Paradoxos

Paradoxo de Zeno	O corvo de Hempel	Em toda regra h� uma exce��o	O paradoxo do hotel	O gato de Schr�dinger	Frases Paradoxais
A viagem no tempo	Felicidade eterna

Paradoxo, em l�gica e matem�tica, � uma conclus�o aparentemente contradit�ria que � derivada do que parece ser uma proposi��o v�lida. Significa alguma coisa absurda ou que contradiz a si pr�pria: uma declara��o, proposi��o, ou situa��o que parece ser contradit�ria, mas que de fato �, ou pode ser verdadeira.
Muitos paradoxos mostram serem baseados em falsas premissas, argumentos, ou em pressuposi��es incompletas. Outros, no entanto, tem sido mais dif�ceis de resolver, e seu estudo tem contribu�do para o desenvolvimento da matem�tica moderna. Paradoxos s�o conhecidos desde o tempo do fil�sofo grego Zeno de Elea que viveu no s�culo 5.

O Paradoxo de Zeno

Zeno of Elea foi um fil�sofo grego (c. 500 B.C.) cujo nome foi associado com paradoxos do infinito, sendo o mais simples deles o que envolveu a f�bula do her�i da guerra de Tr�ia:

Se Aquiles desloca-se de um ponto A para um ponto B ele deve primeiro viajar a metade da dist�ncia, ent�o a metade novamente, e assim por diante. Supondo-se que a dist�ncia de A para B � 1, a dist�ncia que Aquiles deve percorrer � a s�rie 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128...

Sabendo-se que h� uma infinidade de termos nessa s�rie, Aquiles jamais chegar� ao seu destino!

(The Zeno critical fluid experiment requires such a stepwise approach to a point in thermodynamic space so that the sample gets closer and closer to the critical temperature T subscript C without ever reaching it or going below it)

O corvo de Hempel

Suponha que um ornitologista deseja determinar se todos os corvos s�o ou n�o s�o negros. A primeira coisa mais razo�vel para ele fazer � sair por a� e olhar para corvos. Se ele encontrar pelo menos um que n�o seja negro, provar� que nem todos os corvos s�o negros. Se, por outro lado, ele v� milhares de corvos e cada um deles � preto, ent�o refor�a a proposi��o de que todos eles s�o de fato negros. Se nenhuma quantidade de observa��es pode conclusivamente provar a hip�tese, cada novo corvo preto encontrado prov� evid�ncia adicional para isso.

Mas agora suponha que nosso ornitologista, depois de observar milhares de corvos, tone-se cansado de olhar para eles, e decida tentar um m�todo diferente:

A declara��o "todos os corvos s�o negros" � logicamente equivalente � declara��o "todos os objetos n�o-negros s�o n�o-corvos". Quando voc� v� um c�u azul, um submarino amarelo, ou qualquer outro n�o-preto n�o-corvo, ap�ia a proposi��o que todos os objetos n�o-negros s�o n�o-corvos. Mas nesse caso, isso tamb�m ap�ia a proposi��o que todos os corvos s�o negros. Portanto, o que tem de ser feito � olhar ao redor em objetos ordin�rios para adquirir evid�ncia que todos os corvos s�o negros! N�o � necess�rio sair por a� pelas matas � procura de corvos, desde que cada n�o-preto n�o-corvo � tamb�m evid�ncia para tal hip�tese. Este � o paradoxo conhecido como "o corvo de Hempel", denominado depois de Carl Hempel, que o descobriu em 1946.

Mas como vendo um polegar verde ou uma pantera cor-de-rosa pode-se refor�ar a evid�ncia de que todos os corvos s�o negros? Talvez a resposta seja que isso refor�a a evid�ncia, mas somente por uma pequena quantidade. Desde que h� muito mais n�o-negros n�o-corvos no universo do que corvos negros, n�o � uma boa id�ia tentar confirmar a hip�tese de que todos os corvos s�o negros investigando coisas n�o-pretas. Em princ�pio, no entanto, isto pode ser feito. A evid�ncia que cada n�o-preto n�o-corvo adiciona � proposi��o pode ser infinitesimal mas, n�o obstante, � real.

