SECRETARIA DE EDUCACIÓN PÚBLICA

ADMINISTRACIÓN FEDERAL DE SERVICIOS EDUCATIVOS EN EL D. F.

DIRECCIÓN GENERAL DE OPERACIÓN DE SERVICIOS EDUCATIVOS EN EL DISTRITO FEDERAL

COORDINACIÓN SECTORIAL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA

SUBDIRECCIÓN DE OPERACIÓN

 DEPARTAMENTO DE SUPERVISIÓN

GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO

ESCUELA SECUNDARIA DIURNA No.  240  TURNO MATUTINO.       MATEMÁTICAS TERCER GRADO.

NOMBRE DEL ALUMNO_______________________________________________GRUPO_______ No RECIBO_________

.   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

A L G E B R A

MONOMIO.-  es la expresión mínima en álgebra y está integrada por:

·         SIGNO .- positivo o negativo

·         COEFICIENTE.- es el número que indica las veces que se tiene la expresión algebraica.

·         LITERAL.- letras que representan valores numéricos.

·         EXPONENTE.- número que indica la potencia de una literal  o  de la expresión.
 

EJEMPLOS  DE MONOMIOS:

EJERCICIO: Determina  el nombre de cada una de las expresiones siguientes, escribiéndolo sobre la línea:

 

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES.- Operación que consiste en sumar los términos semejantes, aplicando la “suma algebraica”: signos iguales se suman conservando el signo y signos diferentes se restan aplicando el signo del valor con mayor valor absoluto

·         ALGORITMO: 1º Identificar los términos semejantes

     2º Agruparlos conforme su signo (sumando los coeficientes)

    3º Restar los signos diferentes.

    4º En el caso de estar escritas las expresiones entre paréntesis,           reducir los signos aplicando la ley de los signos, para dejar un solo signo entre cada expresión.

EJEMPLO:            3a² - 5ab + 6a – 2a + 5a² =  (3a² + 5a²) + ( 6a – 2a) + (-5ab) =  8a²  +  4a  - 5ab

                               +(-5n) –  (+3n) – (-2n) + (+n) – (-2n) = -5n – 3n + 2n + n +2n

    = (-5n – 3n) + (2n + n + 2n)

    =  - 8n + 5n

    =  - 3n

EJERCICIO:  Reduce los términos semejantes en las siguientes expresiones:

+ 4s – 5b +3s – 7s + 6b = _____________________                4r + 2r – 7m – 2r + 3m –5m =_____________________

2ª + 3ab – 8b – 5b + 6ab – 5ª =_________________ 2x/3 + 5b/4 – x/3 + 2b/4 = ________________________

(3m – 5n + 6 ) + ( 2n – 3 + 7m ) – ( -3m + 5 – 2n ) = _____________________________________________
 

PRODUCTO DE MONOMIOS Y MONOMIO POR POLINOMIO

Al multiplicar monomios ha de operarse con todos y cada uno de sus elementos (signos, coeficientes, literales y exponentes)  además tener presente la ley de los signos en el producto y la ley de los exponentes que en este caso establece que éstos se suman.

EJEMPLO:            (  3x )( 2x ) =  6x²                   ( 2m )( 3m + 2n - 5 ) = 6m² + 4mn – 10m

EJERCICIO: Realiza los productos siguientes:

( 2m )( 3m ) = ___________                ( 3d )( -d )( 2d ) = _________                               ( 2n )( 3m – 7n ) =__________

( 3c )( 3b )( -2c )( -b ) =_______________                                    ( 3x/5)( 2x  - 6x/9 – 7 ) = ______________________

COCIENTE DE MONOMIOS Y POLINOMIOS POR MONOMIOS

Al efectuar esta operación considerar los elementos del monomio, la ley de los signos y la ley de los exponentes para este tipo de operación.

