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     INSTITUTO  TECNOLÓGICO  DE  MINATITLAN

Lógica elemental

Una proposición se considera una frase, a la cual, se le puede asignar dos valores: o bién es verdadera, o bien es falsa, pero no ambas cosas. La verdad o falsedad de dicha proposición se le llama su valor de verdad .

Algunas proposiciones se pueden componer de dos o varias proposiciones simples, a los cuales, les llamaremos proposiciones compuestas . Esto lo veremos más adelante.

Comúnmente se suele denotar a las proposiciones mediante las letras: « p, q, r, s...etc. »

A continuación, veremos algunos ejemplos muy simples, de manera que se comprenda que son las proposiciones en Lógica.

p: 7 es un número par;
q: 2 + 2 = 4;
r: 2 es un número impar.
 

Como puedes darte cuenta, las proposiciones tanto p, q y r, tienen valores de verdad. De manera que la proposición p, su valor de verdad será Falso , pues 7 no es un número par. Para la proposición q, su valor de verdad será verdadero, siempre y cuando estemos hablando de el sistema decimal. El valor de verdad para r, será falso, pues 2 no es un número impar.
 

   Ahora observemos este otro ejemplo:
 

                   ¿Cómo éstas?

Observa que para esta expresión no es posible asignar un valor de verdad, no podemos decir que es falso, o bien, verdadero. De manere que no se trata de una proposición.
Bueno, dejemos éste ejemplo, y ahora veamos este otro:

                   Pedro está enfermo o viejo.

Esta expresión está formada implícitamente por dos proposiciones simples: «Pedro está enfermo» y la otra proposición, «Pedro es viejo». Se trata de una proposición compuesta, donde su valor de verdad, está determinado por completo por el valor de verdad de cada uno de las proposiciones simples, y por el modo de como se les reúne para formar la proposición compuesta.
De manera que, la primera proposición: «Pedro está enfermo», le podemos asignar un cierto valor de verdad, o bien es verdadero, o bien es falso.Para la segunda proposición: «Pedro es viejo»tambien se le puede asignar su valor de verdad: falso o verdadero.

La manera en que van a estar unidas ciertas proposiciones simples, para dar forma a proposiciones compuestas, será determinado rotundamente por el uso de conectivos. Estos los veremos en la sección siguiente.

Anteriormente vimos que la unión de proposiciones simples dan lugar a proposiciones compuestas. El primer caso que veremos de proposiciones compuestas será la conjunción .

Cuando dos proposiciones simples se combinan mediante la palabra « y » , la proposición compuesta resultante se le llama conjunción .

Para la conjunción usaremos el simbolo lógico ^.

De esta manera, se tiene que la nueva proposicion p ^ q se llama conjunción de « p y q ».

Ahora, el valor de verdad, para la conjunción de dos proposiciones cualesquiera, «p y q» será de la siguiente manera:

p ^ q debe ser verdadera, si, y solamente si, tanto p, como q, son verdaderas. De manera que, si al menos, una de las proposiciones simples es falsa, entonces, el valor de verdad para p ^ q , es falso.

Mas adelante revisaremos esto con mayor profundidad, cuando lleguemos a la sección de las «Tablas de Verdad».

Por ahora veamos un par de ejemplos sencillos para comprender el estudio de la conjunción.

En matemáticas se emplea la palabra «o» en el sentido inclusivo, como el término y/o.
Entonces una proposición del tipo «p o q» se toma siempre como «p o q ó ambas».Dado esto admitimos la frase compuesta como una proposición.
Simbolicamente la denotaremos escribiendo p v q .

A esta nueva proposición compuesta se le llama Disyunción, de modo que la proposición p v q se llama disyunción de p y q.

El valor de verdad de la proposición compuesta p v q cumple la condición siguiente:

Si p es verdadero o q es verdadero o si ambos, entonces p v q es verdadero; en cualquier otro caso p v q es falso. Es decir la disyunción de dos proposiciones es falsa solamente si cada proposición componente es falsa.
 

Veamos a continuación los siguientes ejemplos:

1.- Si p es la proposición «2 es un número par» y q es la proposición «3 es un número primo», entonces la disyunción p v q será la proposición «2 es un número par o 3 es un número primo».Donde el valor de la disyunción es verdadero pues tanto p y q son ambas verdaderas.

Con esto se observa: si al menos una de las proposiciones que forman la disyunción p v q es verdadera, entonces el valor de la disyunción es verdadera.

Si p es una proposición fundamental, de ésta se puede formar otra proposición, que se le llama Negación de p, escribiendo: «Es falso que» antes de p, ó, cuando es posible, se inserta en p la palabra «No».

Simbólicamente denotaremos a la negación por ~p, aunque existen varias maneras de hacerlo, algunos autores usan las notaciones para la negación de una proposición p como: ¬p ,-p , etc...., nosotros utilizaremos la notación ~p.

El valor de verdad de la negación de una proposición fundamental depende de la condición siguiente:
 

Si p es verdadero, entonces ~p es falso;
si p es falso, entonces ~p es verdadero. Es decir el valor de verdad de la negación de una proposición fundamental es siempre opuesto del valor de verdad de la proposcion.

