1

1. Poisci koeficiente linearne kombinacije funkcij. f(x) =VSOTA(i=1 do 3) a_i*f_i (x)

kjer je

f1(x) = x, f2(x) = sin(x), f3(x) = cos(x)

da bo graf funkcije f(x) potekal skozi tocke:

x=[3.000;4.000;5.000];

y=[3.907;5.463;7.027];

Koliko je vsota VSOTA (i=1 do 3) a_i

x=[3.000;4.000;5.000];

y=[3.907;5.463;7.027];

f='[x,sin(x),cos(x)]'

A=eval(vectorize(f))

a=A\y

sum(a)

2. Poisci parametra a1 in a2 tako, da bo funkcija f(x, a) = a1/x + a2

aproksimirala podatke v smislu najmanjsih kvadratov.

x=[ 1.00 1.11 1.22 1.33 1.44 1.56 1.67 1.78 1.89 2.00];

y=[ 3.02 2.81 2.73 2.55 2.42 2.37 2.28 2.14 2.11 2.05];

Koliko je vsota parametrov P2 i=1 ai?

f='[1/x,ones(size(x))]'

x=[ 1.00 1.11 1.22 1.33 1.44 1.56 1.67 1.78 1.89 2.00];

y=[ 3.02 2.81 2.73 2.55 2.42 2.37 2.28 2.14 2.11 2.05];

x=x' (Stoplca morata biti)

y=y' (Stoplca morata biti)

A=eval(vectorize(f))

B=A'*A

a=B\(A'*y)

resitev=sum(a)

3. Poisci parametra a1 in a2, tako da bo funkcija

f(x, a) = a₁xe^-^a(²⁾^{x^}²=y

aproksimirala podatke

x=[ 1.00 1.11 1.22 1.33 1.44 1.56 1.67 1.78 1.89 2.00];

y=[ 0.75 0.65 0.60 0.48 0.38 0.32 0.25 0.16 0.13 0.10];

S primerno transformacijo prevede¡s na najpreprostej¡si linearni problem

najmanj¡sih kvadratov oblike:

Y = A₁ + A₂XⁿKoliko je vsota parametrov P2i=1 ai

naredis ln(x/y)= -ln(a1) + a2 * x^2 (A2 =a2, A1 = -ln(a1))

x=[ 1.00 1.11 1.22 1.33 1.44 1.56 1.67 1.78 1.89 2.00];

y=[ 0.75 0.65 0.60 0.48 0.38 0.32 0.25 0.16 0.13 0.10];

x=x'

y=y'

Y=log(x ./ y)

f='ones(size(x)),x^2'

M=eval(vectorize(f))

A=(M'*M)\(M'*Y)          // dobis A1 in A2

a2 = A(2)

a1 = exp(-A(1))     //to dobis ce iz A1 = -ln(a1) izrazis a1)

resitev = a1+a2

4. S pomoco kubicne interpolacije izracunaj pribli¡zno vrednost funkcije za

x = 3.271, ce poznamo le naseldnje vrednosti funkcije:

x=[2.40 2.80 3.20 3.60 4.00 4.40];

y=[1.669 1.031 0.293 -0.428 -1.017 -1.382];

Interpolacijske tocke izberemo tako, da je iskana vrednost med drugo in

tretjo interpolacijsko tocko.

x=[2.40, 2.80, 3.20, 3.60];

y=[1.669, 1.031, 0.293, -0.428];

polyfit(x,y,3)

//odogovor (To so a,b,c,d, za kubicno funkcijo  a*x^3+b*x^2+c*x+d)

//

// 0.30468749999992  -2.87187499999921   7.14749999999758  -3.15499999999754

f='0.30468749999992*x^3-2.87187499999921*x^2+7.14749999999758*x-3.15499999999754'

x=3.271

resitev= eval(vectorize(f))

5. Pri merjenju visine izstrelka h v odvisnosti od casa, t smo dobili naslednje

podatke o visini izstrelka nad tlemi:

t=[1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00];

h=[9.812 10.682 10.929 10.935 10.602 9.811];

