Desde nuestros días de escuela se nos ha enseñado a ver las matemáticas con sus "axiomas" evidentemente verdaderos y sus deducciones rigurosamente lógicas como la última palabra de la exactitud científica. En 1900 todo esto parecía cierto, aunque en el Congreso Internacional de matemáticos que se celebró ese año, David Hilbert planteó una lista de los 23 problemas matemáticos no resueltos más importantes. Desde ese momento las cosas se han ido complicando hasta el punto en que es posible hablar de una auténtica crisis en las matemáticas teóricas. En su libro ampliamente leído Mathematics: The Loss of Certainty (matemáticas: la pérdida de la certeza), publicado en 1980, Morris Klein describe la situación así:

"Las creaciones del siglo XIX, extrañas geometrías y extrañas álgebras, obligaron a los matemáticos, a regañadientes, a reconocer que los exactos matemáticos y las leyes matemáticas de la ciencia no eran verdades. Descubrieron, por ejemplo, que muchas geometrías diferentes encajaban igualmente bien con la experiencia espacial. No puede ser que todas ellas sean ciertas. Aparentemente el diseño matemático no era inherente a la naturaleza, o si lo era, las matemáticas del hombre no eran necesariamente la descripción de ese diseño. Se había perdido la llave de la realidad. El darse cuenta de eso fue la primera de las calamidades que iban a caer sobre las matemáticas.

"La creación de estas nuevas geometrías y álgebras hizo que los matemáticos experimentasen una conmoción de otro tipo. Se habían quedado tan embelesados con el convencimiento de que estaban consiguiendo verdades que se habían lanzado impetuosamente a asegurar estas verdades aparentes a costa de un razonamiento con una base sólida. El darse cuenta que las matemáticas no eran un cuerpo de verdades hizo tambalear su confianza en lo que habían creado, y se comprometieron a reexaminar sus creaciones. Estaban consternados por haberse dado cuenta que la lógica de las matemáticas estaba en mala forma".

A principios del siglo XX intentaron resolver los problemas no resueltos, despejar las contradicciones, y elaborar un nuevo e infalible sistema de matemáticas. Como explica Klein:

"Hacia 1900 los matemáticos creyeron que ya habían conseguido su objetivo. Aunque tenían que conformarse con las matemáticas como una descripción aproximada de la naturaleza y muchos incluso habían abandonado la creencia en el diseño matemático de la naturaleza, gozaban con la contemplación de su reconstrucción de la estructura lógica de las matemáticas. Pero antes de que hubieran acabado de brindar por su supuesto Éxito, se descubrieron contradicciones en las matemáticas reconstruidas. Normalmente se referían a estas contradicciones como paradojas, un eufemismo que evita enfrentarse al hecho de que las contradicciones viciaban la lógica de las matemáticas.

"Los más brillantes matemáticos y filósofos de la Época emprendieron casi inmediatamente la tarea de resolver estas contradicciones. De hecho se concibieron, formularon y avanzaron cuatro métodos matemáticos diferentes, cada uno de los cuales congregó a numerosos adherentes. Todas estas escuelas fundacionales intentaron no sólo resolver las contradicciones conocidas sino asegurar que nunca más iban a surgir nuevas contradicciones, es decir, establecer la consistencia de las matemáticas. En estos esfuerzos fundacionales surgieron nuevas cuestiones. La aceptabilidad de algunos axiomas y algunos principios de lógica deductiva se convirtieron en los puntos de discusión sobre los que las múltiples escuelas adoptaron diferentes posiciones".