 

POTENCIA DE UN MONOMIO

     Debe tomarse en cuenta los elementos del monomio, la ley de los signos y la ley de los exponentes

EJEMPLO: ( - 3x )³  = - 27x³   &nnbsp;            porque: (-)(-)(-) = - y (3)(3)(3) = 27  y   (x )(x )( x ) = x³

EJERCICIO:  Efectúa las potencias siguientes:

 

PRODUCTOS NOTABLES.- Con este nombre se designan las operaciones de:

CUADRADO DE UN BINOMIO

Para ejecutar esta operación se cuenta con dos algoritmos:

a) Multiplicar cada uno de los elementos del binomio por cada uno de los elementos del otro y reducir términos semejantes

( 3a + 5m )( 3a + 5m ) = 9 a² + 15am + 15am + 25 m² = 9a²  + 30am + 25 m²

b) Ley del cuadrado de un binomio:

                                                               * Cuadrado del primer término

          Más, menos el doble del producto de ambos términos

   Más el cuadrado del segundo término

 

BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN

En este caso se puede realizar el producto conforme a lo establecido en el inciso a) anotado anteriormente, o bien con la ley que dice:

                               * Cuadrado del término común (3x)² = 9x²

·         Más la suma algebraica de los términos no comunes por el término común (+5-2)(3x)= 9x

·         El producto de los  términos no comunes (+5)(-2)= -10

EJEMPLO:  a)     (3x + 5)( 3x–2) = 9x²  - 6x + 15 x – 10 = 9x² + 9x –10

BINOMIOS CONJUGADOS

Son aquellos binomios que tienen un término común y un término simétrico. Para resolver este producto se aplica el algoritmo del inciso a) o bien la ley que dice:

·         Cuadrado del término común

·         Menos el cuadrado del término simétrico

EJEMPLO:  (4x + 3y)(4x – 3y) = 16x ² - 9y²

EJERCICIOS: Resuelve los productos notables aplicando la  ley correspondiente
 

(3x – 6y)(3x – 6y) =_______________________       (4c – 2m)(4c + 5m)=________________________

(3ª - 2m)(3ª - 5m)=________________________       (4x + 6y)(4x – 6y)=_________________________

( 2m + 3b)( 2m –b)=_______________________      (2x + 5m)(2x + 5m)=________________________

(5x + 3n)² =______________________________    (6x + 9)( 6x –5) =_________________________          

FACTORIZACIÓN
Operación inversa al producto. Para factorizar trinomios hemos de determinar los factores que lo originaron.

ALGORITMO:  Si la expresión tiene dos términos cuadráticos obtener la raíz cuadrada de los términos cuadráticos; si sólo


 

tiene un término cuadrático, entonces habremos de encontrar dos números cuyo producto sea igual al término no cuadrático.

EJEMPLO: En este caso sólo se obtuvo la raíz de cada término cuadrático

9x² + 6x – 48 no es un T. C. P. , por lo tanto habrá que obtenerse la raíz cuadrada del término cuadrático y luego encontrar dos números cuyo producto sea –48 y cuya diferencia +2, puesto que al multiplicarse con 3x será igual a 6x, por tanto, el resultado  de factorizar 9x²  +6x – 48 = (3x + 8)(3x – 6)

EJERCICIO: Factoriza las expresiones siguientes:

x ² + 6x + 9 = (          )(           )               49m ² - 121 = (          )(          )          9m²  -15m +6=(          )(          )

36c² + 36c + 5=(         )(          )                    9a² - 21am + 10m² =(          )(          )
 

ECUACIONES

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

El grado de una ecuación está determinado por el máximo exponente que contenga, en este caso es uno (recuerda que generalmente no se escribe). Una ecuación de primer grado gráficamente representa una línea

EJEMPLO:            3x + 5 = 11

                                    3x  = 11 – 5

                                    3x  = 6

                                      x = 6/3

                                      x = 2

Al aplicar las propiedades de la igualdad se pretende despejar la incógnita, es decir encontrar su valor numérico, transponiendo términos ( recuerda que para ello los términos pasan de un miembro a otro en  operación inversa).

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

La representación gráfica de este tipo de ecuación es una Parábola  puesto que máximo exponente es dos y con ello significa que tiene dos soluciones, es decir la incógnita tiene dos valores.

Las  ecuaciones de segundo grado son de la forma  ax² + bx + c = 0 que se llaman ecuaciones completas. Las ecuaciones incompletas quedan sin uno de los elementos, sean bx o c. Es decir, carecen del término de primer grado o el término independiente.

 EJEMPLO: Ecuaciones incompletas:

 

En el primer caso factorizamos obteniendo un factor común y en el segundo ejemplo despejamos la incógnita.

