Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию Нижегородский государственный университет им.Н.И.Лобачевского "УТВЕРЖДАЮ" декан радиофизического факультета, профессор /Гурбатов С.Н./ УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА по общему курсу "МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ" для направления подготовки "радиофизика и электроника" Курс 2 Программа составлена Семестр 3,4 доцентом кафедры математики Лекции 66 час. радиофизического факультета Практикум 54 час. Нижегородского государственного Экзамен 4 сем. университета к.ф.-м.н. Зачет 3 сем. И.П.Смирновым Н.Новгород 1995 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА "МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ" 1.Учебные цели курса Для успешного усвоения курсов теоретической физики, таких как "Теоретическая механика", "Электродинамика", "Теория волновых процессов" и др., требуется владение необходимым математическим аппаратом (основы вариационного исчисления, дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения). Целью курса "Методы математической физики" является изучение указанных разделов математики на основе анализа нескольких важных классов задач, разбора основных понятий и методов, играющих фундаментальную роль в постановке и решении данных задач. 2.Учебные задачи курса. Изучение курса предполагает освоение ряда принципиальных вопросов# - метод множителей Лагранжа снятия ограничений как единая схема исследования разнообразных вариационных задач; - общий вариационный подход, приводящийй к корректной постановке задач математической физики; - общность методов решений основных клаассов задач математической физики; - влияние специфики конкретной задачи математической физики на выбор метода ее решения. 3.Дисциплины, изучение которых необходимо для усвоения курса. Курс опирается на материал курсов линейной алгебры (свойства и методы решения линейных систем, задача о нахождении спектра матрицы, теория евклидовых пространств), математического анализа (дифференциальное и интегральное исчисление функций одной и многих переменных, функциональные ряды, теория функций комплексного переменного, ряды и интегралы Фурье, операционное исчисление), дифференциальных уравнений (методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, задача Коши, краевая задача), векторного и тензорного анализа (основные дифференциальные векторные операции). СОДЕРЖАНИЕ КУРСА "МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ" (наименование тем и их содержание) 1.Вариационное исчисление (16 часов). 1.1. Введение в общую теорию экстремальных задач (2 часа). 1.1.1. Основные понятия и задачи общей теории экстремальных задач. 1.1.2. Необходимые сведения о задаче математического программиро- вания. 1.1.3. Метод вариаций Лагранжа получения необходимых условий экстремума. 1.2. Классические вариационные задачи (10 часов). 1.2.1. Простейшая задача вариационного исчисления.Основная лемма вариационного исчисления.Уравнение и краевая задача Эйлера. Экстремали.Интегралы уравнения Эйлера.Условие Лежандра. Принцип Ферма, задача о брахистохроне. 1.2.2. Вариационная задача на классе векторных функций. Принцип Гамильтона в механике, уравнения Лагранжа движения механической системы. 1.2.3. Вариационная задача со старшими производными.Уравнение Эйлера-Пуассона. 1.2.4. Вариационная задача на классе функций многих переменных. Уравнение Эйлера-Остроградского.Вывод уравнений поперечных колебаний отрезка струны, продольных колебаний упругого стержня, поперечных колебаний мембраны на основе вариацион- ных принипов. 1.2.5. Изопериметрическая вариационная задача.Множители и функция Лагранжа.Двойственные вариационные задачи. Решение задачи Дидоны. 1.2.6. Классическая задача Лагранжа и задача Лагранжа в понтрягин- ской форме.Функция Понтрягина, запись необходимых условий экстремума в канонической гамильтоновой форме. Задача о геодезических линиях на криволинейных поверхностях в трехмерном пространстве. 1.2.7. Вариационные задачи с подвижными границами.Условия трансвер- сальности различных видов. 1.3. Неклассические вариационные задачи (2 часа). Задача оптимального управления.Принцип максимума Л.