Consideremos los siguientes ejemplos:

1.- Si p es la proposición «Alemania se encuentra en Europa»,entonces la negación de p, ~p, será la proposición: «Es falso que Alemania se encuentre en Europa»
Es obvio que el valor de verdad para ~p es falso, pues la proposición p: «Alemania se encuentra en Europa» es verdadero.
Tambien se pudo haber expresado la negación de p como:«Alemania no se encuentra en Europa».

En matemáticas se suele utilizar muy frecuentemente la proposición «Si p, entonces q». Tales proposiciones se llaman condicionales y se le denota por:

El condicional p --> q también se puede expresar de las siguientes maneras:

Veamos un ejemplito, el cual te ayudara a comprender las maneras en que una proposición condicional se puede expresar:

Por ejemplo, cuando decimos:

Este enunciado es equivalente a expresarlo de las siguientes maneras:

a) Si hay gasolina en el tanque, entonces mi automóvil funciona.

Observa que en este caso la proposición condicional es del caso: «Si p, entonces q».

b) Mi automóvil sólo funciona si hay gasolina en el tanque.

En este caso la proposición condicional es del caso: «p solamente si q».

c) Si hay gasolina en el tanque, es suficiente para que mi automovil funcione

En este caso la condicional es de la forma: «p es suficiente par q».

d) Para que mi automóvil funcione es necesario que haya gasolina en el tanque.

Para este caso la proposición condicional es de la forma: «q es necesario para q».

e) Que haya gasolina en el tanque implica que mi auto funcione.

En este caso la condicional es de la forma: «p implica q».

El valor de verdad de la proposición condicional p --> q está dada de la siguiente condición:

El condicional p --> q es verdadero a menos que p sea verdadero y q falso. Es decir, una proposición verdadera no puede implicar una falsa.

La proposición condicional juega un papel muy importante en matemáticas, en particular, en la demostración matemática. Veremos mas adelante cuando lleguemos a este tema, que los teoremas, corolarios,.etc,etc...vendran dadas por una serie de condiciones a la que llamaremos: Hipótesis o antecedentes, lo cual implican un consecuente. En el condicional p --> q a p se le llama el antecedente, y a q el consecuente.

Tambien, es muy importante comprender el carácter que tiene el condicional p --> q, es decir, si llegara a ocurrir p....entonces q, no es necesario a que siempre ocurra p para que entonces q.

Veamos algunos ejemplos para aclararte esto:

1.- Si mañana llueve, entonces hará frio.

Se observa, de que, si llega a ocurrir de que el día de mañana llueva, entonces el día de mañana será frío. Ahora, para saber el valor de verdad de esta proposición, depende de los factores climatológicos que se presenten para el día de mañana. Es decir, puede ser que mañana llueva, pero no haga frío, en este caso dado la ley del valor de verdad de la condicional, sería falsa. Pues una proposición verdadera no implica una proposicion falsa.

2.- Si a y b son números pares, entonces la suma (a+b) tambien es un número par.

Para este caso, si se tienen que dos números son pares entonces su suma son otro número par, es decir, no afirma que para cualesquiera dos números la suma de estos es un número par.

Otra observación interesante que hay que notar, es como ya dijimos anteriormente de que el valor de verdad de la proposición condicional p --> q es falso, si p es verdadero y q es falso. Ahora puede puede ser que te sorprenda de que el valor de verdad de la condicional p --> q es verdadero, dado que q es falsa y q verdadera, o más aún, es verdadero, dado que p es falsa y también q es falsa.
Veamos otro ejemplo para aclarar esto:

Sea la proposición condicional: «Si 4 es un número primo, entonces 6 es un número primo». Es una proposición verdadera a pesar de que «4 es un número primo» es una proposición falsa. El que la proposición «6 es un número primo» sea falsa, no tiene importancia. Nada se afirma con respecto al valor de verdad de q en este caso, solamente el valor de verdad de p --> q, y éste queda completamente determinado por las tablas de verdad que veremos mas adelante.

Otro tipo de proposición que se presenta con frecuencia es de la forma «p si, y solamente si, q» que se suele abreviar «p ssi q». Intuitivamente esta proposición parece ser la combinación de p --> q y q --> p

A este conectivo lógico especial lo llamamos condicional y se denota por el simbolo <-->, entonces p <--> q es lo mismo que (p --> q) y (q --> p) o aplicando la definición de la conjunción, que vimos en una de las secciones anteriores, (p --> q) ^ (q --> p).

El valor de verdad de las proposiciones Bicondicionales p <--> q obedece a la condición:

Si p y q tienen el mismo valor de verdad, entonces p <--> q, es verdadero.
Si p y q tienen valores de verdad opuestos, entonces p <--> q es falso. Dicho de otra manera: si tanto p como q son verdaderos, entonces p <--> q es verdadero.
Si tanto p como q son falsos, entonces p <--> q tambien es verdadero.
Si p es verdadero y q falso, entonces p <--> q es falso.
Si p es falso y q verdadero, entonces p <--> q también es falso

Veamos los ejemplos siguientes:

1.- 3 + 2 = 7 si, y solamente si, 4 + 4 = 8.

Hasta ahora, hemos visto las definiciones de el uso de conectivos en Lógica y algunos ejemplos muy sencillos con el fin de facilitar la comprension de dicho estudio

A manera de recapitulación en la sección siguiente verás una serie de ejercicios que abarcan todo lo que hemos visto hasta ahora.
Te aconsejo que los veas y trates de resolverlos tú mismo, si esto no es así, entonces podrás ver la respuesta a cada ejercicio.