"El hecho que nuestro pensamiento subjetivo y el mundo objetivo estén sujetos a las mismas leyes, y por lo tanto, tambiÉn, que en último análisis no se contradigan entre ellos en sus resultados, sino que tienen que coincidir, gobierna absolutamente todo nuestro pensamiento teórico". (Engels.)

El contenido de las matemáticas "puras" en última instancia se deriva del mundo material. La idea de que las verdades matemáticas son un tipo de conocimiento especial que es innato o de inspiración divina no resiste ningún análisis serio. Las matemáticas tratan sobre las relaciones cuantitativas del mundo real. Los llamados axiomas solo nos parecen auto evidentes por que son producto de un largo período de observación y experimentación de la realidad. Desafortunadamente muchos de los matemáticos de hoy en día parecen haberlo olvidado. Se engañan pensando que su tema "puro" no tiene nada que ver con el crudo mundo de las cosas materiales. Este es un ejemplo claro de las consecuencias negativas de llevar la división del trabajo a su extremo.

Desde Pitágoras en adelante, se han hecho todo tipo de planteamientos extravagantes en nombre de las matemáticas, que han sido consideradas como la reina de las ciencias, la llave mágica que abre todas las puertas del universo. Liberándose de todo contacto con el mundo físico, las matemáticas parecían planear por los cielos, donde adquirieron una existencia cuasi-divina, no obedeciendo más que sus propias leyes. Así, el gran matemático Henri Poincaré, a principios de este siglo, podía afirmar que las leyes de la ciencia no se relacionaban de ninguna manera con el mundo material, sino que representaban convenciones arbitrarias con el objetivo de promover una descripción más conveniente y "útil" de los fenómenos correspondientes. Muchos físicos hoy en día declaran abiertamente que sus modelos matemáticos no dependen de la comprobación empírica, sino de las calidades estéticas de sus ecuaciones.

Las teorías matemáticas han sido, por una parte, fuente de enormes avances científicos, y, por la otra, el origen de numerosos errores malentendidos que han tenido, y siguen teniendo, consecuencias profundamente negativas. El error central es intentar reducir el funcionamiento complejo, dinámico y contradictorio de la naturaleza a fórmulas cuantitativas estéticas y ordenadas. Se presenta la naturaleza de una manera formalista, como un punto unidimensional que se convierte en una línea, que se convierte en un plano, un cubo, una esfera, etc. Sin embargo, la idea de que las matemáticas puras son pensamiento absoluto, inmaculado y sin contacto con el mundo material, está¿ bastante lejos de la realidad. Utilizamos el sistema decimal, no por deducción lógica o "libre albedrío", sino porque tenemos diez dedos. La palabra "digital" vine de la palabra latina que significa dedos. Y hasta hoy en día, un niño cuenta sus dedos a escondidas debajo de la mesa antes de llegar a la solución de un problema matemático abstracto. Al hacerlo, el niño está¿ recorriendo inconscientemente el camino que los primeros humanos siguieron para aprender a contar.

Los orígenes materiales de las abstracciones matemáticas no eran ningún secreto para Aristóteles: "El matemático", escribió, "investiga abstracciones. Elimina todas las cualidades sensatas como peso, densidad, temperatura, etc., dejando sólo las cuantitativas y continuas (en una, dos o tres dimensiones) y sus atributos esenciales". En otra parte dice, "Los objetos matemáticos no pueden existir aparte de las cosas sensatas (es decir materiales)". Y, "No tenemos experiencia de nada que consista en líneas o planos o puntos, como deberíamos tener si estos objetos fuesen sustancias materiales, líneas, etc., pueden ser anteriores en definición al cuerpo, pero no son a priori en sustancia".1