С.Понтрягина.Решение задачи об оптимальной остановке материальной точки. 1.4. Достаточные условия C -локального экстремума (2 часа). Вторичная экстремальная задача. Уравнение Якоби. Условия Лежандра и Якоби.Сопряженные точки.Поля экстремалей.Аналитическая и геометрическая формулировки достаточных условий экстремума. 2.Дифференциальные уравнения математической физики (44 часа). 2.1. Дифференциальные уравнения в частных производных первого поряд- ка. Характеристические линии и интегральные поверхности квазилинейного уравнения (1 час). 2.2. Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (2 часа). 2.2.1. Каноническая форма записи уравнения с двумя независимыми переменными: эллиптический, параболический и гиперболический типы уравнений в точке. Уравнения характеристик. 2.2.2. Уравнения второго порядка с N независимыми переменными: эллиптический, параболический, гиперболический и ультрагиперболический типы. 2.3. Корректность постановки задач математической физики. Класс корректности. Основные типы начально-краевых задач. Пример Ада- мара некорректно поставленной задачи (2 часа). 2.4. Уравнения гиперболического типа (17 часов). 2.4.1. Примеры физических задач, приводящих к уравнениям гиперболи- ческого типа: уравнения поперечных колебаний упругой струны, мембраны, продольных колебаний стержня, распространения зву- ка в упругой среде, электромагнитных волн в пространстве, вывод "телеграфных уравнений". 2.4.2. Метод бегущих волн решений гиперболических уравнений. Вывод формулы Даламбера в задаче Коши для волнового уравнения с одной пространственной переменной. Доказательство корректности постановки задачи Коши. Обобщения на случай N пространствен- ных переменных. Решения задач о распространении краевого ре- жима и колебаниях отрезка струны методом бегущих волн. 2.4.3. Метод фундаментальных решений для уравнений гиперболического типа. Обобщенные функции: определения и основные свойства. Операции над обобщенными функциями, свойства свертки. Обоб- щенная постановка задачи Коши для волнового уравнения, фунда- ментальное решение. Решение обобщенной задачи, вывод формулы Даламбера методом обобщенных функций. 2.4.4. Интегральные преобразования в задачах гиперболического типа. Решение задачи Коши для волнового уравнения с помощью интег- рального преобразования Фурье. Примеры решений смешанных задач с помощью синус-(косинус-) преобразований Фурье и преоб- разования Лапласа. 2.4.5. Метод разделения переменных Фурье решения смешанных задач для уравнений гиперболического типа. Общая схема метода разделе- ния. Задача Штурма-Лиувилля, экстремальная теория задачи, теорема Стеклова. Метод Фурье в многомерных задачах. Колеба- ния прямоугольной и круглой мембран. Уравнения и функции Бесселя: определения и основные свойства. 2.5. Уравнения параболического типа (10 часов). 2.5.1. Примеры физических задач, приводящих к уравнениям параболи- ческого типа. Вывод уравнений теплопроводности, диффузии. Диффузионные приближения в электродинамике, теории переноса, акустике. Уравнения Колмогорова в теории случайных марковских процессов. 2.5.2. Основные типы начально-краевых задач для уравнений параболи- ческого типа. Корректность постановки смешанных задач для уравнений параболического типа. Теорема о максимуме и минимуме решения однородного уравнения теплопроводности. 2.5.3. Методы интегральных преобразований в параболических задачах. Решение задачи Коши методом преобразования Фурье. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Решение смешанной задачи с помощью преобразования Лапласа. 2.5.4. Метод разделения переменных Фурье в параболических задачах. Примеры решения смешанных задач для одной и многих простран- ственных переменных. Запись решения с помощью функции Грина. Решение задачи Коши методом разделения переменных. 2.5.5. Метод фундаментальных решений в задаче Коши для уравнений параболического типа. Обобщенная постановка задачи Коши, представление ее решения в форме свертки. 2.6. Уравнения эллиптического типа (12 часов). 2.6.1. Примеры физических задач, приводящих к уравнениям эллиптиче- го типа. Стационарные процессы теплопроводности, диффузии, гидродинамики, электростатика и магнитостатика, уравнение Гельмгольца. 