El intento de eliminar las contradicciones de las matemáticas sólo llevó a nuevas e insolubles contradicciones. El golpe final lo dio Kurt Gšdel en 1930, cuando publicó sus famosos teoremas, que provocaron una crisis, poniendo en cuestión incluso los métodos fundamentales de las matemáticas clásicas:

"Tan tarde como en 1930 un matemático quizás se hubiera contentado con aceptar una u otra de las múltiples fundaciones de las matemáticas y declarar que sus pruebas matemáticas estaban por lo menos de acuerdo con los principios de esa escuela. Pero el desastre atacó de nuevo, en forma de la conocida comunicación de Kurt Gšdel en la que demostraba, entre otros resultados significativos e inquietantes, que los principios lógicos aceptados por varias escuelas no podían demostrar la consistencia de las matemáticas. Esto no se podía hacer, demostró Gšdel, sin invocar principios lógicos tan dudosos como para cuestionar lo que se conseguía. Los teoremas de Gšdel provocaron una debacle. Los desarrollos posteriores trajeron nuevas complicaciones. Por ejemplo, se vio que incluso el método axiomático-deductivo tan altamente considerado en el pasado como el método para el conocimiento exacto, era defectuoso. El efecto resultante de este nuevo desarrollo fue el de añadir a la variedad de posibles métodos matemáticos y dividir a los matemáticos en un número de fracciones divergentes todavía mayor".10

El impasse de las matemáticas ha creado toda una serie de escuelas y facciones diferentes, ninguna de las cuales acepta las teorías de las otras. Hay platónicos (sí, es cierto), que consideran las matemáticas como una verdad absoluta ("Dios es un matemático"). Hay conceptualistas, cuya concepción de las matemáticas es completamente diferente de los platónicos, pero es meramente la diferencia entre idealismo subjetivo y objetivo. Ven las matemáticas como una serie de estructuras, modelos y simetrías que la gente se ha inventado para sus propios fines ¾ en otras palabras¾ , las matemáticas no tienen base objetiva, ¡sino que son simplemente el producto de la mente humana! Esta teoría parece ser popular en Gran Bretaña.

También tenemos la escuela formalista, que se formó a principios del siglo XX, con el propósito declarado de acabar con las contradicciones en las matemáticas. David Hilbert, uno de los fundadores de esta escuela, veía las matemáticas simplemente como la manipulación de símbolos según unas reglas específicas para producir un sistema de afirmaciones tautológicas, que tienen una consistencia interna, pero ningún tipo de sentido. Aquí las matemáticas se reducen a un juego intelectual, como el ajedrez ¾ otra vez un punto de vista totalmente subjetivo¾ . La escuela intuicionista tambiÉn se propone separar las matemáticas de la realidad objetiva. Según esta gente, una fórmula matemática no se supone que represente nada que exista independientemente del propio acto de la computación. Esto se ha comparado al intento de Bohr de utilizar los descubrimientos de la mecánica cuántica para introducir nuevos puntos de vista de cantidades matemáticas y físicas divorciadas de la realidad objetiva.

Todas estas escuelas tienen en común una visión totalmente idealista de las matemáticas. La única diferencia es que los neoplatónicos son idealistas objetivos, que piensan que las matemáticas se originaron en la mente de Dios y el resto ¾ intuicionistas, formalistas y conceptualistas¾ cree que las matemáticas son una creación subjetiva de la mente humana, vacía de cualquier significado objetivo. Este es el triste espectáculo que nos ofrecen las principales escuelas matemáticas en la última década del siglo XX. Pero este no es el fin de la historia.

En los últimos años, la limitación de los modelos matemático a la hora de expresar el funcionamiento real de la naturaleza ha sido objeto de una intensa discusión. Las ecuaciones diferenciales por ejemplo, representan la realidad como un continuo, en el que los cambios de tiempo y lugar se producen uniforme e ininterrumpidamente. No queda lugar para cambios cualitativos o rupturas bruscas. Y sin embargo estos tienen lugar en la naturaleza. El descubrimiento del cálculo diferencial e integral en el siglo XVIII representó un gran avance. Pero incluso los modelos matemáticos más avanzados son solamente una vasta aproximación a la realidad, válida solamente dentro de ciertos límites. El reciente debate sobre caos y anti-caos se ha centrado en aquellas ¿reas que implican rupturas de la continuidad, cambios "caóticos" repentinos que no se pueden expresar correctamente con las fórmulas matemáticas clásicas.

