### La sucesión de Fibonacci ### 21 espirales 34 espirales 55 espirales (marcada una de cada dos) (marcada una de cada cinco). Leonardo de Pisa, Fibonacci, (1170-1250) fue uno de los más renombrados matemáticos europeos de su tiempo. Hijo de diplomático, fue educado en el norte de Africa y recorrió en su juventud varios paises de oriente medio. A la vuelta de sus viajes, a los 30 años, recopiló lo aprendido en un tratado de álgebra y aritmética titulado Liber abaci. Entre otras cosas, este libro contribuyó en gran medida a expandir por Europa la notación decimal que usamos actualmente para los números, de origen indo-árabe. Es lo que Fibonacci llamaba el arte de los nueve símbolos hindúes. El liber abaci también contiene la sucesión que hoy llamamos de Fibonacci, que aparece como respuesta al siguiente ejercicio: Cierto hombre puso una pareja de conejos en un lugar rodeado por muros. Cuántas parejas de conejos se obtendrán de esa primera, suponiendo que cada pareja engendra una nueva pareja cada mes, la cual produce sus primeros descendientes a los dos meses? La respuesta es que el primer mes sólo se tiene la pareja original, el segundo nace la primera pareja nueva y se tienen dos, el tercero nace otra y se tienen tres. En general, cada mes nacen tantas parejas como hubiera dos meses antes, y de aquí se deduce que cada término de la sucesión es simplemente la suma de los dos anteriores. Es decir: Sucesión de Fibonacci = 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...etc. Aunque esta contribución no deja de ser una mera anécdota, es la que ha dado más fama a Fibonacci, frente a otras mucho más profundas en teoría de números, álgebra o geometría. La razón no está tanto en el problema de los conejos como en la sucesión en sí, que aparece en numerosos lugares de las matemáticas, ...y de la naturaleza! Programa iterativo para los números de Fibonacci:
    //El siguiente programa calcula el N término de la serie de Fibonacci
    //de forma iterativa.
    #include <iostream.h>
    //Número de Fibonacci: 0  1  1  2  3  5  8  13  21  33  54 ...
    //Posición           : 1  2  3  4  5  6  7   8   9  10  11 ...
    long Fibonacci(int Posicion){
                        long F, Ultimo=1, Penultimo=0, Aux;
                        if(Posicion == 1 )
                                             F=0;
                        else
                                             if( Posicion == 2)
                                                                 F=1;
                                             else
                                                                 for(int i = 3; i<=Posicion; i++){
                                                                                     F = Ultimo + Penultimo;
                                                                                     Aux = Ultimo;
                                                                                     Ultimo = F;
                                                                                     Penultimo = Aux;
                                                                 }
                        return F;
    }
    void main(void){
                        int N;
                        cout << "Digite la posición, del número de Fibonacci: ";
                        cin >> N;
                        cout << "El número buscado es: " << Fibonacci(N);
    }
Programa utilizando recursión para los números de Fibonacci:
    //El siguiente programa calcula el N t‚rmino de la serie de Fibonacci
    //utilizando recursión
    #include <iostream.h>
    //N£mero de Fibonacci: 0  1  1  2  3  5  8  13  21  33  54 ...
    //Posici¢n           : 1  2  3  4  5  6  7   8   9  10  11 ...
    long Fibonacci(int Posicion){
                        if(Posicion == 1 )
                                             return 0;
                        else
                                             if( Posicion == 2)
                                                                 return 1;
                        return Fibonacci(Posicion-1) +     Fibonacci(Posicion-2);
    }
    void main(void){
                        int N;
                        long F;
                        cout << "Digite la posición, del número de Fibonacci: ";
                        cin >> N;
                        F = Fibonacci(N);
                        cout << "El número buscado es: " << F;
    }
Programa utilizando la Regla Aurea("Golden Section" or "Divine Proportion", F:) para los números de Fibonacci:
                     NÚMERO  RAZÓN        NÚMERO  RAZÓN
                          1                   89  1.617978
                          1  2.000000        144  1.618056
                          2  1.500000        233  1.618026
                          3  1.666667        377  1.618037
                          5  1.600000        610  1.618033
                          8  1.625000        987  1.618034
                         13  1.615385       1597  1.618034
                         21  1.619048       2584  1.618034
                         34  1.617647       4181  1.618034
                         55  1.618182       6765  1.618034
    //El siguiente programa calcula el N término de la serie de Fibonacci
    //por medio de la razón áurea. Es una forma aproximada.
    #include <iostream.h>
    #include <math.h>
    //Número de Fibonacci: 0  1  1  2  3  5  8  13  21  33  54 ...
