O desenvolvimento da Lógica Matemática - Cantor
Uma das metas dos matemáticos no final do século XIX foi a de obter um rigor conceitual das noções do cálculo infinitesimal (limite, continuidade, infinito matemático, etc.). Tal programa foi chamado de "aritmetização da análise", isto é, a busca da redução dos conceitos fundamentais da análise (a matemática que tem como base a teoria dos número reais) aos conceitos da aritmética (a matemática que tem como base a teoria dos número inteiros positivos, isto é, dos números naturais e por extensão dos números racionais).
Por exemplo, ao invés de se tomar o número imaginário como uma entidade um tanto misteriosa, pode-se definí-lo como um par ordenado de números inteiros (0,1), sobre o qual se realizam certas operações de "adição" e "multiplicação". Analogamente, o número irracional se definia numa certa classe de números irracionais, cujo quadrado é menor do que 2. Dado que a Geometria podia ser reduzida à Análise (Geometria Analítica), a Aritmética vinha a se configurar como a base natural de todo o edifício matemático. O ponto culminante deste processo foram os axiomas de Peano (1899), que fundamentaram toda a Aritmética elementar posterior.
Ao mesmo tempo, matemáticos como Frege, Cantor e Russell, não convencidos da "naturalidade" da base constituída pela aritmética, procuravam conduzir a própria aritmética a uma base mais profunda, reduzindo o conceito de número natural ao conceito lógico de classe, ou para recorrer a Cantor, definir número em termos de conjunto, de modo que a lógica das classes apresentava-se como a teoria mais adequada para a investigação sobre os fundamentos da matemática. O esforço dos matemáticos foi o de dar à álgebra uma estrutura lógica, procurando-se caracterizar a matemática não tanto pelo seu conteúdo quanto pela sua forma.
Bochenski , falando da história da Lógica Matemática, diz que a partir de 1904, com Hilbert, inicia-se um novo período dessa ciência então emergente, que se caracteriza pela aparição da Metalógica (Hilbert, Löwenheim e Scholem) e, a partir de 1930, por uma sistematização formalista desta mesma Metalógica. Iniciaram-se discussões sobre o valor e os limites da axiomatização, o nexo entre Lógica e Matemática, o problema da verdade (Hilbert, Gödel, Tarski).
A Metalógica, em sua vertente sintática ocupa-se das propriedades externas dos cálculos, como por exemplo a consistência, a completude, a decidibilidade dos sistemas axiomáticos e a independência dos axiomas. Hilbert, Gödel e Church são autores neste campo. Em sua parte semântica, a Metalógica dirige-se ao significado dos símbolos, dos cálculos com relação a um determinado mundo de objetos. Tarski, Carnap e Quino, entre outros se interessaram por estas questões.
Apareceram também novos sistemas lógicos: as lógicas naturais, de Gentzen e Jaskowski, lógica polivalente de Post e Lukasiewicz, e a lógica intuicionista de Heytings.
Complementando essas idéias
cabe destacar alguns sistemas originais de outros matemáticos como Schönfinkel
(1924), Curry (1930), Kleene (1934), Rosser (1935) e o já citado Alonzo
Church (1941). Deve-se lembrar que quase todos estes últimos, junto com o
logiscista inglês Alan M. Turing, acabaram por definir, antes mesmo de
existir o computador propriamente, a natureza da computação, e as implicações
e limites do pensamento humano através de uma máquina.
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