Infelizmente nossas dificuldades n�o param a�. O que o nosso ornitologista n�o notou � que um submarino amarelo n�o � meramente um exemplo de um n�o-preto n�o-corvo. � tamb�m um exemplo de (entre outras coisas) um n�o-branco n�o-corvo. Assim, um submarino amarelo prov� evid�ncia n�o somente para a proposi��o "todos os corvos s�o negros", mas tamb�m para a proposi��o "todos os corvos s�o brancos". Mas como pode ser poss�vel para um fato suportar duas reivindica��es contradit�rias?

Em toda regra h� uma exce��o

Este n�o � realmente um paradoxo mas � inclu�do como ponto inerente da inconsist�ncia de uma declara��o. Suponha que uma declara��o � verdadeira, ent�o:

1. Toda regra tem uma exce��o.

2. Declara��o 1 � a regra.

3. Ent�o Declara��o 1 tem uma exce��o.

4. Ent�o toda regra n�o tem uma exce��o!

(While the inconsistency of the phrase "every rule has an exception" may not appear to be of importance it does in fact serve to illustrate the problems that can arise when a statement makes reference to itself. A further, and more disturbing from the mathematical point of view, example of this kind of difficulty is given in the paradox which claims to prove that every number can be described in twelve words or less)

O paradoxo do hotel - Hilbert's hotel paradox

Imagine um hotel com um finito n�mero de su�tes, e assumindo que todas est�o ocupadas. Um novo h�spede chega e pergunta por um quarto. "Perd�o" - diz o gerente "mas todos est�o ocupados."
Agora imaginemos um hotel com infinito n�mero de quartos, e que todos est�o ocupados. Para este hotel, tamb�m, chega um novo h�spede e pede um quarto. "Mas � claro!" - exclama o propriet�rio, e move a pessoa que previamente ocupava o quarto N1 para o quarto N2, a pessoa do quarto N2 para o N3, a pessoa do N3 para o quarto N4, e assim por diante... E o novo h�spede recebe o quarto N1, o qual torna-se desocupado devido ao resultado dessas transposi��es.

Imaginemos agora um hotel com um infinito n�mero de quartos, todos ocupados, e um infinito n�mero de novos h�spedes chegando e pedindo pousada.

"Certamente cavalheiros," diz o propriet�rio, "Esperem s� um minuto." Ele move o ocupante do N1 para o N2, o ocupante do N2 para o N4, o ocupante do N3 para o N6, e assim por diante...

Agora todos os quartos de n�mero �mpar tornam-se desocupados e a infinidade de novos h�spedes podem facilmente serem acomodados neles.

Gamow, p. 17

http://www.wordsmith.demon.co.uk/index.htm

O gato de Schr�dinger

No mundo da mec�nica qu�ntica, as leis de f�sica que s�o familiares para o dia-a-dia do mundo n�o funcionam. Ao contr�rio, eventos s�o governados por probabilidades. Um �tomo radioativo, por exemplo, pode decair, emitindo um eletron, ou n�o pode. � poss�vel realizar uma experi�ncia de forma que haja uma precisa chance de cinquenta-cinquenta de que um dos �tomos, num amontoado de material radioativo, decaia em um certo tempo e que o detetor registre o decay se ele acontecer. Schr�dinger, (as upset as Einstein about the implications of quantum theory), tentou mostrar a absurdidade de tais implica��es imaginando um experimento realizado numa sala fechada, ou numa caixa, a qual conteria um gato vivo e uma por��o de veneno, arranjado de tal forma que se o decay radioativo ocorresse ent�o a c�psula de veneno quebraria e o gato morria. No mundo real do dia-a-dia, h� uma chance de cinquenta-cinquenta de que o gato ser� morto, e sem olhar dentro da caixa podemos dizer, r�pidamente, que o gato est� ou morto ou vivo. Mas agora encontramos a estranheza do mundo qu�ntico.