    //Posición           : 1  2  3  4  5  6  7   8   9  10  11 ...
    double RazonAurea = 1.618;
    long Fibonacci(int Posicion){
                        double F, ParteFraccionaria, ParteEntera;
                        switch(Posicion){
                                             case 1: F=0;
                                             case 2: F=1;
                                             case 3: F=1;
                                             default:
                                                                 F = 1;
                                                                 for(int i = 4; i<=Posicion; i++){
                                                                                     F = F * RazonAurea;
                                                                                     ParteFraccionaria = modf(F, &ParteEntera);
                                                                                     if(ParteFraccionaria>=0.5)
                                                                                                          F = ParteEntera+1;
                                                                                     else
                                                                                                          F = ParteEntera;
                                                                 }
                        }
                        return F;
    }
    void main(void){
                        int N;
                        double F;
                        cout << "Digite la posición, del número de Fibonacci: ";
                        cin >> N;
                        F = Fibonacci(N);
                        cout << "El número buscado es: " << F;
    }
Lectura de fragmento de "El Hombre que Calculaba" de Malba Tahan. Donde se habla de la Regla Aurea y de la Matemática para calcular la Belleza: CAPITULO XXIV En el cual Beremís, por medio de fórmulas calcula la belleza de una joven. – La división Áurea. – La proporción divina. – Las armonías del Universo. – Cómo se determinan, sin error, el valor numérico de la belleza. Uno de los hombres más populares de Bagdad es un turco, llamado Hassan Muarique, quien ejerce el cargo de jefe de guardias del sultán. Había yo observado que Hassan se tornaba día a día uno de los más asiduos concurrentes del “patito dorado”. Raro era el día en que el guapo capitán de policía no se presentara a hacer una consulta al calculista. Hoy, al regresar de la mezquita, encontré a Muarique en animada conversación Beremís. Se trataba de la resolución de un nuevo problema, que parecía muy complicado, pues vi al talentoso matemático, indeciso, analizando figuras y aplicando fórmulas sin llegar a un resultado satisfactorio. Al final se retiró el turco con los guardias que lo acompañaban. Sólo entonces pude oír la explicación, de labios de Beremís, de aquel raro interés del turco por la ciencia. Me contó el calculista lo siguiente: -- Hassan Muarique, capitán de la guardia, resolvió casarse con una joven llamada Zaira, hija del mercader Abul Lahabe, de Basora. No quería, sin embargo, arriesgarse a pedir a la jovencita en casamiento, sin asegurarse previamente de si ella era hermosa o estaba desprovista de encantos. Ya había recurrido a todos los artificios imaginables para descubrir el rostro de Zaira, pero sin resultado. No quiso, sin embargo, guiarse únicamente por las informaciones de las viejas “Catbeth”, ya que esas casamenteras exageran las virtudes de las novias para engañar a los pretendientes ingenuos. Ante ese inconveniente, Hassan me ha pedido lo auxiliase a resolver el problema. ¿Cómo deberá hacer para asegurarse, antes del casamiento, de la belleza de su esposa? Hallé original aquella consulta y le dije: -- La matemática dispone de recursos maravillosos. Con el auxilio de dicha ciencia puede el hombre calcular el peso de un camello, la altura de una torre o la belleza de una mujer. Y como el me mirase con ojos espantados, aclaré: “Sí, con auxilio de una relación geométrica, puede el matemático determinar si una joven es hermosa o fea, es decir, si sus formas son perfectas o no. Es enteramente innecesario, para el novio, ver el rostro de su futura esposa para prevenirse contra cualquier desilusión. Basta disponer de media docena de medidas y aplicar a ellas las “fórmulas matemáticas de la belleza”. -- Exigí – prosiguió Beremís – que Hassan obtuviese ciertas medidas del rostro de Zaira. Esas medidas, tomadas en el interior del “harem” por una “Catberh”, fueron entregadas al pretendiente. Disponiendo de los datos del problema, apliqué las fórmulas, calculé las relaciones, y llegué matemáticamente al siguiente resultado: “La joven Zaira hija del mercader Abul – Lahabe, es linda como la décima tercera Hurí del cielo de Alah”. -- Es increíble – observé – que pueda el Álgebra llegar a ese resultado. ¿Es posible saber en qué consiste esa fórmula matemática de belleza? -- Nada más fácil – replicó Beremís --. Puedo explicar esa relación curiosa de un modo elemental y simple. Dada cierta magnitud AB (representada en este caso por un segmento de recta), A ------------------------ B, podemos dividirla al medio, o en dos partes desiguales. La división en dos partes desiguales puede ser hecha, es claro, de una infinidad de maneras diferentes. Entre esas divisiones de AB en partes desiguales, ¿Habrá