolo (1/6 del dracma). En Egina y el Peloponeso, como el pesopatrón del comercio era la mina, que pesaba 628 gramos, el dracma pesaba 6,28 gramos y el óbolo 1,04 gramos, 1/6 del dracma. En Atica y Eubea la mina pesaba 436 gramos, por lo que el dracma 4,36 y el óbolo 0,73. Una cifra de 5 dígitos actuales necesitaba de 15 en Grecia y de 31 en Creta. Ni éstas ni las romanas permitían hacer cálculos. Pues las

cifras romanas no eran signos que sirvieran para efectuar operaciones aritméticas sino simples abreviaturas (fósiles prehistóricos) para anotar los números a efectos mnemotécnicos. Las cifras romanas venían de las etruscas (s. VII al IV) que a su vez provenían de las griegas antiguas o de Cumas, cuyos signos para 50, 100 y 1.000, derivaban del alfabeto calcídico. Los números a partir del de 100.000 se distinguían por escribirse encerrados en un rectángulo incompleto. La V como cinco es un punteo tras los cuatro primeros trazos IIII(V) que toma vida propia, desplazándolos. Las restas de los números situados a la izquierda son el resultado de escribir sólo el cuarto trazo (I), y no los cuatro IIII, antes del V (=  IV). Ratio en latín significa tanto “cuenta” como “relación” lo que nos remonta a los tiempos de muescas talladas cuyos elementos están relacionados uno detrás de otro.

Griegos y romanos para calcular no utilizaban las cifras sino que tenían que acudir a los ábacos. Las monedas griegas más fuerte y más débil eran el talento y el jál(i)kos que se situaban en las columnas extremas del ábaco de fichas (un cuadrado). Un ábaco de sólo cinco líneas servía para contar hasta 99.999 unidades, otro de diez líneas llegaría a 9.999,999.999, a línea por dígito de la cifra:

             1          10.000              …                                 99.999

  2            1.000              …

  3              100               …

  4                10              20         30         …               99

  5                  1               2           3         …                 9

            Abacus (bandeja, mesa, tablilla) era en latín todo aparato o mueble cubierto por una superficie plana sobre la que pudiera realizarse un juego. En cada cuadro de la tabla superior se colocaban tantos guijarros (calculi) cuantos correspondieran según fueran unidades, decenas… o millares. No resultaba fácil, por lo que los especialistas eran una casta. Tal era su uso hasta el siglo XVIII dene. que tuvo que ser prohibido expresamente en las escuelas y administraciones por la Revolución Francesa. Su origen del áraba abq (arena) nos habla de sus orígenes con simples rayas en el suelo.

             El alfabeto fenicio inventado en el s. XV adne. se expandió por el Mediterráneo a partir del s. IX y por Asia a través del arameo. Tenía 22 letras a las que los griegos añadieron las vocales en el s. VIII con un total de 24 letras, según conocemos por la copa de Dipilón de Tenas y los cascos de Corinto y de la isla de Tera. Cadmo importó de Fenicia 16 letras a las que Palamedes añadió 4 y Simónides de Ceos las 4 restantes. La unificación se llevó a cabo por Atenas enel 403 adne. tomando como tipo el alfabeto jónico de Mileto. La escritura de izquierda a derecha no se da antes del 500 adne. De la primeras letras desaparecieron la digamma (la waw), el sampí (sadé) y la koppa (qof), originándose la ypsilon a partir de la vau (waw) semítica. Se crearon nuevas letras para sonidos no expresados en el fenicio: la psi, ji y fi, más la omega (“o” mega: “o” grande) para diferenciarla de la “o” corta, la omicron. Del griego derivaron luego los alfabetos itálicos: el osco, el umbro, el etrusco y por fin el latín. Al principio las 24 letras del alfabeto griego expresaban por su orden los primeros 24 números. 24 son los Cantos de la Ilíada y de la Odisea. Luego llegarían al 9 con la novena letra, la Z, pues utilizaban la digamma para el 6, expresándose las decenas con las siguientes letras: k, l,,m, n… : 10, 20, 30, 40, 50…, manteniendo la koppa para el 90 y pasando al 100 con la ro. Después del 800 (la omega), el 900 se expresaba con el sampí.