EJERCICIO:

2m ² + 6m = 0                        9x² – 36 = 0            7m ² - 49 = 0          2x² + 72 = 0                          8x ² + 64x = 0
 

Las ecuaciones completas se resuelven mediante dos algoritmos:

 

El algoritmo consistió en factorizar la ecuación, cada factor se iguala a cero para obtener el valor de la incógnita. Recuerda que son dos valores los que resuelven este tipo de ecuaciones.

 

La ecuación de segundo grado de la forma ax + bx + c = 0, corresponde a cada  valor de la fórmula por lo que en primer lugar habrá que identificar los valores que le corresponden a cada literal.

EJEMPLO: En la ecuación 9x² + 6x – 48 = 0,  la a= +9, la b= +6 y la c= -48, por lo tanto:



 

EJERCICIO: Resuelve las ecuaciones mediante factorización y mediante fórmula general

3x ² + 5x – 3 = 0                    4x ² -16x + 16 = 0                  5x² = - 7x + 2                         25x² + 60x = - 36

TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS

TRIÁNGULOS

 

PROPIEDADES DE LOS TRIÁNGULOS:

1.        La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°

2.        En todo triángulo a lados congruentes se oponen ángulos congruentes y viceversa

3.        En un triángulo el ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él

4.        En todo triángulo la suma de dos lados siempre será mayor que la medida del tercero y menor que su diferencia.

5.        En todo triángulo el ángulo exterior y su adyacente son suplementarios (suman 180°)

CUADRILÁTEROS

 

PROPIEDADES  DE LOS PARALELOGRAMOS

1.        La suma de los ángulos interiores de todo paralelogramo es igual a 360°

2.        Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes

3.        Los ángulos contiguos de un paralelogramos son suplementarios.

EJEMPLO: Con base a las propiedades determina el valor de los ángulos solicitados:

 

EJERCICIO. Determina los valores angulares aplicando las propiedades de los triángulos

<a =______                         <b = ________    <c = ________    <d = ________    <e =________     <f =_______

 

ÁNGULOS EN EL CÍRCULO

Para resolver los ejercicios de este tema haz de conocer perfectamente  las líneas del círculo y la clasificación de ángulos en el.

 

EJEMPLO:  Para determinar valores han de aplicarse las características de los ángulos y las propiedades de triángulos y paralelogramos.

 

<1=                                                                                            <1=

<2=                                                                                            <2=

<3=                                                                                            <3=

<4=                                                                                            <4=

<5=                                                                                            <5=

<6=                                                                                            <6=

<7=
 

SEMEJANZA

  Una de las aplicaciones más importantes de este conceptos  son las escalas y las mediciones indirectas.

* ESCALAS

 En este aspecto se maneja la proporcionalidad entre los elementos de la misma escala y  en la medida de dibujo y la medida real.

EJEMPLO:

1.        Sea una escala de 1:400 y la medida de dibujo es de 5 cm, la medida real será de 20 metros, porque para resolver este ejercicio sólo multiplicamos 400 x 5 0 2 000cm y al efectuar la conversión 2 000cm son 20 metros.

2.        Sea una escala de 1: 50 000, si la medida real es de 2 km. Cuál será la medida de dibujo?

       Primero convertimos la medida real a cm. y la dividimos por 50 000 de donde resulta 4 cm.

3.        Para conocer el valor de una escala conociendo la medida de dibujo y la medida real sólo habrá que                  convertir la medida real a cm. y dividirla por la medida de dibujo.  Ejemplo. Sea la medida real de 80 m  y  la medida de dibujo de 4cm, entonces 80m= 80 000:4 = 2 000,por tanto la escala  será de 1: 2 000

EJERCICIO: Obtener los valores solicitados en la tabla siguiente:

 

Recuerda que es conveniente manejar siempre la medida de dibujo como centímetros aunque pueda hacerse con la magnitud que se quiera.

·         TRIÁNGULOS  SEMEJANTES

Los triángulos son semejantes si tienen los ángulos congruentes y  sus lados respectivamente proporcionales. La proporcionalidad es igual a una constante.

Para obtener el valor de las medidas de los lados y ángulos de un triángulo, iniciarás de establecer la proporcionalidad de lados homólogos y sustituirás los valores  y las incógnitas se resolverán mediante las operaciones de proporcionalidad. La medida de los ángulos se obtienen por analogías, aplicando además las propiedades de los triángulos.