alguna preferible a las otras? -- Sí – contesta el matemático --. Existe una manera “simpática” de dividir un todo en dos partes desiguales. Veamos en qué consiste esta forma de división. Consideremos el segmento AB dividido en dos partes desiguales A _________ B ______ parte mayor ___ parte menor Admitamos que esas partes desiguales representen la siguiente relación : “El segmento total es a la parte mayor, como la parte mayor es a la parte menor.” La proporción es la siguiente: Segmento total parte mayor __________ = __________ Parte mayor parte menor Esa división corresponde a la forma simpática que pueden presentar las dos partes desiguales. Podemos formular la siguiente regla: “Para que un todo, dividido en dos partes desiguales parezca hermoso desde el punto de vista de la forma, debe presentar entre la parte menor y la mayor la misma relación que entre ésta y el todo.” Hasta hoy no se consiguió descubrir la razón de ser o “porqué” de esa belleza. Los matemáticos, que llevaran hasta muy lejos sus estudios y observaciones, exponen varios y curiosos ejemplos que constituyen elocuentes demostraciones para el principio de esa división, que los romanos llamaban “divina proporción” o “división áurea”. Podemos llamarla también división en media y extrema razón. Es fácil observar que el título puesto por el calígrafo en la primera página de una obra divide, en general, la medida total del libro en media y extrema razón. Se observa también la divina proporción en las partes en que las falanges dividen los dedos de la mano. La división en media y extrema razón se puede hallar también en la Música, en la Pintura, en la Escultura y en la Arquitectura. En la división áurea la relación entre el todo y la parte mayor, es igual, más o menos, a 809/500. En las líneas principales del rostro femenino “matemáticamente hermoso” resulta constante aquella relación. Obtenidas, pues, las medidas que me parecieron necesarias, apliqué la fórmula de la divina proporción a la joven Zaira, y verifiqué que su belleza se expresaba por el número 808/500, que difiere muy poco del valor que define la perfección. Mediante ese resultado pude afirmar al apasionado Hassan que su novia era encantadora. -- ¿Y no temes equivocarte, amigo? – Observé --. La belleza femenina resulta, a veces, de ciertos detalles que la matemática no puede apreciar. ¡Cuantas veces el encanto de la mujer resulta de la manera de sonreír, del tono de voz, de cierta delicadeza de espíritu y de mil otros pequeñísimos detalles que, en ocasiones, para los enamorados, son todos! Beremís no respondió. Bajo la cabeza y quedó en silencio, como si estuviese preocupado por nuevas y profundas meditaciones.
Sitios de interés sobre los números de Fibonacci: Fibonacci Numbers and the Golden Section - making math fun by looking at the Fibonacci numbers and why they occur everywhere. Pi and the Fibonacci Numbers Fibonacci Fibonacci Numbers and the Golden Section - making math fun by looking at the Fibonacci numbers and why they occur everywhere. Golden Section, The and Fibonacci Sequence Golden Section Ratio: Phi - the number and its geometry. http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/phi.html Pi and the Fibonacci Numbers Euclid, Fibonacci, and Sketchpad - article by Dan Litchfield and Dave Goldenheim, with support from Charles H. Dietrich, which appeared in the journal Mathematics Teacher. |
# Los primeros 100 números de la serie de Fibonacci: F(0) = 0 F(1) = 1 F(2) = 1 F(3) = 2 F(4) = 3 F(5) = 5 F(6) = 8 F(7) = 13 F(8) = 21 F(9) = 34 F(10) = 55 F(11) = 89 F(12) = 144 F(13) = 233 F(14) = 377 F(15) = 610 F(16) = 987 F(17) = 1597 F(18) = 2584 F(19) = 4181 F(20) = 6765 F(21) = 10946 F(22) = 17711 F(23) = 28657 F(24) = 46368 F(25) = 75025 F(26) = 121393 F(27) = 196418 F(28) = 317811 F(29) = 514229 F(30) = 832040 F(31) = 1346269 F(32) = 2178309 F(33) = 3524578 F(34) = 5702887 F(35) = 9227465 F(36) = 14930352 F(37) = 24157817 F(38) = 39088169 F(39) = 63245986 F(40) = 102334155 F(41) = 165580141 F(42) = 267914296 F(43) = 433494437 F(44) = 701408733 F(45) = 1134903170 F(46) = 1836311903 F(47) = 2971215073 F(48) = 4807526976 F(49) = 7778742049 F(50) = 12586269025 F(51) = 20365011074 F(52) = 32951280099 F(53) = 53316291173 F(54) = 86267571272 F(55) = 139583862445 F(56) = 225851433717 F(57) = 365435296162 F(58) = 591286729879 F(59) = 956722026041 F(60) = 1548008755920 F(61) = 2504730781961 F(62) = 4052739537881 F(63) = 6557470319842 F(64) = 10610209857723 F(65) = 17167680177565 F(66) = 27777890035288 F(67) = 44945570212853 F(68) = 72723460248141 F(69) = 117669030460994 F(70) = 190392490709135 F(71) = 308061521170129 F(72) = 498454011879264 F(73) = 806515533049393 F(74) = 1304969544928657 F(75) = 2111485077978050 F(76) = 3416454622906707 F(77) = 5527939700884757 F(78) = 8944394323791464 F(79) = 14472334024676221 F(80) = 23416728348467685 F(81) = 37889062373143906 F(82) = 61305790721611591 F(83) = 99194853094755497 F(84) = 160500643816367088 F(85) = 259695496911122585 F(86) = 420196140727489673 F(87) = 679891637638612258 F(88) = 1100087778366101931 F(89) = 1779979416004714189 F(90) = 2880067194370816120 F(91) = 4660046610375530309 F(92) = 7540113804746346429 F(93) = 12200160415121876738 F(94) = 19740274219868223167 F(95) = 31940434634990099905 F(96) = 51680708854858323072 F(97) = 83621143489848422977 F(98) = 135301852344706746049 # F(99) = 218922995834555169026
#