Israel, antes de ser invadida desde el s.VIII adne. por los asirios, neobabilonios, persas, lágidas, seléucidas, romanos…, sufriendo la destrucción del templo de Jerusalem bajo Tito y la masacre por su revuelta de Bar Kobba en el año 135, había antes alcanzado su apogeo bajo los reinados de David y Salomón entre los años 1000 y 900 adne. El pueblo judío no se ha mantenido unido por ser una “raza” (incluso ha integrado “razas” distintas dentro de su grupo) sino por su lengua sagrada y su religión. Adoptaron el calendario de los cananeos y la lengua hablada y escrita de los arameos. En cuanto a los números tomaron las cifras del egipcio hierático en la época real (s.X/VI adne.), de los arameos en la época persa hasta la helenística (s.V/II) y de los griegos después. El primer texto de la Biblia data del s. VIII adne., bajo el reinado de Jeroboam II. y el definitivo del Antiguo Testamento en el s. VI adne. durante su cautiverio en Babilonia. 5.845 era el número de versículos de la Torá hebrea, para quienes las cifras 15 y 16 no podían ser expresadas por corresponder a las letras YH (10+5) y YW (10+6), utilizando las sumas de 6+9 ó 7+9, ya que dichas letras-números componían el nombre de Yahvé (HWHY) que no podía ser escrito.

Los hindúes, con el número 0 (cero) y el valor de los números según su posición, superaron el principio aditivo (la cifra 7.659, por ejemplo, precisaba de 27 cifras: 7 signos de mil, más 6 de centenas, más 5 de las decenas más las 9 barras verticales), por no hablar del romano que lo complicaba todavía más al usar los principios aditivo y sustractivo. El nuevo principio sería el multiplicativo.

Ya el invento posicional había sido intuido por los babilonios al comienzo del II milenio, los chinos algo antes del comienzo de nuestra era, y los mayas entre el s.IV y IX dene., pero no lo desarrollaron al completo, no haciéndolo operativo. Los hindúes ya utilizaron las nueve (9) primeras cifras desde el s.III adne.

El número palíndromo (capicua) 12.345.654.321 y sus curiosas propiedades (ver más abajo) del indio Mahaviracharya en el 850 dene. no hubiera sido posible sin la utilización del principio posicional. Pero en realidad tanto el principio posicional como el 0 (cero) lo conocieron desde el s.V/IV dene., o antes, como puede verse en el texto Lokavighaga del año 458, quizás con cierta influencia china más que aramea, pues éstos no utilizaban el sistema decimal, sino el sexagesimal.
                                                                             1² = 1

Lo curioso es que:                               11² = 121

                                                        111² = 12.321

                                                     1.111² = 1.234.321

                                                   11.111² = 123.454.321

                                                 111.111² = 12.345.654.321

                                              1.111.111² = 1.234.567.654.321

                                            11.111.111² = 123.456.787.654.321

                                          111.111.111² = 12.345.678.987.654.321

Y en cuanto al 0 (cero), ya el principio posicional hizo necesario disponer de un signo gráfico especial para expresar las unidades que faltaran. Un 3 no es 30 si detrás del 3 hubiera sólo un vacío… que se llenó con el 0 (cero). Con lo cual este número superó su concepto inicial como número “nulo”. Brahmagupta lo definió en el año 628 dene. como el resultado de la sustracción de un número por sí mismo. El espacio vacío de los babilonios no servía si tenían que escribir el 1001 por ejemplo. Se ha dicho del invento del número 0 (cero) -que ha hecho posible el álgebra y las ciencias exactas con las matemáticas actuales- que es algo tan importante para nuestra civilización como el fuego, la agricultura, la rueda, la escritura o la máquina de vapor. No en vano se expresa con el círculo de la perfección. (Los números 2 y 3 tal como los conocemos no sin sino dos y tres barras del uno, ligadas en sentido horizontal. Más difícil resulta visualizar los números 4 a 9 sobre la base de 2 sobre 2, 3 sobre 2, 3 sobre 3, 4 sobre 3, 4 sobre 4 y 3 sobre 3 sobre 3. Se trataba de escribirlos deprisa. Y no son un legado de los árabes asiáticos sino de los magrebíes.)