El desarrollo de las matemáticas es el resultado de necesidades humanas bien materiales. El hombre primitivo sólo tenía diez sonidos para los números, precisamente porque contaba, como los niños pequeños, con los dedos. La excepción eran los mayas en Centro América que tenían un sistema numérico basado en veinte en lugar de diez, probablemente porque contaban con los dedos de los pies además de los de las manos. Viviendo en una sociedad simple de cazadores-recolectores, sin dinero ni propiedad privada, nuestros antecesores no tenían ninguna necesidad de números más grandes. Para contar un número mayor que diez, simplemente combinaban algunos de los sonidos conectados con sus dedos. Esto una vez más se expresa en el "uno-diez" (undécimo en latín, que se transforma en once en castellano, o ein-lifon ó"uno por encima"ó en teutón antiguo, que se transforma en eleven en inglés moderno). Todos los demás números son sólo combinaciones de los diez sonidos originales, con la excepción de cinco añadidos ¾ cien, mil, un millón, un billón y un trillón¾ .

Thomas Hobbes, el gran filósofo materialista inglés del siglo XVII ya había comprendido el auténtico origen de los números: "Y parece, que había un tiempo en el que esos nombres de números no se utilizaban; y los hombres se veían obligados a aplicar sus dedos de una o dos manos, a aquellas cosas de las que querían llevar la cuenta; y que de allí se deduce, que nuestras palabras numerales no son más que diez, en cualquier nación, y en algunas no son más que cinco, y entonces empiezan de nuevo".2

Alfred Hooper explica: "Por la simple razón de que el hombre primitivo inventó el mismo número de sonidos-número como dedos tenían, nuestra escala numeral hoy en día es decimal, es decir, una escala basada en diez , y consistente en una repetición inacabable de los diez primeros sonidos-número (É) Si los hombres hubiesen tenido doce dedos en lugar de diez, sin duda hoy en día tendríamos una escala numeral duodecimal, basada en doce, consistente en una repetición inacabable de los doce primeros sonidos-número".3 De hecho, un sistema duodecimal tiene ciertas ventajas comparado con el sistema decimal. Mientras que diez sólo es divisible por dos y cinco, doce se puede dividir exactamente por dos, tres, cuatro y seis.

Los números romanos son representaciones pictóricas de los dedos. Probablemente el símbolo del cinco representa el espacio entre el pulgar y los demás dedos. La palabra "calculus" (de la que se deriva calcular) significa "guijarro" en latín, en relación al método de contar piedras ensartadas en un ábaco. Estos, y otros muchos ejemplos sirven para ilustrar cómo las matemáticas no surgen de la libre operación de la mente humana, sino que son el producto de un proceso prolongado de evolución social, de pruebas y errores, observación y experimentación, que gradualmente empieza a separarse como un cuerpo de conocimiento de carácter aparentemente abstracto. De igual manera, nuestros sistemas de pesos y medidas se derivan de objetos materiales. El origen de las unidades de medida inglesas, como el pie, es evidente, o como la pulgada. La palabra castellana pulgada significa pulgar. El origen de los símbolos matemáticos más básicos + y ñ no tiene nada que ver con las matemáticas. Eran signos utilizados en la Edad Media por los mercaderes para calcular el exceso o falta de cantidades de productos en los almacenes.

La necesidad de construir viviendas para protegerse de los elementos obligó a los hombres primitivos a encontrar la manera más práctica de cortar madera de tal forma que los extremos encajasen unos con otros. Esto llevó al descubrimiento del ángulo recto y de la escuadra. La necesidad de construir casas en terreno llano llevó a la invención del tipo de niveles que se han encontrado en tumbas egipcias y romanas, formados de tres piezas de madera unidas en un triángulo isósceles, con una cuerda colgando del ápice. Estas herramientas simples se utilizaron en la construcción de las pirámides. Los sacerdotes egipcios acumularon gran cantidad de conocimientos matemáticos derivados en última instancia de este tipo de actividad práctica.