2.6.2. Основные типы краевых задач для уравнений эллиптического типа. Корректность постановки краевых задач для уравнения Пуассона в пространстве. Гармонические функции: определения и основные свойства. Теорема о максимуме и минимуме гармо- нической функции. 2.6.3. Метод функций Грина в эллиптических задачах. Представление решений краевых задач через функцию Грина. Метод мнимых источников построения функции Грина. Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в верхнем полупространстве и внутри шара. 2.6.4. Метод разделения переменных в эллиптических задачах. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа внутри и вне шара. Сферические и шаровые функции. Уравнения и функции Лежандра: определения и основные свойства. 2.6.5. Метод потенциалов в эллиптических задачах. Свойства несобственных кратных интегралов, зависящих от параметров. Об'емный и поверхностные потенциалы: опреде- ления и основные свойства. Гауссов потенуиал. Применение потенциалов для решения краевых задач. Решение задачи Дири- хле для уравнения Лапласа внутри круга. 3. Интегральные уравнения (6 часов). 3.1. Классификация линейных интегральных уравнений по родам. Уравнения Вольтерра (1 час). 3.2. Уравнения Фредгольма 2-го рода (3 часа). 3.2.1. Уравнения с вырожденным ядром. 3.2.2. Существование решения уравнения Фредгольма с малым ядром. Существование рещения уравнения Вольтерра. 3.2.3. Теоремы Фредгольма. 3.2.4. Спектральная теория уравнений Фредгольма с симметричными ядрами. Свойства спектра собственных чисел. Теорема Гильберта-Шмидта. 3.3. Задача Штурма-Лиувилля и интегральные уравнения (2 часа). Теоремы Гильберта об интегральном представлении решения крае- вой задачи через функцию Грина. Вывод теоремы Стеклова из теоремы Гильберта-Шмидта. ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ 1. Вариационное исчисление (18 часов). 1.1. Простейшая вариационная задача. 1.2. Функционалы от векторных функций. 1.3. Функционалы со старшими производными. 1.4. Функционалы от функций многих переменных. 1.5. Изопериметрическая задача. 1.6. Классическая задача Лагранжа и задача Лагранжа в понтрягинс- кой форме. 1.7. Задача оптимального управления(быстродействия). 1.8. Задачи со свободными границами. 2. Метод бегущих волн в задачах для уравнений гиперболического типа (10 часов). 2.1. Формула Даламбера для решения задачи Коши для волнового уравнения(случай неограниченной прямой). 2.2. Формула Даламбера(случай полуограниченной прямой). 2.3. Формула Даламбера(случай конечного отрезка). 2.4. Волны в длинных линиях(телеграфное уравнение). 3. Метод стоячих волн(разделения переменных Фурье) в задачах для уравнений гиперболического типа (12 часов). 3.1. Свободные колебания отрезка струны(стержня). 3.2. Вынужденные колебания отрезка струны(стержня). Явление резонанса. 3.3. Электрические колебания в ограниченной телеграфной линии. 3.4. Колебания прямоугольной мембраны. 3.5. Колебания круглой мембраны. 4. Методы решения задач для уравнений параболического типа (6 часа). 4.1. Метод разделения переменных Фурье(в задачах о нагреве линейного стержня, круглого цилиндра). 4.2. Метод функций Грина. 5. Методы решения задач для уравнений эллиптического типа (8 часа). 5.1. Метод разделения переменных Фурье(в задачах о стационарном про- греве цилидра, двумерных задачах электростатики). 5.2. Метод мнимых источников. ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ Тема 1. Вариационное исчисление. 1. Уравнение Эйлера,экстремали. Интегралы уравнения Эйлера. 2. Необходимое условие Лежандра. 3. Уравнения Пуассона, Остроградского. 4. Необходимые условия экстремума в изопериметрической задаче. 5. Каноническая форма записи необходимых условий экстремума в задаче Лагранжа(в понтрягинской форме). 6. Принцип максимума Л.С.Понтрягина. 7. Функционал Больца, условия трансверсальности. 8. Вторичная экстремальная задача, условия Якоби и Лежандра. 9. Центральное поле экстремалей, геометрическая форма достаточных условий экстремума. Тема 2. Дифференциальные уравнения математической физики. 1. Классификация квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка. 2. Корректность постановки задачи математической физики. 