 Los árabes islamizados, antes de un siglo después de la muerte de Mahoma en el 632 dne., a comienzos del siglo VIII extendían su imperio desde el Cáucaso al valle del Indo, desde el Extremo Oriente hasta España, así como el norte de Africa (llegarían también hasta Indonesia y el Africa central) sin más límites que China en el 751, Europa (Poitiers) en el 732 y Constantinopla en el 718. Italia se “independizó” en el 880 y España tendría que esperar hasta el 1492 para recuperar todo Al Andalus, tras siete siglos de “reconquista” cristiana. Los califas de la dinastía Omeya (661/750) establecieron su capital en Damasco y luego en Bagdad con Almanzor en el 762. Focos de influencia cultural fueron también Fez, Granada, Córdoba (y luego Sevilla y Toledo) o Ispahán, a donde Ibn Sina (980/1037) trasladó su escuela médica desde Córdoba, como el médíco-astrónomo-matemático-filósofo judío converso Maimónides a El Cairo donde murió en 1204, ambos exiliándose de la intolerancia de los almohades (por cierto que fue Ibn Sina quien inventó en el 1032, siendo entonces Ministro de Finanzas en Persia, los “nudos de cálculo” [aqd: “nudo”, “contrato”, “nudillos de los dedos”, según decenas, centenas…], superando el ábaco de fichas en tableros). Con ellos, y con la ayuda de la imprenta, la ciencia se hizo por primera vez universal, aunque religiosa, hasta que se hizo laica con el Renacimiento. El imperio otomano nació en Constantinopla en el 1453, y conquistaron Siria y Egipto en 1517 -desapareciendo el califato de Bagdad-, hasta que se redujeron a Anatolia en 1920.

La Biblioteca de Alejandría sufrió la devastación por vándalos cristianos en el s. IV y por musulmanes radicales en el s. VII. Tomás de Aquino, fundador de la escolástica católica, conoció a Aristóteles gracias a Averroes (1126/1198) y Alberto Magno, autor de la filosofía de los “universales”, a Platón a través de Ibn Sina. Si pudimos recuperar a los griegos, fue gracias a los árabes.

Las 28 letras de su alfabeto dieron nombre a sus números, tomando de los babilonios la numeración posicional, el 0 (cero) y las fracciones sexagesimales de la unidad, y más tarde de los persas los algoritmos numéricos y de los indios -en el año 773 (156 de la Hégira) y no sin resistencias, sobre todo las eclesiásticas-, de los indios el 0 (cero) operativo y el sistema decimal. Si será importante el 0 (cero) que su nombre árabe sifr ha dado lugar al de cifra. Importaron de China, tras la batalla de Talas en el 751, la brújula y el papel de lino o de cáñamo que fabricaron en Bagdad desde el año 800 y que llegó a Europa a través de España en el s.XII. A ellos debemos el desarrollo de la óptica (espejos) y de la destilación de los perfumes en alambiques, por citar sólo dos de sus incontables hallazgos.

Las guerras de las cruzadas no eran sólo contra lo musulmanes sino también “contra esos signos diabólicos de esos secuaces de Satanás”. Como Gerbert en el año 1000 realizaba los cálculos mediante el ábaco de ápices, 648 después el papa de turno mandó exhumar su cadáver para comprobar si aún contenía restos de diablos del infierno.