La misma palabra "geometría" traiciona sus orígenes. Simplemente significa "medir la tierra". La virtud de los griegos fue el dar una expresión teórica acabada a estos descubrimientos. Sin embargo, al presentar sus teoremas como el producto puro de la deducción lógica, se estaban engañando y engañando a las futuras generaciones. En última instancia las matemáticas se derivan de la realidad material, y de hecho, no podrían tener ninguna aplicación sino fuese así. Incluso el famoso teorema de Pitágoras, que todo estudiante conoce, de que el cuadrado del lado más largo de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de sus otros dos lados, había sido aplicado en la práctica por los egipcios.

Engels, y antes de Él Hegel, planteó las numerosas contradicciones implícitas en las matemáticas. Esto ha sido así siempre a pesar de la perfección e infalibilidad casi papal que los matemáticos han atribuido su "ciencia sublime". Los pitagóricos iniciaron esta tendencia, con su concepción mística del Número, y de la armonía del universo. Sin embargo, muy pronto se encontraron con que su mundo armonioso y ordenado estaba lleno de contradicciones, la solución de las cuales les desesperó. Por ejemplo se dieron cuenta de que era imposible expresar la longitud de la diagonal de un cuadrado en números.

Los últimos pitagóricos descubrieron que muchos números, como la raíz cuadrada de dos, no se pueden expresar en números. Es un "número irracional". Pero a pesar de que la raíz cuadrada de dos no se puede expresar como una fracción, es útil para encontrar la longitud del lado de un triángulo. Las matemáticas de hoy en día contienen toda una colección de este tipo de animales extraños, todavía en estado salvaje a pesar de todos los esfuerzos que se han hecho por domesticarlos, pero que una vez que se aceptan tal y como son, son bastante útiles. Así tenemos, números irracionales, números imaginarios, números trascendentales, números transfinitos, todos con características contradictorias y extrañas, y todos indispensables para el funcionamiento de la ciencia moderna.

El misterioso  (pi) era bien conocido por los antiguos griegos, y generaciones de estudiantes han aprendido a identificarlo como la ratio entre la circunferencia y el diámetro de un círculo. Sin embargo, no se puede calcular su valor exacto. Arquímedes calculó su valor aproximado con el método conocido como "exhaustivo". Era entre 3,14085 y 3,14286. Pero si intentamos escribir su valor exacto tenemos el extraño resultado de  = 3,14159265358979323846264338327950É y así hasta el infinito. Pi () que se conoce como un número trascendental, es absolutamente necesario para encontrar la circunferencia de un círculo, pero no se puede expresar como la solución de una ecuación algebraica. DespuÉs tenemos la raíz cuadrada de menos uno, que no es un número aritmético en absoluto. Los matemáticos lo denominan un "número imaginario", porque no hay ningún número real que multiplicado por sí mismo de como resultado menos uno, ya que dos menos dan como resultado un más. Una criatura de lo más peculiar ¾ pero no una creación de la imaginación, a pesar de su nombre¾ . En el Anti-Dühring Engels plantea que:

"Es una contradicción que una magnitud negativa tenga que ser el cuadrado de algo, pues toda magnitud negativa tenga que ser el cuadrado de algo, pues toda magnitud negativa, multiplicada por sí misma, da un cuadrado positivo. La raíz cuadrada de menos uno es, por tanto, no sólo una contradicción, sino un verdadero contrasentido. Y, sin embargo, La raíz cuadrada de -1 es un resultado en muchos casos necesario de correctas operaciones matemáticas; aún más: ¿Qué sería de la matemática, elemental o superior, si se le prohibiera operar con la raíz cuadrada de -1?" 4 La observación de Engels es todavía más relevante hoy en día. Esta combinación contradictoria de un más y un menos juega un papel totalmente decisivo en la mecánica cuántica, en la que aparece en toda una serie de ecuaciones, fundamentales para la ciencia moderna.