3. Формула Даламбера. 4. Дифференцирование обобщенных функций, свертка. 5. Фундаментальное решение волнового уравнения. 6. Метод стоячих волн решения смешанных задач для уравнений гипер- болического типа. 7. Задача Штурма-Лиувилля. Свойства собственных чисел и собственных функций. 8. Метод стоячих волн в многомерных задачах. 9. Уравнение и функции Бесселя. 10. Уравнение теплопроводности, фундаментальное решение уравнения. 11. Гармонические функции: основные свойства. 12. Метод мнимых источников построения функции Грина в эллиптических задачах. 13. Уравнения и функции Лежандра. Сферические функции. 14. Об'емный потенциал, поверхностные потенциалы. Гауссов потенциал. Тема 3. Интегральные уравнения. 1. Классификация линейных интегральных уравнений по родам. Уравнения Вольтерра. 2. Теоремы Фредгольма. 3. Свойства спектра интегрального уравнения с симметричным ядром. 4. Сведение некоторых краевых задач к интегральным уравнениям. ЛИТЕРАТУРА ПО КУРСУ "МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ" Основная литература 1. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969. - 424 с. 2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. - М.: Наука, 1979. - 429 с. 3. Тихонов А.М., Самарский А.А. Уравнения математической физики.- М.:Наука, 1969. - 724 с. 4. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции.- М.: Наука, 1984. - 383 с. Сборники задач 5. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. - М.: Наука, 1984. - 288 с. 6. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. - М.: Наука, 1980. - 697 c. Дополнительная литература 7. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1976. - 527 c. 8. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1976. - 295 c. 9. Соболев С.Л. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1966. - 443 c. 10. Годунов С.К. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1979. - 391 c. 11. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. - М.: Наука, 1973. - 407 c. 12. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциаль- льные уравнения и основы вариационного исчисления.- М.: Наука, 1986. - 271 c. 13. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. - 287 с. 14. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. - М.: Мир,1978. - 316 c. 15. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1976. - 392 с. 16. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний.- М.: Наука, 1972. - 470 c. ОБЗОР РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМАМ КУРСА "МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ" Тема 1. Вариационное исчисление. Основные вопросы темы изложены в [1,2]. Отдельные вопросы содержатся в следующих источниках: - задача о геодезических линиях на поверхности - [12] c.229-232; - задача о мягкой посадке летательного аппарата - [14] c.44-50; - задача быстродействия - [15] c.29-51; - принцип наименьшего действия Гамильтона - [13] c.123-128. Тема 2. Дифференциальные уравнения математической физики. Основной материал темы содержится в [3,4]. Отдельные вопросы можно найти также в следующих источниках: - уравнения в частных производных первого порядка - [12] c.178-200; - классификация уравнений 2-го порядка - [9] c. 39-48, [8] c.9-13; - вывод уравнений длинных линий - [16] c.327-330; - обобщенные функции и их применения - [7] c.84-195; - обобщенные решения начально-краевых задач - [10] c.126-139; [11] c.88-243; - интегральные преобразования в задачах математической физики - [8] c.246-265; - задача Штурма-Лиувилля - [7] c.346-354; - уравнения и функции Бесселя - [7] c. 355-369; - уравнения и функции Лежандра - [7] c.383-396; - гармонические функции и их связь с теорией функций комплексного переменного - [8] c.40-44, 85-132; - потенциалы - [9] c.208-228. Тема 3. Интегральные уравнения. Основной материал представлен в [4]. Отдельные дополнительные вопросы можно найти в следующих источниках: - теоремы Фредгольма и их следствия -[7] c.293-306; - применение теории Фредгольма к решению задач Дирихле и Неймана - [9] c. 267-270. АВТОР Смирнов И.П. ЗАВ. КАФЕДРОЙ Уткин Г.А. ПРЕДСЕДАТЕЛЬ МЕТОДКОМИССИИ