 Los mayas calcularon correctamente el ciclo sinódico de Venus en 584 días, y en 365,242 los días de nuestro año solar (un error de 0,000198 días, pues lo correcto es 365,242198, pero nosotros lo calculamos todavía según el año gregoriano de 365, 242500 días!), pero sabían que adolecían de un error de 1 día cada 6.000 años en su cálculo de sincronización entre el ciclo de Venus, el año solar y su año litúrgico de 260 días (13 meses de 20 días: el cénit primaveral del sol en Copán se da el 30 de abril y el otoñal el 13 de agosto, dos ciclos de 260 y 105 días, siendo éstos los lluviosos, mientras que el calendario solar civil era de 18 meses de 20 días: 360, más los 5 uayeb: los “sin nombre”, malditos, coincidiendo el mismo día entre los dos calendarios cada 52 años solares, o 65 venusinos, que es la cifra resultante de multiplicar los 260 días por los 365 y dividirlos por 5 que es su mínimo común múltiplo). Y todo eso a pesar de que carecían de relojes, clepsidras, vidrios, gafas, el hierro, la rueda, el arco de medio punto… o la noción de fracción (pero conocían el ábaco), por lo que su medida de tiempo mínima era el del día solar, el gnomon, la sombra de un palillo vertical clavado en tierra, cuya sombra más corta indicaba la situación meridional del astro solar, el mediodía. El número base del sistema numérico maya es el 20 (expresado por un hacha -sacrificial?- siendo un punto o un círculo el dibujo de la unidad) que se representa con el glifo (trazo grabado en hueco o esculpido en relieve) Uinal, que es la diosa Luna, haciendo honor al origen del calendario como lunar. Los 13 días se representan con 13 divinidades y utilizaron los glifos del 4 al 9 para expresar los días-números 14 a 19, destacando su mandíbula inferior.

Conocieron el verdadero número 0 (cero, dibujado como una concha) y el valor de las cifras según su posición dentro del número. Pero no llegaron a nuestro “cero”, transmitido por los árabes que lo tomaron de los hindúes, pues no llegó a tener función operatoria (vide Ifrah:… págs.739/740). Del origen y práctica religiosa de los números da fe el hecho de que a cada uno de ellos correspondiera un dios. De que conocían el calendario antes del año 3000 (¡!!) da noticia la numeración de los mayas que comienza el 13 baktún 4 Ahau 8 Cumkú, nuestro 12 de agosto de 3113 adne. (en la noche del 12 de agosto se da el cénit otoñal en Honduras). (recordar lo inaccesible del paso de Bering desde esa fecha y el año en que según MCano se instauró el primer calendario, nocturno y por constelaciones)

 Nuestras abuelas desde el Paleolítico cuidaban mucho de que el verdadero nombre dado a sus hijos no se conociera, pues nadie sabe el daño que algún irresponsable podría ocasionarle si tuviera poder sobre su alma ya que ésta está en los nombres (como en la sombra, o en la huella al pisar…). Igual cuidado había que tener con los números, pues tanto unos como otros se podrían escribir con los mismos caracteres cuando nació la logografía. Si se añade que el calculador sólo podía serlo un experto sabio o chamán, y que los números hacen “cosas” muy raras y que los cálculos pueden tener resultados estremecedores, se entiende el temor ancestral a los números tal que el pueblo de Israel, por ejemplo, se resistiera a los censos.

La mística mágica de los números y su culto religioso por los pitagóricos no ha cesado todavía. Umberto Eco parodió con gracia la estupidez  de los esotéricos demostrando que la distancia de su casa al kiosco de prensa coincidía con la de la posición de ciertos astros en el día de su nacimiento, con los consiguientes vitales/letales efectos, así como con el número de latidos de una lagartija neozelandesa multiplicado por el exponente “n” de pí.

Un entretenimiento de signo criptográfico fue el de escribir números cuyas letras conformaban una palabra a “recordar” (un suceso pasado o futuro): cronogramas, de uso frecuente en la cábala. Un ejemplo conocido es el del número de la Bestia o Anticristo del Apocalipsis, el 666, que es lo que suman las letras-números de las palabras César-Nerón…, claro que también lo suman las del emperador Diocleciano-Augusto, o las del término Lateinos, latín en general. Para R.Graves las letras latinas para el número 666 D.C.L.C.V.I. sugiere la frase “Domiciano –o Domicius, nombre de Nerón- César mató vilmente a los enviados de Xto” (D.C. Legatos Xti. Viliter –o violenter- Interfecit.). O incluso las de Lutero, Luthernuc, a lo que los protestantes contestaron que el Anticristo era el Papa, Vicarivs-Filii-Dei, por sumar las letras de estas palabras -las que son cifras romanas: VIC/IV/ILII/D- el número 666.