La diferencia entre orden y caos tiene que ver con relaciones lineales y no-lineales. Una relación lineal es aquella que se puede describir fácilmente de forma matemática: se puede expresar de una u otra manera como una línea continua en un gráfico. Las matemáticas pueden ser complejas, pero se pueden predecir y calcular las soluciones. Sin embargo, una relación no-lineal, es aquella que no se puede resolver fácilmente matemáticamente. No hay ninguna línea continua en un gráfico que la describa. Las relaciones no-lineales históricamente han sido difíciles o imposibles de resolver, y a menudo han sido ignoradas como errores experimentales. Refiriéndose al famoso experimento del péndulo, James Gleick escribe que la regularidad observada por Galileo era solamente una aproximación. El ángulo cambiante del cuerpo en movimiento crea una ligera no-linealidad en las ecuaciones. A baja amplitud, el error es prácticamente inexistente. Pero está ahí. Para obtener sus resultados exactos, Galileo tuvo que descartar no-linealidades que conocía: la fricción y la resistencia del aire.

La mayor parte de las matemáticas clásicas se basan en relaciones lineales abstraídas de la vida real como leyes científicas. Pero en la medida en que el mundo real está gobernado por relaciones no-lineales, estas leyes a menudo no son más que aproximaciones que se van refinando constantemente mediante el descubrimiento de "nuevas" leyes. Estas leyes son modelos matemáticos, construcciones teóricas cuya única justificación reside en la visión que nos dan de las fuerzas naturales y su utilidad a la hora de controlarlas. En los últimos veinte años la revolución en la tecnología de los ordenadores ha transformado la situación haciendo accesibles las matemáticas no-lineales. Por este motivo en una serie de facultades separadas y centros de investigación, matemáticos y otros científicos han podido llegar a calcular sistemas "caóticos" que en el pasado eran imposibles de calcular.

El libro de James Gleick, Caos, la creación de una ciencia, describe como los diferentes investigadores han estudiado a fondo sistemas caóticos utilizando toda una serie de modelos matemáticos diferentes, y sin embargo todos los estudios apuntan en una misma dirección: que existe un "orden" en lo que antes se creía que era un puro "desorden". La historia empieza con los estudios sobre modelos del tiempo meteorológico, en una simulación por ordenador, del meteorólogo americano Edward Lorenz. Utilizando doce variables al principio y luego solamente tres en un sistema de relaciones no-lineales, Lorenz fue capaz de producir en su ordenador una serie continua de condiciones en constante cambio, pero sin repetir dos veces las mismas condiciones. Utilizando reglas matemáticas relativamente simples había creado "caos".

Empezando con cualquier tipo de parámetros elegidos por Lorenz, su ordenador repetiría los mismos cálculos una y otra vez, y sin embargo sin llegar nunca al mismo resultado. Esta "aperiodicidad" (es decir, la ausencia de ciclos regulares) es característica de todos los sistemas caóticos. Al mismo tiempo, Lorenz se dio cuenta de que a pesar de que los resultados eran perpetuamente diferentes, por lo menos se podía sugerir que afloraban ciertos "modelos": condiciones que se aproximaban a las que ya se habían observado previamente, aunque nunca eran exactamente las mismas. Eso se corresponde con la experiencia que todos tenemos sobre el tiempo meteorológico real, en contraposición a las simulaciones por ordenador: hay ciertos "modelos", pero no hay dos días ni dos semanas en que el tiempo sea el mismo.

