From jramirez@lag.ensieg.frWed Oct  4 11:56:38 1995
Date: Sat, 30 Sep 1995 12:57:34 -0200
From: Jose Ramirez <jramirez@lag.ensieg.fr>
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Subject: bifurcaciones, caos y transformaciones no-inversibles

Hola Amigos:

Entre el 4 y 8 de septiembre pasado, se llevo acabo la 11 sesion  de la
escuela de verano en automatica del laboratorio de automatica de grenoble;
el  tema fue: bifurcaciones, caos, transformaciones no-inversibles con
aplicaciones.

Aqui les presento una corta introduccion como aperitivo para los no-iniciados.

Consideren esta ecuacion en diferencias sencilla:

X(n+1) =  F[X(n)] =  C - X(n)^2   (aqui uso ^para la potenciacion)
donde C es una constante.

Observen que la transformacion F[X(n)]  NO ES INVERTIBLE, 
pues para un valor dado de X(n+1), existen dos antecedentes:  
X(n) = +/- (C - X(n+1))^(1/2).

 Tomen C= 0.8 y la condicion inicial X(0)= -0.4.  Iteren la ecuacion y
despues de un transitorio veran  una solucion periodica, si repeten esto
con C=1.25 la solucion final duplicara el periodo de la anterior. Aqui
tenemos una BIFURCACION: una muy pequeNa variacion de C  cerca a 1.25 nos
da un gran cambio en el comportamiento de la solucion. Si continuan repitiendo
lo anterior con pequeNos incrementos de C veran que las soluciones finales
se iran
duplicando en periodo hasta  que para  C = 1.4 la solucion sera 'caotica':
sin patron aparente aunque limitada al intervalo -2<X(n)<2. 

Este funcionamiento 'aleatorio' de un sistema intrinsecamente determinista
como el anterior es lo que se ha denominado CAOS.

La 'imprevisibilidad' de la solucion es una caracteristica de este tipo de
sistemas, si calculan por ejemplo el valor de   X(200) para C=1.8 y la
misma condicion inicial anterior, podran obtener  resultados completamente
diferentes si usan  computadores de igual presicion pero con diferente
tecnica de redondeo.

Aunque en principio, uno no quiere este tipo de comportamiento en
ingenieria, ya estan apareciendo aplicaciones particularmente en 
comunicaciones (codificar y enviar la informacion con un portador caotico),
viajes espaciales (minima consumacion de energia: usar trayectorias
caoticas para desplazarse sin consumo de energia) y en medicina  (control
de la fibrilacion del corazon).


Asi que como ven el tema es bastante interesante y puede resultar hasta
divertido.
Animo!  manos a las teclas y diviertanse.



Jose Miguel

P.D. Aqui el CONTROL, ya no busca dominar al CAOS.



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Jose M. RAMIREZ
Laboratoire d'Automatique de Grenoble
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