Aproksimiraj meritve po metodi najmanjsih kvadratov s polinomom druge

stopnje in doloci najvecjo visino izstrelka.Vse rezultate vpisite vsaj na 5 mest natancno.

t=[1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00];

h=[9.812 10.682 10.929 10.935 10.602 9.811];

polyfit(t,h,2)

//odogovor

//

//-4.74330357142855  14.19576785714280   0.39400000000005

f=' -4.74330357142855*t^2+  14.19576785714280*t  + 0.39400000000005 '

F=strrep(f,'t','x')

jacobian(F) //odvod parabole (2ax+b)

x=14.19576785714280/ (2 * 4.74330357142855)

eval(vectorize(F))

1. Izra¡cunaj integral funkcije f(x) po trapezni in 1/3 Simpsonovi formuli,

f(x) =(1 - (cos(x))^2)/sin(x^2) na intervalu [0, 1].

Integracijski interval razdeli na 20 enako dolgih podintervalov.

f='(1 - (cos(x))^2)/sin(x^2) '

Simpson:

simpson(f,0,1,20) ali pa

x=linspace(0,1,20)

y=eval(vectorize(f))

h= (b-a)/m (1-0/20 )

y(1)= izracunej limito f(x) ko gre x proti 0

resitev=h*(y*l(20))/3

trapezna:

trapez(f,a,b,m) ali pa

x=linspace(0,1,20)

y=eval(vectorize(f))

h= (b-a)/m (1-0/20 )

y(1)= izracunej limito f(x) ko gre x proti 0

K=zeros(size(x))'+2

K(1)=K(1)-1

K(size(x))=K(size(x))-1

resitev=h*(y*K)

2. Izra¡cunaj integral funkcije f(x) = (x - sin(x))/x^(7/2)

na intervalu [0, 2].Integracijski interval razdelis na 22 enako dolgih podintervalov.

V levem kraji¡s¡cu je funkcija singularna. Na prvih dveh podintervalih

uporabi¡s formulo za ra¡cunanje singularnih integralov, medtem ko

na preostalem obmo¡cju ra¡cuna¡s po Simpsonovi formuli.

3. Izra¡cunaj integral funkcije f(x) = cos(x(11/10)* exp(1/2 x))

na intervalu [0, p], kjer je p > 0 najmanj¡sa pozitivna nicla funkcije. Uporabi

Rombergovo metodo. Izberi n=20 in tol=1e-10.

f='cos(x^(11/10)*exp(x/2))'

x=0:0.1:2

plot(x,eval(vectorize(f))) -da najdes približek

df=jacobian(f)

newton(f,df,1,1e-10,100)

romberg(f,0,0.97005375404118,20,1e-10)

4. Dana je krivulja v parametri¡cni obliki.

x = 4 t - 4 sin(t), y = 6 - 6 cos(t)

Izracunaj dolzino krivulje. Razdeli interval [0, 2*Pi] na n=24 podintervalov

in izracunaj integral s pomocjo Simpsonove formule.

//Formula: l=INTEGRAL(0 do 2*Pi) sqrt((odvod x)^2+(odvod y)^2)

//Odvodx je 4-4*cos(t)

//Odvody je 6*sin(t)

f='sqrt((4-4*cos(t))^2+(6*sin(t))^2)' oz

f='sqrt((4-4*cos(x))^2+(6*sin(x))^2)'

resitev=simpson(f,0,2*pi,24)

1. Re¡si diferencialno enac¡cbo y' = -y, y(0) = 1.23

po Eulerjevi, modificirani Eulerjevi in po Heunovi metodi,na intervalu

[0, 2].Integracijski interval razdeli¡s na n = 26 enako dolgih podintervalov.Primerjaj

vrednosti vseh treh metod v desnem krajiscu s tocno resitvijo.

[y,x]=euler(f,a,y,n) (f='-y',a=[0,2],y=1,23,n=26)

[y,x]=modeuler(f,a,y,n) (isto)

[y,x]=heun(f,a,y,n,e)  (isto, samo e je 1e-10)