Paradoxos em matemática

Entre os anos 1871-1884 Georg Cantor inventou a teoria dos sets infinitos. Nesse processo, Cantor construiu um set que é auto-similar a todas as escalas. Ampliando uma porção desse set revela uma peça que se parece com o set inteiro.

Para construir esse set, pegue uma linha e remova a terça parte. Restam dois segmentos de linhas. Pegue os segmentos restantes e remova suas terças partes. Repita o processo um infinito número de vezes. A coleção de pontos resultante é chamado "set de Cantor" ("Cantor" set).

O set de Cantor é um objeto incomum. O processo de divisão produz um infinito set de pontos. Por outro lado, os pontos são mais numerosos---mais "infinitos"---do que os inteiros, já que não podemos contá-los. Por outro lado, o set de Cantor não é um continuum de pontos como a linha inteira original. O set de Cantor é alguma coisa entre eles. Os pontos no set de Cantor são muito juntos. Ache qualquer ponto e você poderá encontrar outro ponto que é arbitrariamente perto deste.

No tempo em que Cantor descobriu esses "patológicos" sets--- para repetir a frase usada na época---it was widely believed that they were the purest form of mathematical invention. Nunca eles tinham sido vistos no mundo natural.

Hoje, nós sabemos que muitos, muitos processos naturais produzem tais objetos similares. Os sets de Cantor e uma grande gama de estruturas similares são agora chamadas de "fractais".

http://www.exploratorium.edu/turbulent/CompLexicon/settheory.html

Qual infinito é maior?

Observação: Há infinitamente muitos NÚMEROS CONTÁVEIS e infinitamente muitas FRAÇÕES.

Questão: Qual infinito é maior?

Resposta: Ainda apesar de haver infinitamente muitas frações entre cada par de números contáveis consecutivos, as setas no diagrama ao lado mostram como combinar os números contáveis (em vermelho) com as frações (em azul).

Portanto os infinitos são do mesmo tamanho.

Há tantos números contáveis quanto frações!

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