La fiebre mística numérica de los pitagóricos sigue vigente, sí señores, y así los occidentales evitan el número 13 (por ignorar que era el último mes lunar de la antigua diosa Naturaleza Tierra-Madre, execrado por la censura del solar Apolo) o los japoneses el 4 ó el 9 (pronunciados yon y kokono respectivamente), pues en su origen chino se pronunciaban shí y ku que significaban “muerte” y “dolor”. Y ya sabemos que pronunciar un nombre (o un número, pues las mismas letras se utilizaban para ambos) conjura(ba) lo nombrado por magia mimética, o simpática, con el posible daño mortal consiguiente (casi seguro que algún muerto atendería por ese nombre). Y en ésas estamos…, todavía.

 La diosa hindú Shiva es tanto de la creación como de la destrucción, al igual que Perséfone, la griega,  lo es tanto del invierno en que la Naturaleza “muere” como de la primavera en que la tierra reverdece y se regenera..

CRONOLOGIA

          Huesos tallados con muescas (unidades contadas) los hay desde el año 35.000 adne. Las pinturas rupestres se remontan a más del 20.000.

Del 9000 al 5000 datan fichas, palillos, esferas, con trazos y cruces, en Anatolia y Próximo Oriente, que dan fe de nuestra capacidad de pensamiento simbólico, aunque no fueran expresión de un lenguaje articulado.

Al 6000/5000 se remontan las primeras cerámicas de que tenemos noticia, talladas y adornadas con símbolos cuyo significado aún desconocemos.

          año 3353 (¿) según M.Cano para el nacimiento del calendario nocturno por constelaciones. Como la numeración de los mayas que comienza el 13 baktún 4 Ahau 8 Cumkú, nuestro 12 de agosto de 3113 adne. (en la noche del 12 de agosto se da el cénit otoñal en Honduras). (recordar lo inaccesible del paso de Bering desde esa fecha).

Del 3500 son los primeros sellos en relieve que se imprimen en soporte blando como la arcilla.

Del 3200 vienen la numeración hablada sumeria y elamita, sobre la base 60 que aún se mantiene en nuestras medidas del tiempo, grados y ángulos.

En el 3100 los sumerios ya escriben pictogramas en tablillas con fines administrativos y económicos, y en el 2700 desarrollan la escritura cuneiforme. Y en el 3000 los egipcios sus jeroglíficos.

Del 2700/2300 los sumerios realizan sus cálculos mediante columnas dibujadas (ábacos).

En el 2500 aparecen los primeros números hieráticos egipcios.

En el 2350 la lengua acadia se impone en Mesopotamia, incluso en Sumer, tras haber adoptado la escritura cuneiforme.

En el 2300 aparece la escritura protoindia en el valle del Indo (en Harappa, Pakistán actual)

En el 2000 los semitas mesopotámicas adoptan el sistema decimal.

Del 2000/1600 aparecen en Creta la escritura lineal A minoica y los números jeroglíficos cretenses

En el 1900 Mari adopta la base 100 y la el principio posicional; Babilonia acepta el principio posicional de los números pero no llega a nuestro 0 (cero), al tiempo que se va imponiendo el lenguaje escrito arameo.

1450: los fenicios en Biblos inventan el alfabeto.

1400/1300: Cadmo funda la Tebas griega trayéndose el alfabeto fenicio.

1350/1200: escritura micénica lineal B.

1300: escritura china en huesos, de carácter religiosa (como todas).

800: alfabeto griego con vocales, del que saldrían el etrusco y el latino un siglo después.

500: numeración griega acrofónica en Atica.

500: Pitágoras, místico ocultista del número religioso: irracionalidad de v-2, númeos figurados (con figuras geométricas)

300: Euclides establece los fundamentos de la geometría clásica, números primos, progresión geométrica.

250: primera escritura india (la brahmi), de letras y de números, variedad del arameo.

200 (o algo antes): los babilonios encuentran el 0 (cero) pero sólo para rellenar el vacío posicional, no como número.

150 adne.: los chinos inventan el papel. (Y una especie de imprenta manual, la xilografía)

458 dene.: Los indios inventan la base posicional y el número 0 (cero).

1615: Nepper y Briggs construyen la tabla de logaritmos.

1672: Newton y Leibnitz inventan el cálculo infinitesimal (y el diferencial y el integral).

1882: George Cantor vislumbra la teoría de conjuntos.

1919: Eccles y Jordan inventan elcircuito electrónico flip-flop, que dará pie a los binarios.