No hay duda que las matemáticas implican toda una serie de contradicciones de partida. Esto es lo que Hoffman tiene que decir sobre esto:

"El hecho de que una fórmula de ese tipo tuviera cualquier conexión con ese mundo de estricta experimentación que es el mundo de la física es en sí mismo difícil de creer. Ésa iba a ser la fundación profunda de la nueva física, e iba a investigar más profundamente que nada que se hubiese hecho anteriormente hacia el mismo centro de la ciencia y la metafísica, lo que es tan increíble como en su tiempo tenía que haber parecido la doctrina de que la tierra es redonda". 5

Hoy en día la utilización de números "imaginarios" se da por supuesta. La raíz cuadrada de menos uno se utiliza en toda una serie de operaciones necesarias, como la construcción de circuitos eléctricos. A su vez, los números transfinitos son necesarios para entender la naturaleza del tiempo y el espacio. La ciencia moderna, y especialmente la mecánica cuántica, no puede funcionar sin utilizar conceptos matemáticos de características francamente contradictorias. Paul Dirac, uno de los fundadores de la mecánica cuántica, descubrió los números "Q", que desafían las leyes de las matemáticas normales que plantean que a multiplicado por b es igual a b multiplicado por a.

La idea del infinito parece difícil de captar, ya que, a primera vista, está¿ más allá¿ de toda experiencia humana. La mente humana está¿ acostumbrada a tratar con cosas finitas, reflejadas en ideas finitas. Todo tiene un principio y un final. Este es un pensamiento familiar. Pero lo que es familiar no tiene necesariamente que ser cierto. La historia del pensamiento matemático contiene algunas lecciones altamente instructivas al respecto. Durante un largo período de tiempo los matemáticos, al menos en Europa, intentaron abolir el concepto de infinito. Sus motivos eran bastante obvios. Aparte de la dificultad evidente a la hora de conceptualizar el infinito, en términos puramente matemáticos implica una contradicción. Las matemáticas tratan con magnitudes definidas. El infinito, por su propia naturaleza no se puede contar ni medir. Esto quiere decir que hay un auténtico conflicto entre los dos. Por este motivo, los grandes matemáticos de la antigua Grecia evitaban el infinito como la plaga. A pesar de eso, desde los principios de la filosofía, el hombre especuló sobre el infinito. Anaximandro (610 - 547 a. de J.C.) lo tomó como base de su filosofía.

Las paradojas de Zenón (nacido hacia el 450 a. de J.C.) plantean la dificultad inherente en la idea de una cantidad infinitesimal como componente de magnitudes continuas intentando demostrar que el movimiento es una ilusión. Zenón "refutaba" el movimiento de diferentes maneras. Planteaba que un cuerpo en movimiento, antes de alcanzar un punto dado tenía que recorrer la mitad de la distancia. Pero antes de eso tiene que recorrer la mitad de esa mitad, y así hasta el infinito. Por lo tanto, cuando dos cuerpos se mueven en la misma dirección y el de atrás, a una distancia dada del otro, se mueve a velocidad mayor del de delante, asumimos que le alcanzar¿. No, dice Zenón. "El más rápido nunca adelantará al lento". Esta es la famosa paradoja de Aquiles el veloz. Imaginémonos una carrera entre Aquiles y una tortuga. Supongamos que Aquiles puede correr diez veces más rápido que la tortuga que sale con 1000 metros de ventaja. Cuando Aquiles haya cubierto los 1000 metros, la tortuga estar¿ 100 metros más adelante; cuando Aquiles haya recorrido los 100 metros, la tortuga estar¿ 10 metros más adelante; cuando Aquiles haya recorrido estos 10 metros la tortuga habr¿ avanzado otro metro, y así hasta el infinito.

