SISTEMA BINARIO.
SISTEMA BINARIO.
Aunque la regla del arrastre se aplica con facilidad, es l�gico que no interesa para traducir a otro sistema si el valor es muy grande. Si ha revisado el apartado anterior ya sabr� c�mo convertir valores entre cualquier sistema ponderado y el decimal, de modo que nos limitamos a recordarlo:
La base es el n�mero de cifras distintas que utiliza el sistema.
El peso de cada cifra se obtiene de derecha a izquierda comenzando por 1 y
multiplicando por la base para obtener el siguiente.
Paso de un valor a decimal: Se multiplica cada cifra por su peso y se suman los
resultados.
Paso de decimal a otro sistema: Se tantea comenzando por la cifra de mayor
peso, asegur�ndose de que los pesos acumulados no sobrepasan el valor decimal. Otra forma es dividir
repetidamente el n�mero decimal entre la base del sistema al que deseamos convertirlo y se obtiene el valor
buscado comenzando por el �ltimo cociente y los restos en sentido ascendente.
En binario, la base es 2 y los pesos son ...1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1. Como ocurre en decimal, los ceros a la izquierda no tienen valor, luego los pesos que se aplican est�n limitados por el n�mero de cifras significativas (sin ceros a la izquierda).
ARITM�TICA BINARIA.
Las operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir en el sistema binario se hacen de igual forma que en decimal, sin embargo, es normal que la electr�nica interna de las m�quinas digitales solo tenga capacidad para sumar. Otras operaciones diferentes a la suma se consiguen mediante un conjunto de sumas: La resta de dos valores se consigue sumando a uno de los valores el complemento del otro, es un truco muy ingenioso que veremos en el siguiente apartado. El producto se hace sumando a s� mismo uno de los factores, tantas veces como indique el otro factor. Su eficacia radica en la gran velocidad de c�lculo de los procesadores, siendo frecuente adem�s un coprocesador matem�tico dedicado solo para operaciones, lo que reduce la carga del procesador central. Por �ltimo, una divisi�n solo es una cuesti�n de repartir a partes iguales que se puede conseguir por aproximaciones sucesivas. A t�tulo informativo se describen a continuaci�n los 4 tipos de operaciones b�sicas pero como ya se ha indicado, solo presenta inter�s la suma.
Ejemplo de resta binaria:
Se ha puesto un ejemplo de resta en decimal como punto de referencia para restar en binario. Vea que
empezando por la derecha, en cuarto lugar encontramos que de 7 a 13 van 6 y arrastramos 1 a la izquierda que
se suma al 4 (quedando 5 y faltando 3 para llegar a 8). En sexto lugar encontramos que de 9 a 15 van 6 y
arrastramos 1 a la izquierda que se suma al 9. Esto hace que 9 + 1 = 10, con lo que queda 0 (de 0 a 4 van 4) y
se arrastra el 1 para sumarse al 1 del extremo izquierdo, con lo que de 2 a 5 van 3. En el ejemplo binario, en
cuarto lugar comenzando por la derecha, encontraremos que de 1 a 10 (ser� 2 pasado a decimal) va 1 y se
arrastra 1 a la izquierda para sumar al 0. En sexto lugar volvemos a encontrar que de 1 a 10 va 1 y se arrastra
1 a la izquierda para sumar al 1 (esto desencadena otro arrastre hasta la �ltima posici�n izquierda).
Ejemplo de producto binario:
La multiplicaci�n es tan sencilla que no se necesita explicaci�n. Si sabemos multiplicar en sistema
decimal no encontraremos ning�n problema para hacerlo en binario. Si el n�mero de cifras es grande, es
posible que se junten muchos unos en las sumas finales, por ejemplo 5 unos cuya suma binaria es 101, en cuyo
caso queda 1, se arrastra un 0 a la izquierda (que no afecta) y se arrastra un 1 dos lugares a la izquierda.
Ejemplo de divisi�n binaria:
En este ejemplo, hay que comenzar cogiendo 4 cifras del dividendo para sobrepasar al divisor. As�
resulta que 1011 entre 111 toca a 1 (solo puede ser 1 o 0). 1 por 111 es 111 y falta 100 hasta llegar a 1011.
Bajando la siguiente cifra (un 0) resulta que 1000 entre 111 toca a 1. As� sucesivamente.
El problema que se trata de resolver es la forma de expresar n�meros negativos en el sistema binario, vali�ndonos �nicamente de se�ales que solo pueden ser verdaderas o falsas. Es cierto que una de las se�ales podr�a representar el signo y el resto de las cifras formar�an siempre un valor positivo, pero la electr�nica del dispositivo ser�a compleja porque deber�a ser capaz de restar cuando encontrara el signo menos.
Parece imposible, pero los complementos permiten hacer restas mediante sumas y reducen con ello la electr�nica de la m�quina. �Cree por ejemplo que el valor 9279 es igual a -721? Si los valores (en este ejemplo) se manipulan siempre en registros de 4 cifras y todo lo que se salga desaparece, entonces es cierto y lo vamos a ver: Si hacemos la suma 721 + 9279 se obtiene el valor 10000, pero como se ha dicho, en un registro de 4 cifras solo caben los 4 ceros y el 1 se pierde. Si en el registro solo hay ceros, el resultado hay que considerarlo 0, por lo tanto 721 + 9279 = 0, lo que solo es posible si 9279 es igual a -721.
Por supuesto, se puede pensar que se trata de un truco, y lo es, pero esto es lo que funciona realmente en los dispositivos digitales: Cuando introducimos dos valores y los restamos, la m�quina transforma uno de los datos de manera que resuelve la resta haciendo una suma. Las reglas de la transformaci�n tienen que ser muy simples ya que de lo contrario no compensar�a el esfuerzo y trat�ndose del sistema binario, realmente son muy sencillas.
