UNIVERSIDAD YACAMBU

PRE GRADO CONTADURÍA PÚBLICA

Materia: Matemática

Profesor: Alexis Bracho

TEMA 1: Presentar las definiciones de proposición, clasificación de las proposiciones, definición de conectivos: negación, conjunción disyunción inclusiva, disyunción exclusiva, condicional y bicondicional. Tablas de verdad. Tautologías, contradicciones. Importancia de estos conceptos en el campo profesional.

Realizado por:

Jeanette Magro

Definición de proposición

Proposición: Una proposición es un enunciado del que se puede decir si es verdadero o falso, pero no ambas cosas a la vez.

Ejemplo: "Santiago de Chile es la capital de Colombia".

Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t, ... etc. Así, por ejemplo, podemos citar las siguientes proposiciones y su valor de verdad:

p : 15 + 5 = 21 (F)

q: Santa Fe es una provincia Argentina. (V)

r: El número 15 es divisible por 3. (V)

s: El perro es un ave. (F)

Clasificación de las proposiciones

Disyunción inclusiva: una, otra o ambas. Ej ...o...o; o ambas.

Disyunción excluyente: una excluye a la otra. Ej: o...o

Condicional o hipotética: una es condicional de la otra. Ej: si.. entonces

Definición de conectivos: negación

Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~ p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. Por ejemplo:

p: Diego estudia matemática  

~ p: Diego no estudia matemática

Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:

Observamos aquí que al valor V de p, la negación le hace corresponder el valor F, y viceversa.

Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación.

Ejemplo: La negación de " p: todos los alumnos estudian matemática" es                 

~ p: no todos los alumnos estudian matemática

o bien:          

~ p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática

~ p: hay alumnos que no estudian matemática

Definición de conectivos: conjunción disyunción inclusiva

Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p Ú q cuya tabla de valor de verdad es:

La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido incluyente o excluyente indistintamente. Para agotar toda posibilidad de ambigüedades, en matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que nos muestra que la disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.

Ejemplo: Sea  i)  Tiro las cosas viejas o que no me sirven

El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es V.

Definición de conectivos: condicional

Implicación o Condicional

Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p Þ q (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es:

La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Ejemplo: Supongamos la implicación 

La implicación está compuesta de las proposiciones

p: apruebo

q: te presto el libro

Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera.

Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple.

Ejemplo: 1 = –1 Þ 1² = (–1)² (F)

La proposición resulta ser falsa por ser el antecedente (1 = –1) falso.

Definición de conectivos: bicondicional

Doble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p Û q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es

La doble implicación o bicondicional sólo es verdadera si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.

La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p Û q puede obtenerse mediante la tabla de (p Þ q) Ù (q Þ p), como vemos:

Ejemplo: Sea i) a = b si y sólo si a2 = b2

El enunciado está compuesto por las proposiciones:

p: a = b

q: a2 = b2

Esta doble implicación es falsa si p es F y q es V. En los demás casos es V.

Tablas de verdad

LA SIGUIENTE TABLA MUESTRA LO ANTERIOR DICHO

Tautología

La tautología es un enunciado que es cierto por su propia definición, y es por lo tanto fundamentalmente no informativo. Las tautologías lógicas utilizan el razonamiento circular dentro de un argumento o enunciado. Por ejemplo: "El 100% de nuestros clientes compran nuestros productos.

Contradicciones

Son siempre falsas independientemente de los valores de verdad de las variables proposicionales. Por ejemplo: hay vida en marte y no hay vida en marte. Es falsa independientemente de que haya o no haya vida en marte.

Bueno, con esto, aunque el libro no lo dice, llegamos a la conclusión que lo que primeramente asegura el libro no es correcto: El valor de verdad (verdadero o falso) de cualquier sentencia está determinada por los valores de verdad de cada variable proposicinal que la compone. Esto es cierto en las sentencias indeterminadas, pero no en las tautologías y contradicciones dónde su valor de verdad es siempre el mismo y depende de su propia estructura y no de los valores de las variables.

Importancia de estos conceptos en el campo profesional.

A través de estos conceptos investigados la aplicación en el ámbito profesional es muy amplio. Te permite:

·        Plantearse problemas e intentar resolverlos.

·        Imaginar situaciones y demostrarlos.

·        Intentar matematizar situaciones reales o concretas.

El describir un problema significa representar y razonar sobre un conocimiento, lo cual permite cubrir aspectos tan diversos como la toma de decisión, el razonamiento y planificaciones de acciones. El trabajar con proposiciones, conectivos: negación, conjunción disyunción inclusiva, disyunción exclusiva, condicional y bicondicional. Tablas de verdad. Tautologías, contradicciones, es evidenciado en todos los contextos de nuestras vidas.

A través de nuestra vida diaria, nos comunicamos a través del lenguaje (oral, escrito, etc.) por medio de las denominadas frases u oraciones. Estas pueden tener diferentes significados pero siempre van a resumirse a las formas de verdaderas o falsas.. Lo importante es que, a partir de un enunciado y de acuerdo a su significado es posible establecer una proposición y a partir de un conjunto de éstas podemos llegar a una conclusión o inferencia.

Infografía:

http://usuarios.lycos.es/calculo21/id394.htm

Este link trata diversos conceptos generales de la materia de matemáticas.

http://www.monografias.com/trabajos3/logica/logica.shtml

Este artículo va referido a la Lógica o pensamiento científico.

http://www.itq.edu.mx/vidatec/espacio/Discretas/Mates.html

Este link, esta orientada sobre las matemáticas discretas.

http://soko.com.ar/matem/Logica_proposicional.htm

Este link, esta orientada a la lógica proposicional.

http://es.wikipedia.org/wiki/Tautolog%C3%ADa

Este link esta referido a una enciclopedia de conceptos.

http://piedralaire.blogspot.com/2004/10/el-taller-perspectiva-tautologias-y.html

El siguiente articulo habla sbre la Tautológia y Contradicciones.

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