Otros científicos tambiÉn han descubierto "modelos" en sistemas aparentemente caóticos, tan diferentes como el estudio de las órbitas galácticas y la modelación matemática de osciladores electrónicos. Gleick observa que en estos y otros casos, se "sugerían estructuras en medio de comportamientos aparentemente casuales". Cada vez se fue haciendo más obvio que los sistemas caóticos no eran necesariamente estables, ni tenían por que prolongarse por un período indefinido. La conocida "mancha roja" en la superficie de Júpiter es un ejemplo de un sistema continuamente caótico que es estable. Es más, se ha simulado en estudios por ordenador y en modelos de laboratorio. Así, "un sistema complejo puede dar paso a turbulencias y cohesión al mismo tiempo". Mientras, otros científicos utilizaron diferentes modelos matemáticos para estudiar fenómenos aparentemente caóticos en biología. Uno en concreto realizó un estudio de los cambios de población bajo una serie de condiciones. Se utilizaron variables estándar familiares para los biólogos, junto con ciertas de las relaciones computerizadas no-lineales, tal y como serían en la naturaleza. Esta no-linealidad podría corresponder, por ejemplo, a una característica única de la especie que se podría definir como una propensión a propagarse, su "supervivencialidad".

Estos resultados se expresaron en un gráfico con el tamaño de la población en el eje vertical, contra el valor de los componentes no-lineales en el eje horizontal. Se observó que en la medida en que la no-linealidad se hacía más importante ¾ incrementando ese parámetro particular¾ la población proyectada pasaba por una serie de fases distintivas. Por debajo de cierto nivel crucial no habría población viable, e independientemente del punto de partida, el resultado sería la extinción. La línea del gráfico simplemente seguiría un trazo horizontal correspondiente a población cero. La siguiente fase era un estado estacionario, representado gráficamente por una sola línea curva creciente. Este es el equivalente a una población estable, a un nivel que dependía de las condiciones iniciales. En la siguiente fase habría dos poblaciones diferentes pero fijas, dos estados estacionarios. Esto se representaba como una ramificación en el gráfico, o una "bifurcación". Sería el equivalente en las poblaciones reales a una oscilación periódica regular, en un ciclo bianual. En la medida en que se incrementaba más el grado de no-linealidad, se producía un rápido aumento de las bifurcaciones, primero correspondiendo a cuatro estados estacionarios (un ciclo de cuatro años) y despuÉs muy rápidamente 8, 16, 32 y sucesivamente.

De aquí que, con un pequeño aumento de valores del parámetro no-lineal, se desarrollaba una situación que, a todos los efectos prácticos no tenía ningún estado estacionario ni ninguna periodicidad reconocible ¾ la población había pasado a ser "caótica"¾ . También se observó que si se incrementaba más la no-linealidad, a través de la fase "caótica", aparecían periodos en los que se recuperaban estados aparentemente estacionarios, basados en ciclos de 3 o 7 años, pero en cada caso dando paso, en la medida en que se incrementaba la no-linealidad, a nuevas bifurcaciones representando ciclos de 6, 12 y 24 años en el primer caso, o ciclos de 14, 28 y 56 años en el segundo. De esta manera, con precisión matemática, era posible modelar un cambio de la estabilidad con un sólo estado estacionario o regular, comportamiento periódico, a uno que era, a todos los efectos de mediciones, casual o aperiódico.

Esto puede indicar una posible solución a los debates en el campo de la ciencia de la población entre los teóricos que creen que las variaciones de población impredecibles son una aberración respecto a la "norma de estado estacionario", y otros que creen que el estado estacionario es una aberración respecto de la "norma caótica". Estas diferentes interpretaciones pueden surgir porque diferentes investigadores hayan tomado una "rebanada" del gráfico creciente que se corresponda a un sólo valor de la no-linealidad. Así, una especie podría tener como norma una población estacionaria o una periódicamente oscilante y otra puede exhibir una variabilidad caótica. Estos desarrollos en biología son otra indicación, como explica Gleick, de que "el caos es estable; está estructurado". Se empezaron a descubrir resultados similares en una amplia gama de fenómenos diferentes. "Se encontró caos determinístico en los registros de epidemias de sarampión en Nueva York y en 200 años de oscilación de la población de linces en Canadá, según los registros de los cazadores de la Hudsonís Bay Company". En todos estos casos de procesos caóticos existe la "duplicación de periodos" característica de este modelo matemático concreto.