Las paradojas de Zenón no demuestran que el movimiento sea una ilusión, o que Aquiles en la práctica no alcanzar¿ la tortuga, pero revelan brillantemente las limitaciones del método de pensamiento conocido como lógica formal. El intento de eliminar toda contradicción de la realidad, como hicieron los eleáticos, inevitablemente conduce a este tipo de paradojas insolubles, o antinomias como las llamó Kant más tarde. Para demostrar que una línea no se podía componer de un número infinito de puntos, Zenón planteó que si fuese así, Aquiles nunca alcanzaría la tortuga. Realmente aquí tenemos un problema lógico. Como explica Alfred Hopper:

"Esta paradoja sigue dejando perplejos incluso a aquellos que saben que es posible encontrar la suma de una serie infinita de números formando una progresión geométrica cuya ratio común sea menos de 1, y cuyos términos se hagan consecuentemente más y más pequeños y de esta manera ‘convergiendo en algún valor límite".6

De hecho, Zenón había revelado una contradicción del pensamiento matemático que todavía tendría que esperar dos mil años para encontrar su solución. La contradicción está¿ relacionada con la utilización del infinito. Desde Pitágoras hasta el descubrimiento del cálculo diferencial e integral en el siglo XVII, los matemáticos dieron grandes rodeos para evitar utilizar el concepto de infinito. Sólo el gran genio Arquímedes estudió el tema, pero siguió evitándolo con un rodeo. Los primeros atomistas, empezando con Leucipo, que podría haber sido un discípulo de Zenón, plantearon que los ¿tomos "indivisibles e infinitos en número, se mueven incesantemente en un espacio vacío de dimensiones infinitas".

La física moderna acepta que el número de instantes entre dos segundos es infinito, igual que el número de instantes en un período de tiempo que no tenga principio ni fin. El propio universo se compone de una cadena infinita de causas y efectos, en constante cambio, movimiento y desarrollo. Esto no tiene nada en común con la cruda y unilateral noción de infinito como una serie infinita de números de la aritmética simple, en la que el "infinito" tiene siempre un "principio" en el número uno. Esto es lo que Hegel denominó el "Mal Infinito".

El más grande matemático griego, Arquímedes (287-212 a. de J.C.) utilizó efectivamente los indivisibles en geometría, pero consideraba que la idea de números infinitamente grandes o pequeños carecía de fundamento lógico. De forma parecida, Aristóteles planteó que en la medida en que un cuerpo tiene que tener una forma, tiene que estar limitado, y por lo tanto no puede ser infinito. Aunque aceptaba que había dos tipos de infinitos "potenciales" ¾ adición sucesiva aritméticamente (infinitamente grande) y sucesivas subdivisiones geométricamente (infinitamente pequeño)ó polemizó con otros geómetras que sostenían que un segmento de una línea se compone de una cantidad infinita de infinitesimales fijos, o indivisibles.

Esta negación del infinito constituía una barrera real al desarrollo de las matemáticas en la Grecia clásica. En contraste, los matemáticos de la India no tenían este tipo de escrúpulos e hicieron grandes avances, que llegaron posteriormente a Europa a través de los árabes. El intento de abolir la contradicción del pensamiento, de acuerdo con los rígidos esquemas de la lógica formal retrasó el desarrollo de las matemáticas. Pero el espíritu aventurero del Renacimiento abrió las mentes de los hombres a nuevas posibilidades que eran, de hecho, infinitas. En su libro La nueva ciencia publicado en 1638, Galileo planteo que cada entero (número entero) sólo tiene un cuadrado perfecto, y que cada cuadrado perfecto es el cuadrado de un sólo entero positivo. Así, en cierto sentido hay tantos cuadrados perfectos como enteros positivos. Esto nos lleva inmediatamente a una contradicción lógica. Contradice el axioma de que el todo es mayor que cualquiera de sus partes, puesto que no todos los enteros positivos son cuadrados perfectos, y todos los cuadrados perfectos forman parte de todos lo enteros positivos.

Esta es sólo una de las numerosas paradojas que han llenado las matemáticas desde el renacimiento, cuando los hombres empezaron a someter sus pensamientos y suposiciones a un análisis crítico. Como resultado de esto, lentamente, y enfrentándose a la tozuda resistencia de las mentes conservadoras, los axiomas supuestamente inabordables y las "verdades eternas" de las matemáticas han sido derrocados uno por uno. Llegamos a un punto en que se ha demostrado que todos los cimientos del edifico son inseguros y que necesita una reconstrucción a fondo sobre bases más firmes, y a la vez más flexibles, que ya están en proceso de construcción, y que inevitablemente tendrán un carácter dialéctico.