El complemento a 1 de un valor binario se obtiene invirtiendo el estado de todas sus cifras, incluyendo los ceros a la izquierda hasta completar la capacidad del registro. Por ejemplo, el valor 10011 en un registro de 8 bits (cifras) ser� 00010011 y su complemento a 1 ser� 11101100.
El complemento a 2 de un valor binario se obtiene sumando 1 al complemento a 1. Por ejemplo, el complemento a 2 de 10011 (el mismo anterior) ser� 11101100 + 1 = 11101101.
C�mo restar sumando: El complemento a 2 de un n�mero binario se puede considerar directamente su equivalente negativo. Por lo tanto, para hacer la resta a - b = �x? basta con calcular el resultado "x" (sin olvidar el tama�o del registro que se utilice) como:
El tama�o de los registros es normalmente el n�mero de bits del procesador de la m�quina, actualmente 32 en la mayor�a de los ordenadores y aut�matas industriales. Otra forma de restar sumando consiste en utilizar el complemento a 1, pero en este caso, el 1 de arrastre que se sale fuera del registro se suma de nuevo al resultado, quedando en el registro el resultado esperado de la resta.
Bit de signo: Suponiendo que un registro es de 4 bits, �qu� podemos pensar de un valor como 1101? �ser� positivo o negativo? No hay duda: Cuando el bit de mayor peso (el que est� m�s a la izquierda en el registro que contiene al n�mero) sea un uno significa que es negativo y si es un cero ser� positivo. Esto es as� porque al complementar un valor (al hacerlo negativo), los ceros a la izquierda tambi�n se transforman en unos, incluido el bit de mayor peso. Como el complemento a 2 de 1101 es 0011, entonces resulta que 1101 = -0011 = -310.
La conclusi�n anterior afecta directamente a la programaci�n de cualquier dispositivo programable, as� por ejemplo cuando se define un dato como entero con signo en un procesador de 32 bits, el n�mero positivo m�s grande ser� un cero seguido de 31 unos, que equivale en decimal a 231 - 1. Igualmente, el valor negativo m�s bajo ser� un uno seguido de 31 ceros, que equivale en decimal a -(231). Por el contrario, cuando un dato se define como entero sin signo, el contenido siempre ser� positivo, siendo el valor m�s bajo el cero y el m�s grande ser� 232 - 1, es decir, 32 unos. En programaci�n, cada tipo de dato tiene asignado un determinado n�mero de bits, otros ejemplos pueden ser los enteros largos y los reales o dobles, a los que se destina normalmente el doble de bits que al entero. Lo importante es que debe tenerse una cierta precauci�n en las operaciones, ya que si el resultado desborda la capacidad del registro podemos encontrarnos con la sorpresa de que nos devuelve un valor extra�o que adem�s puede estar cambiado de signo.
N�MEROS REALES (coma flotante).
N�meros como 10, 45 o -13 son valores enteros que se manipulan con las operaciones que ya conocemos. Otra cosa son los valores como 25,47 que no son enteros pero al igual que los anteriores forman parte del conjunto de los n�meros reales. En binario tambi�n tienen representaci�n los n�meros con decimales: Cada cifra que haya despu�s de la coma tiene igualmente un peso que depende de su posici�n, comienza por la izquierda con valor igual a 1/2 y decrece hacia la derecha, siempre multiplicando por 1/2 para obtener el siguiente. Veamos un ejemplo:
Para pasar de decimal a binario se pasa normalmente la parte entera y la parte decimal se va multiplicando por 2 hasta que se anulan los decimales y los decimales binarios se obtienen con la parte entera que se obtiene en cada paso. Por ejemplo:
0,375�2 = 0,750 (primer decimal el 0); 0,75�2 = 1,50 (segundo decimal el 1); 0,50�2 = 1,0 (tercer decimal el 1).
Queda finalmente: 25,37510 = 11001,0112
La forma anterior de proceder es complicada de implementar con electr�nica digital o al menos existe otra manera mucho m�s sencilla que es la coma flotante. Sin coma flotante, es necesario seguir la pista a la posici�n de la coma cada vez que se hace una operaci�n y al operar con los valores de dos registros no puede relacionarse directamente bit con bit de iguales posiciones, ya que al variar las posiciones de las comas hacen que los pesos de cada bit tambi�n se desplacen.
En coma flotante cada n�mero se expresa con un valor entero y un exponente de la base del sistema, por ejemplo, el valor -43,425 ser� igual a -43425�10-3 (notaci�n cient�fica), es decir, queda definido por el valor entero -43425 y el exponente -3. En los registros, se destina un n�mero fijo de cifras para el valor entero y el resto de cifras para el exponente. Al multiplicar los valores de dos registros, simplemente se multiplican los enteros y se suman los exponentes. Al dividir, se dividen los enteros y se restan los exponentes. Para sumar o restar dos valores, se suman o restan los enteros y se mantienen los exponentes, siempre y cuando tengan igual exponente. Por ejemplo, no se puede sumar directamente 103�10-2 con 235�10-1, pero s� se puede sumar 103�10-2 con 2350�10-2 porque ya tienen igual exponente y el resultado ser� (103 + 2350)�10-2. N�tese que al restar un valor al exponente, hay que multiplicar al entero por la base (10 en sistema decimal, 2 en binario) elevada al valor que se resta al exponente. Los valores l�mite en este tipo de representaci�n dependen por separado del n�mero de bits asignados al entero y al exponente.