Otro de los pioneros de la teoría del caos, Benoit Mandelbrot, un matemático de la IBM, utilizó otra técnica matemática. En su capacidad de investigador de la IBM buscó ¾ y encontró¾ "modelos" en toda una serie de procesos naturales "casuales". Descubrió, por ejemplo, que el "ruido" de fondo de las transmisiones telefónicas sigue un modelo completamente impredecible, o caótico, pero que sin embargo se puede definir matemáticamente. Utilizando un ordenador en la IBM, Mandelbrot fue capaz de producir sistemas caóticos gráficamente, utilizando solamente las más simples reglas matemáticas. Estos dibujos, conocidos como los "conjuntos de Mandelbrot", demostraban una complejidad infinita, y cuando se planteó aumentar el detalle en el ordenador que los estaba dibujando, la vasta y aparentemente infinita variedad continuaba.

Los conjuntos de Mandelbrot han sido descritos como el objeto o modelo matemático posiblemente más complejo nunca visto. Y sin embargo en su estructura existían modelos. Aumentando repetidamente la escala y observándolos cada vez con mayor detalle (algo que el ordenador puede hacer indefinidamente porque toda la estructura se basaba en un conjunto dado de reglas matemáticas) se podía observar que había repeticiones sistemáticas ¾ similitudes¾ a diferentes escalas. El "grado de irregularidad" era el mismo a diferentes escalas. Mandelbrot utilizó la expresión "fractal" para describir los modelos que eran evidentes en la irregularidad. Fue capaz de construir toda una serie de formas fractales alterando ligeramente las reglas matemáticas. Así fue capaz de crear una simulación por ordenador de una línea costera que a cualquier escala (a cualquier aumento) tenía siempre el mismo grado de "irregularidad" o "ondulación".

Mandelbrot comparó sus sistemas inducidos por ordenador con ejemplos de geometría que también tienen formas fractales, repitiendo el mismo modelo una y otra vez a diferentes escalas. En la llamada esponja de Menger, por ejemplo, el ¿rea de su superficie tiende al infinito, mientras que el volumen real de la esponja tiende a cero. Aquí es como si el grado de irregularidad se correspondiera a la "eficacia" de la esponja a la hora de ocupar espacio. Estos ejemplos no están tan traídos por los pelos como puede parecer porque, como Mandelbrot explicó, hay muchos ejemplos de geometría fractal en la naturaleza. La ramificación de la tráquea para hacer dos bronquios y su sucesiva ramificación hasta el nivel de estrechas ranuras por donde pasa el aire en los pulmones, sigue un modelo que se puede demostrar que es fractal. De la misma manera se puede demostrar que la ramificación de los vasos sanguíneos es fractal. en otras palabras existe una "auto-similitud", un modelo geométrico repetitivo de ramificación, no importa a que escala lo observemos.

Los ejemplos de geometría fractal en la naturaleza casi no tienen fin, y en su libro The Fractal Geometry of Nature (La geometría fractal de la naturaleza) Mandelbrot trató de demostrarlo. Se ha descubierto que el ritmo del latido normal del corazón sigue leyes fractales, quizás debido a la disposición fractal de las fibras nerviosas en el músculo del corazón. Lo mismo se aplica a los rápidos movimientos involuntarios de los ojos característicos de la esquizofrenia. Así, hoy en día se utilizan las matemáticas fractales en una amplia gama de campos científicos, incluyendo la fisiología y disciplinas tan separadas como el estudio de los terremotos y la metalurgia.

Se han encontrado otros indicios de bases determinísticas del caos en los estudios de transiciones de fase y en lo que los modelistas matemáticos llaman "atractores". Hay muchos ejemplos de transiciones de fase. Puede ser el paso del fluido uniforme y "laminar" a un flujo turbulento, la transición de sólido a líquido o de líquido a gas, o el cambio en un sistema de conductividad a "superconductividad". Estas transiciones de fase pueden tener consecuencias cruciales en el diseño tecnológico y la construcción. Un avión por ejemplo perdería fuerza de sustentación si el flujo laminar del aire sobre el ala pasase a ser turbulento; de la misma manera en que la presión necesaria para bombear agua dependerá de si el flujo en la tubería es o no turbulento.

La utilización de diagramas de fase-escala y atractores representa otra herramienta matemática que ha encontrado gran variedad de aplicaciones en sistemas aparentemente fortuitos. Como en el caso de otros estudios del caos, se han descubierto modelos comunes, en este caso "atractores extraños" en diferentes programas de investigación, incluyendo osciladores eléctricos, dinámica de fluidos e incluso la distribución de las estrellas en los cúmulos globulares. Todas estas herramientas matemáticas ¾ duplicación de períodos, geometría fractal, atractores extraños¾ se desarrollaron en momentos diferentes por diferentes investigadores examinando la dinámica caótica. Pero todos sus resultados apuntan en la misma dirección: existen unas leyes matemáticas subyacentes en lo que siempre se había considerado casual.

Un matemático, Mitchell Feigenbaum, uniendo una serie de cabos, ha desarrollado lo que él llama una "teoría universal" del caos. Como Gleick afirma: "creyó que esta teoría expresaba una ley natural sobre sistemas en el punto de transición entre el orden y la turbulencia (É) su universalidad no era sólo cualitativa, era cuantitativa (É) se extendía no sólo a modelos sino a números concretos".

Los marxistas reconocerán aquí la ley dialéctica conocida como de la transformación de cantidad en calidad. Esta idea describe la transición entre un período de desarrollo más o menos gradual, en el que el cambio se puede medir o "cuantificar", y el siguiente en el que el cambio ha sido tan "revolucionario", ha habido tal "salto", que se ha alterado toda la "calidad" del sistema. La utilización que hace Gleick de términos en un sentido similar es una indicación más de la manera en que la ciencia moderna se está deslizando hacia el materialismo dialéctico.

El punto central sobre la nueva ciencia es que estudia el mundo tal y como es en realidad: como un sistema dinámico en constante cambio. Las matemáticas clásicas, lineales son como la lógica formal que estudia las cosas en categorías fijas e inmutables. Son suficientes como aproximaciones, pero no reflejan la realidad. Sin embargo, la dialéctica es la lógica del cambio, de los procesos y como tal representa un avance respecto al formalismo. De la misma manera, las matemáticas del caos son un paso adelante respecto a la ciencia bastante "irreal" que ignoraba cómodamente las irregularidades de la vida.

La idea de la transformación de la cantidad en calidad se encuentra implícita en las matemáticas modernas, en el estudio de la continuidad y discontinuidad. Esto ya estaba presente en la nueva rama de la geometría, topología, inventada a principios de siglo por el gran matemático francés, Jules Henri Poincaré (1854-1912). La topología son las matemáticas de la continuidad. Como la explica Ian Steward: "La continuidad es el estudio de los cambios uniformes, graduales, la ciencia de lo continuo. Las discontinuidades son repentinas, dramáticas: sitios en los que un cambio minúsculo en causa provoca un cambio enorme en efecto".11

Los libros de texto normales de matemáticas nos dan una idea errónea de cómo es el mundo en realidad, de cómo funciona la naturaleza. "La intuición matemática, que tanto se cultiva", escribió Robert May, "equipa mal al estudiante para enfrentarse con el extravagante comportamiento del más sencillo de los sistemas no lineales".12 Mientras que la geometría elemental de escuela nos enseña a considerar cuadrados, círculos, triángulos y paralelogramos como cosas totalmente separadas, la topología ("la geometría de la tela de goma"), los trata como lo mismo. La geometría tradicional nos enseña que no se puede cuadrar el círculo, sin embargo en la topología este no es el caso. Las líneas rígidas de demarcación se rompen: un cuadrado se puede transformar ("deformar") en un círculo. A pesar de los adelantos espectaculares de la ciencia en el siglo XX, es sorprendente ver como gran cantidad de fenómenos que parecerían bastante simples no se comprenden correctamente y no se pueden expresar en términos matemáticos, por ejemplo el tiempo meteorológico, el flujo de los líquidos, la turbulencia. Las formas de la geometría clásica son inadecuadas para expresar las superficies extremadamente irregulares y complejas que podemos encontrar en la naturaleza, como explica Gleick:

"La topología estudia las propiedades que siguen inalteradas cuando las formas se desfiguran por torsión, extensión o comprensión. No se interesa en si la forma es cuadrada o redonda, grande o pequeña, porque la deformación cambia tales atributos. Los tocólogos se preocupan de si está acoplada, tiene agujeros o está anudada o enredada. Conciben las superficies, no en los universos euclidianos unidimensional, bidimensional y tridimensional, sino en espacios de dimensiones múltiples, imposibles de imaginar de manera visible. La topología es la geometría en trozos de goma. Se preocupa de lo cualitativo más que de lo cuantitativo".13

Las ecuaciones diferenciales tratan de la tasa de cambio de posición. Esto es más difícil de expresar de lo que podría parecer a primera vista. Muchas ecuaciones diferenciales no se pueden resolver. Estas ecuaciones pueden describir el movimiento, pero sólo como un cambio uniforme de posición, de un punto a otro, sin saltos repentinos ni interrupciones. Sin embargo, en la naturaleza el cambio no se produce de esta manera. Períodos de cambio gradual e ininterrumpido se ven interrumpidos por giros bruscos, rupturas de la continuidad, explosiones, catástrofes. Este hecho se puede ilustrar con numerosos ejemplos de la naturaleza orgánica e inorgánica, la historia de la sociedad y el pensamiento humano. En una ecuación diferencial, se presupone que el tiempo se divide en una serie de "escalones de tiempo" muy pequeños. Esto nos da una aproximación a la realidad, pero en la realidad no existen estos "escalones". Tal y como dijo Heráclito "todo fluye".

La incapacidad de las matemáticas tradiciones de tratar con cambios cualitativos en oposición a los meramente cuantitativos, supone una severa limitación. Dentro de ciertos límites puede ser suficiente. Pero cuando el cambio gradual cuantitativo se rompe de repente, y se vuelve "caótico" para utilizar la expresión en boga, las ecuaciones lineales de las matemáticas clásicas no son suficientes. Este es el punto de partida para las nuevas matemáticas lineares, cuyos pioneros fueron Benoit Mandelbrot, Edward Lorenz y Mitchell Feigenbaum. Sin darse cuenta seguían los pasos de Hegel, cuya línea nodal de medida expresa la misma idea, vital para la dialéctica.

La nueva actitud hacia las matemáticas se desarrolló como reacción al callejón sin salida de las escuelas matemáticas existentes. Mandelbrot había pertenecido a la escuela matemática francesa del formalismo, conocida como el grupo de Bourbaki, que planteaba un punto de vista puramente abstracto, empezando por principios fundamentales y deduciendo todo lo demás a partir de estos. De hecho se vanagloriaban de que su trabajo no tuviese nada que ver con la ciencia o el mundo real. Pero la llegada de los ordenadores introdujo un elemento completamente nuevo en la situación. Este es otro ejemplo de cómo el desarrollo de las condiciones técnicas condiciona el desarrollo de la ciencia. La gran cantidad de cálculos que se podían hacer simplemente apretando un botón posibilitó el descubrimiento de modelos y leyes donde antes parecía que solamente había fenómenos casuales y caóticos.

Mandelbrot empezó investigando fenómenos no explicados del mundo natural, como las ráfagas aparentemente casuales de interferencias en las emisiones de radio, las crecidas del Nilo, y las crisis de la Bolsa de valores. Se dio cuenta de que las matemáticas tradicionales eran incapaces de expresar adecuadamente este tipo de fenómenos. A finales del siglo pasado, George cantor, investigando el infinito inventó un conjunto que lleva su nombre. Este implica una línea dividida en un número infinito de puntos (el "polvo" de Cantor) cuya longitud total es 0. Esta contradicción manifiesta inquietó a muchos matemáticos del siglo XX, y sin embargo sirvió de punto de partida para la nueva teoría de Mandelbrot de las matemáticas fractales, que jugaron un papel decisivo en la teoría del caos:

"Discontinuidad, ruidos súbitos, polvos de cantaré", explica Gleick, "fenómenos como ellos no habían tenido acogida en la geometría de los dos milenios anteriores. Las figuras de la geometría clásica son líneas y planos, círculos y esferas, triángulos y conos. Representan una abstracción poderosa de la realidad, e inspiran una atractiva filosofía de armonía platónica. Euclides hizo de ellas una geometría que duró dos mil años, la única que estudia todavía la inmensa mayoría de los seres humanos. Aristóteles encontró la belleza ideal en ellas. Mas, para entender la complejidad, su abstracción resulta inconveniente".14

Toda ciencia implica un grado de abstracción respecto al mundo real. El problema con las mediciones euclidianas clásicas, que trabajaban con longitud, profundidad y anchura, es que eran incapaces de expresar la esencia de las formas irregulares que se encuentran en el mundo real. La ciencia de las matemáticas es la ciencia de magnitud. Por lo tanto, las abstracciones de la geometría euclidiana dejan de lado todo lo que no sea el aspecto cuantitativo de las cosas. La realidad queda reducida a planos, líneas y puntos. Sin embargo, las abstracciones de las matemáticas, a pesar de las exageradas afirmaciones que se han hecho sobre ellas, son sólo una vasta aproximación al mundo real, con sus formas irregulares y cambios constantes y abruptos. En palabras del poeta romano Horacio: "Puedes echar a la naturaleza con una horca, pero volverá constantemente". James Gleick describe así la diferencia entre las matemáticas clásicas y la teoría del caos:

"Mandelbrot suele decir que las nubes no son esferas. Ni los montes conos. Ni el rayo fulmina en línea recta. La nueva geometría refleja un universo áspero, no liso, escabroso, no suave. Es la geometría de lo picado, ahondado y quebrado, de lo retorcido, enmarañado y entrelazado. La comprensión de la complejidad de la naturaleza convenía a la sospecha de que no era fortuita ni accidental. Exigía fe en que el interesante fenómeno de la trayectoria del rayo, por ejemplo, no dependía de su dirección, sino de la distribución de zigzag. La obra de Mandelbrot era una reivindicación del mundo, la exigencia de que formas tan raras gozaban de significado. Los hoyos y marañas eran algo más que distorsiones que afeaban las figuras de la geometría euclidiana. Con frecuencia servían de clave de la esencia de una cosa".15

Estas cosas era vistas como aberraciones monstruosas por los matemáticos tradicionales. Pero a un dialéctico le sugieren que la unidad de lo finito e infinito, como en la infinita divisibilidad de la materia, tambiÉn se pueden expresar en términos matemáticos. El infinito existe en la naturaleza. El universo es infinitamente grande. La materia se puede dividir en partículas infinitamente pequeñas. Así, todas las discusiones sobre "el origen del universo" y la búsqueda de los "ladrillos de la materia" y la "última partícula" se basan en presupuestos totalmente erróneos. La existencia del infinito en matemáticas es simplemente un reflejo de este hecho. Al mismo tiempo, es una contradicción dialéctica que Éste universo infinito este compuesto de cuerpos finitos. Así, finito e infinito forman una unidad dialéctica de contrarios. El uno no puede existir sin el otro. La cuestión por lo tanto, no es si el universo es finito o infinito. Es finito e infinito a la vez, como ya explicó Hegel hace tiempo.

Los adelantos de la ciencia moderna nos han permitido penetrar cada vez más profundamente en el mundo de la materia. En cada etapa, se han hecho intentos de parar el proceso, de erigir una barrera, más allá de la cual supuestamente no se podía ir. Pero en cada etapa se superó el límite, revelando nuevos y sorprendentes fenómenos. Cada acelerador de partículas nuevo y más potente ha descubierto partículas nuevas y más pequeñas, con una existencia todavía más fugaz. No hay motivo para pensar que la situación será diferente en relación a los quarks, que por ahora se nos presentan como la última de las partículas.