Muchos de los llamados axiomas de las matemáticas griegas clásicas ya habían sido minados por el descubrimiento del cálculo diferencial e integral, el mayor punto de inflexión en las matemáticas desde la Edad Media. Así, uno de los axiomas de la geometría plantea que recto y curvo son absolutamente opuestos, y que los dos son inconmensurables, es decir, que uno no se puede expresar en términos del otro. Sin embargo, en última instancia, recto y curvo se consideran iguales en el cálculo diferencial. Como Engels señala, las bases para esto ya se habían puesto mucho antes de que fuera elaborado por Leibniz y Newton: "El punto de viraje en las matemáticas fue la magnitud variable de Descartes. Con ella vino el movimiento, y por lo tanto la dialéctica en las matemáticas, y en el acto, además, por necesidad, el cálculo diferencial e integral, que además, empieza en seguida, y que en general fue completado por Newton y Leibniz, no descubierto por ellos".7

El descubrimiento del cálculo abrió un nuevo horizonte para las matemáticas y para la ciencia en general. Una vez que se levantaron los viejos tabúes y prohibiciones, los matemáticos se sintieron libres para investigar ¿reas completamente nuevas. Pero utilizaron números infinitamente pequeños y grandes de manera acrítica, sin considerar sus implicaciones lógicas y conceptuales. La utilización de cantidades infinitamente pequeñas e infinitamente grandes se consideraba como una especie de "ficción útil" que, precisamente porque no estaba clara del todo, siempre daba los resultados correctos. En la sección sobre Cantidad en el primer volumen de La ciencia de la Lógica, Hegel plantea como, mientras que la introducción del infinito matemático abrió nuevos horizontes para las matemáticas, y llevó a resultados importantes, siguió sin explicarse porque chocaba con las tradiciones y métodos existentes:

"Pero en el método del infinito matemático la matemática encuentra una contradicción radical al mismo método que le es característico, y en el que se basa como ciencia. Porque el cálculo del infinito admite, y exige, métodos de procedimiento que las matemáticas, cuando operan con magnitudes finitas, tienen que rechazar de plano, y al mismo tiempo trata estas magnitudes infinitas como Cuantos finitos, intentando aplicar a los primeros los mismos métodos que son válidos para estos últimos".8

El resultado fue un largo período de controversia en relación a la validez del cálculo. Berkeley lo denunció ya que estaba en contradicción abierta con las leyes de la lógica. Newton, que utilizó el nuevo método en su Principia, se sintió obligado a esconder este hecho del público, por miedo a una reacción adversa. A principios del siglo XVIII, Bernard Fontenelle finalmente tuvo el coraje de afirmar categóricamente que ya que existe una cantidad infinita de números naturales, existe un número infinito tan ciertamente como que existen números finitos, y que el recíproco de infinito es infinitesimal. Sin embargo Georges de Buffon le contradijo, planteando que el infinito era una ilusión. Incluso el gran intelecto de DíAlambert fue incapaz de aceptar esta idea. En el artículo de su Encyclopaedia sobre el Diferencial, negaba la existencia del infinito, excepto en el sentido negativo de un límite a cantidades finitas.

De hecho, el concepto de "límite" fue introducido en un intento de salvar la contradicción inherente al infinito. Fue especialmente popular en el siglo XIX cuando los matemáticos ya no se conformaban con aceptar a ciegas el cálculo como se había contentado con hacer la generación anterior. El cálculo diferencial planteaba la existencia de magnitudes infinitesimalmente pequeñas de órdenes variables ¾ un primer diferencial, un segundo diferencial, y así hasta el infinito¾ . Con la introducción del concepto de "límite" crearon la idea de que no se planteaba un infinito real. La intención era hacer que la idea de infinito pareciese subjetiva, negar su objetividad. Se decía que las variables eran potencialmente infinitamente pequeñas, en la medida en que eran menos que cualquier cantidad dada, como potencialmente infinitas en la medida en que eran mayores que cualquier magnitud preasignada. En otras palabras, ¡"tan grande o pequeño como quieras"! Este juego de manos no solucionaba la dificultad, sino que sólo proporcionaba una hoja de parra para cubrir las contradicciones lógicas implicadas en el cálculo.