Arnold's cat map is a simple discrete system that stretches and ``folds'' the trajectories in phase space, which is another typical feature of chaotic processes. The phase space for this simple system can be represented by a square, and the stretching and folding process is more apparent if we placed a picture of a cat in the square. One can then see the time evolution of the system by observing how the cat gets stretched, cut up, and then placed back into the square. From the figure below, we observe that typically, any two points that are initially very close together quickly become separated from each other after repeated applications of the map. The above handiwork is courtesy of "I really have nothing against cats" Poon (http://www-chaos.umd.edu/cooldudes/poon.htmlLeon) De acordo com a teoria, nenhuma das duas possibilidades abrem para o material radioativo, e portanto para o gato, n�o existe nenhuma realidade a n�o ser aquela que � observada. O decay at�mico n�o tem nem acontecido nem n�o acontecido, o gato nem est� nem morto nem vivo, at� que olhemos dentro da caixa. Teoristas que aceitam a pura vers�o da mec�nica qu�ntica dizem que o gato existe em algum estado indeterminado, nem morto nem vivo, at� que um observador olhe dentro da caixa para ver como as coisas est�o. Nada � real a menos que seja observado. Gribbin, pp. 2-3

A viagem no tempo

Imagine um sujeito que viaja ao passado e acidentalmente mata o seu pr�prio pai antes dele ter sido concebido. Assim sendo, ele jamais nascer� e se tornar� adulto. Ele n�o existir� para poder voltar ao passado e altera-lo! Desse modo n�o poder� alterar a hist�ria e n�o matar� o pr�prio pai, sendo portanto concebido normalmente.

Mas como a maioria dos cientistas s�o c�ticos, um deles sugeriu que existiriam uma s�rie de mundos paralelos, parecidos com o nosso mas ligeiramente diferentes no que se refere a cronologia. Num deles, por exemplo, os americanos perderam a II Guerra Mundial, noutro os dinossauros n�o foram extintos, etc. Este conceito bastante interessante (utilizado na s�rie �Sliders�) possibilitaria que a pessoa viajasse no tempo, pois, se ela alterasse qualquer coisa, seria numa dimens�o em que isso fosse poss�vel; o problema � que ela estaria permanentemente presa �quela dimens�o, a n�o ser que ela tentasse a sorte viajando novamente e rezando para voltar para a sua pr�pria casa.

Sobre o modo que seria feita a viagem, existem algumas teorias, todas elas baseadas na Teoria da Relatividade de Albert Einstein. Esta, em s�ntese, diz que o tempo n�o seria constante e imut�vel mas sim que dependeria do ponto de vista do observador, o qual poderia ser alterado de acordo com sua velocidade e campo gravitacional. Uma das teorias sobre a m�quina do tempo diz que se ela fosse um pouco mais lenta do que a velocidade da luz ela iria para o futuro; se fosse um pouco mais r�pida, iria para o passado. Tamb�m campos gravitacionais extremamente fortes, como o de um buraco negro ou uma fenda espacial talvez pudessem criar uma passagem para um outro tempo.

Embora por enquanto as viagens no tempo sejam apenas te�ricas, como se pode ver no texto acima elas possuem muitas inc�gnitas. Esperamos que, caso venhamos a utiliza-las no futuro, seja de uma forma t�o sabia quanto a tecnologia que tenhamos ent�o.

Adapta��o do texto do Capit�o Filipe Serra - oficial de ci�ncias da Esta��o Espacial Brasil
http://estacaoespacialbrasil.hpg.com.br/viagem.htm

Felicidade ou um hamburger?

Qual � o melhor, felicidade eterna ou um hamburger? Poderia parecer que a felicidade eterna � melhor, mas n�o � nem tanto! Na verdade nada � melhor que a felicidade eterna e um hamburger � certamente melhor que nada. Portanto, um hamburger � melhor que a felicidade eterna.

Frases Paradoxais:

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