EJEMPLO:

Sea     ABC                           CDE   por tanto sabemos que    <A= <A,       <B = <B                  <C = <C

                                                                                                              AB  = BC  = CD

                                                                                                              AD     DE      EA


 

TEOREMA DE PITÁGORAS

La expresión algebraica de este teorema es C²  =  A ²  +   B²   que significa: “ El área del cuadrado construido sobre  la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los  catetos”

EJEMPLO: Sea el triángulo rectángulo ABC, donde A = 8m,  B  = 6m y obtener el valor de C

 

EJERCICIO: Obtener los valores conforme a los dibujos

 

TRIGONOMETRÍA

Es el área de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. En este curso sólo se atiende lo referente a triángulos rectángulos.

 

·         FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

SENO con COSECANTE                   COSENO con SECANTE                   TANGENTE con COTANGENTE

·         EXPRESIONES ANGULARES

Los valores  angulares se expresan en grados ( ° ) y minutos ( ’ ), ejemplo 30° 12’ se lee treinta grados doce minutos.

También se pueden expresar en forma decimal, ejemplo 15.5° que se traduce como 15° 30’

Para convertir una medida decimal a minutos, la parte decimal se multiplica por 60 (ejemplo anterior 0.5x60 = 30)

Para convertir minutos a forma decimal se dividen éstos entre 60 ejemplo 30°

 45’ entonces 45/60 = 0.75, por lo tanto 30° 45’ = 30.75°
 

·         DETERMINACIÓN DEL VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Dada una sola función trigonométrica es posible obtener las restantes y para ello habrá de aplicarse el Teorema de Pitágoras para encontrar el valor del lado faltante.

EJEMPLO:  Sea el Seno <A = 3/5, encontrar el valor de las funciones trigonométricas restantes

Partiendo de elaborar un dibujo de un triángulo rectángulo y anotando en él los valores dados, aplicamos el teorema de Pitágoras para determinar el valor faltante y después obtendremos el valor de las funciones aplicando su definición.                          B

*APLICACIÓN EN TRIÁNGULOS

Sea  el triángulo rectángulo ABC donde <A = 32° 17’ y el lado BC = 12 u, determinar el valor de AC

Para ello, elaboramos un dibujo con los datos y determinamos que la función trigonométrica que nos permite encontrar el valor solicitado es la función seno, entonces:

Sen <A = AC/ 12,  sustituyendo los valores obtenemos: Sen  32° 17’ = AC/ 12, por lo tanto (sen 32° 17’)(12)= AC de  donde al consultar tablas o utilizar la calculadora obtenemos que (.5313)(12) = AC = 6.37 u.
 

EJERCICIOS:

1.- Obtener el valor de las funciones trigonométricas de un triángulo rectángulo ABC  donde AB = 20, BC = 12  y CA = 16

2.- Sea la Tangente de <A = 6/8, determinar el valor de las funciones restantes para <A y <B

3.- En el triángulo rectángulo ABC, el <A = 57° 24’ y el lado AB = 30m, determina los valores de: <C , <B, lado AC y lado CB
 

P R O B L E M A S

En cada uno de los siguientes problemas te señalaré las posibles soluciones, recuerda aplicar lo aprendido.
 

1.       Ecuación de Primer grado: “ Juan es tres años menor que Pedro y ambas edades suman 27 años. Cuál es la edad de cada uno de ellos?”

Posibles soluciones: 15 y 12, 24 y 3, 10 y 17

2.       Ecuación de segundo grado: “ El cuadrado de la edad de Luis menos cinco veces su edad es igual a 150 años. Cuál es la edad de Luis?”

Posibles soluciones:  15 años, 20 años, 35 años

3.       Semejanza: “ Con base en el dibujo determina el ancho del río



 

Posibles soluciones: 30 m.  20 m.  16m.

1.       Trigonometría: “ Una escalera de 8 m está recargada a una pared formando un ángulo de 60°. A qué distancia de la pared está el extremo de la escalera que está apoyada en el piso?”

Posibles soluciones: 6.93m, 9m , 4m
 

FECHA:   8 DE ENERO DE  2007  

NOMBRE Y FIRMA DEL PROFESOR  QUE ELABORO:__ALEJANDRO HERRERA HERNÁNDEZ____________________