El gran matemático alemán Karl Frederick Gauss (1777-1855) estuvo dispuesto a aceptar el infinito matemático, pero se horrorizó ante la idea de la infinitud real. Sin embargo, su contemporáneo Bernhard Bolzano, partiendo de la paradoja de Galileo, empezó un estudio de las paradojas implícitas en la idea de un "infinito completo". Este trabajo fue desarrollado por Richard Dedekin (1813-1914) que caracterizó el infinito como algo positivo, y planteó que, de hecho, el conjunto de números positivos se puede considerar como negativo (es decir, como no infinito). Finalmente George Cantor (1845-1918) fue más allá¿ de la definición de conjuntos infinitos y desarrollo una aritmética totalmente nueva de "números transfinitos". Las comunicaciones de Cantor, empezando en 1870, son una reseña de toda la historia del infinito, empezando por Demócrito. A partir de aquí se desarrolló toda una nueva rama de las matemáticas basada en la teoría de los conjuntos.

Cantor demostró que los puntos de una ¿rea, independientemente de lo grande que sea, o en un volumen o en un continuo de dimensión incluso mayor, se pueden aparejar con los puntos de una línea o un segmento, independientemente de lo pequeña que sea. De la misma manera que no hay ningún último número finito, no puede haber ningún último número transfinito. Por lo tanto despuÉs de Cantor no se puede discutir el papel central del infinito en las matemáticas. Es más, su trabajo reveló una serie de paradojas que han llenado las matemáticas modernas y todavía están pendientes de resolución.

Todo análisis científico moderno se basa en el concepto de continuidad, es decir, que entre dos puntos en el espacio existe un número infinito de otros puntos, y tambiÉn que entre dos puntos en el tiempo hay un número infinito de otros momentos. Sin estas afirmaciones las matemáticas modernas simplemente no podrían funcionar. Sin embargo estos conceptos contradictorios hubieran sido rechazados indignadamente, o por lo menos observados con sospecha por las generaciones anteriores. Sólo el genio dialéctico de Hegel (que por cierto era un gran matemático) fue capaz de anticipar todo esto en su análisis de lo finito e infinito, tiempo, espacio y moción.

A pesar de todas las evidencias muchos matemáticos modernos siguen negando la objetividad del infinito, aunque aceptan su validez como fenómeno de las matemáticas "puras". Este tipo de división no tiene ningún sentido. Por que a menos que las matemáticas sean capaces de reflejar el mundo objetivo y real, ¿de qué servirían? Hay cierta tendencia entre los matemáticos modernos (y por extensión, increíblemente, los físicos teóricos) a recurrir al idealismo en su forma más mística, alegando que la validez de una ecuación es puramente una cuestión de su valor estético, sin ninguna relación con el mundo material.

El mismo hecho de que las operaciones matemáticas se puedan aplicar al mundo real y obtener resultados que tengan un significado indica que existe una afinidad entre ambos. Si fuese de otra forma, las matemáticas no tendrían una aplicación práctica, lo cual no es el caso. La razón por la que se puede utilizar el infinito, y se debe de utilizar, en las matemáticas modernas, es porque se corresponde con la existencia del infinito en la propia naturaleza, que se ha impuesto sobre las matemáticas, como un huésped al que nadie ha invitado, a pesar de todos los intentos de cerrarle la puerta.

La razón por la que les llevó tanto tiempo a los matemáticos para aceptar el infinito la explica Engels: