PROBLEMA 1. junio 2006. Apartado A
Tres constructoras invierten en la compra de terrenos de la siguiente forma: la primera invirtió medio millón de euros en terreno urbano, 250.000 euros en terreno industrial y 250.000 euros en terreno rústico. La segunda, invirtió 125.000, 250.000 y 125.000 euros en terreno urbano, industrial y rústico, respectivamente, y la tercera, 100.000, 100.000 y 200.000 euros en estos mismos tipos de terreno, respectivamente. Transcurrido un año, venden todos los terrenos. La rentabilidad que obtiene la primera constructora es del 13,75%, la de la segunda del 11,25% y, finalmente, la de la tercera es del 10%. Determina la rentabilidad de cada uno de los tipos de terreno por separado.
Planteamiento:
x: porcentaje de rentabilidad del terreno urbano
y: porcentaje de rentabilidad del terreno industrial
z: porcentaje de rentabilidad del terreno rústico.
Para obtener la rentabilidad de cada uno de los terrenos por separado multiplicamos la cantidad invertida por x/100, y/100, z/100 respectivamente, con lo que obtenemos el siguiente sistema:
|
5000 |
x |
+ |
2500 |
y |
+ |
2500 |
z |
= |
137500 |
|
1250 |
x |
+ |
2500 |
y |
+ |
1250 |
z |
= |
56250 |
|
1000 |
x |
+ |
1000 |
y |
+ |
2000 |
z |
= |
40000 |
Los términos independientes se obtienen multiplicando la cantidad total invertida por cada constructor por 13,25/100, 11,25/100, 10/100 respectivamente.
Simplificamos las ecuaciones (se puede dividir la primera entre 5000, la 2º entre 1250 y la tercera entre 1000):
|
2 |
x |
+ |
1 |
y |
+ |
1 |
z |
= |
55 |
|
1 |
x |
+ |
2 |
y |
+ |
1 |
z |
= |
45 |
|
1 |
x |
+ |
1 |
y |
+ |
2 |
z |
= |
40 |
Y resolvemos por Gauss (intercambiamos 1ª y 3ª ecuaciones):
|
1 |
1 |
2 |
40 |
|
E1 |
1 |
1 |
2 |
40 |
|
E1 |
1 |
1 |
2 |
40 |
|
1 |
2 |
1 |
45 |
|
E2-E1 |
0 |
1 |
-1 |
5 |
|
E2 |
0 |
1 |
-1 |
5 |
|
2 |
1 |
1 |
55 |
|
E3-2E1 |
0 |
-1 |
-3 |
-25 |
|
E3+E2 |
0 |
0 |
-4 |
-20 |
Reconstruimos el sistema y resolvemos:
|
1 |
x |
+ |
1 |
y |
+ |
2 |
z |
= |
40 |
|
|
|
|
1 |
y |
+ |
-1 |
z |
= |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
z |
= |
-20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
20 |
y |
= |
10 |
z |
= |
5 |
Por tanto: el terreno urbano produce el 20% de beneficio, el terreno industrial el 10% y el rústico el 5%