Teorema da Gödel -Kurt Gödel
Em
1931, o matemático Kurt Gödel (1906-1978) publicou alguns resultados de
suas pesquisas, que mudaram o rumo dos estudos da Ciência Matemática e
atingiram profundamente o formalismo. Entre eles está o famoso Teorema de
Gödel sobre as proposições indecidíveis, que diz o seguinte:
A. Se S é um sistema formal suficientemente forte para conter a aritmética elementar, então S é incompleto ou inconsistente;
B. A eventual consistência de um tal sistema formal não pode ser provada apenas com recursos daquele mesmo sistema.
Kurt Gödel demonstrou que não é possível construir uma teoria axiomática dos números que seja completa, como pretendia Hilbert.
A primeira parte do teorema citado significa que existem proposições aritméticas tais que nem elas nem sua negação são demonstráveis na aritmética adotada. São proposições indecidíveis. Logo, em qualquer axiomática consistente baseada em aritmética existem sentenças indecidíveis. Como uma proposição e sua negação são contraditórias - admitindo-se o princípio do terceiro excluído -, então uma delas é verdadeira. Portanto existem sentenças aritméticas verdadeiras, formuláveis em uma determinada axiomática baseada em aritmética, que não podem ser provadas. A segunda parte do teorema diz que a prova de ausência de contradição em uma axiomática da aritmética não pode ser realizada apenas com os recursos dessa axiomática.
Para o desenvolvimento de seus estudos Gödel concebeu uma interessante formulação de símbolos, fórmulas e provas através de números, bem como mostrou que as proposições metamatemáticas - aliás sem isso não poderia ter realizado sua prova - podem estar adequadamente refletidas dentro do próprio cálculo, aritmetizando assim a própria metamatemática. No anexo IV há um pequeno resumo sobre a prova de Gödel.
Gödel acabou com o sonho logicista, visto que não se pode desenvolver toda a aritmética (e muito menos toda a matemática) num sistema que seja ao mesmo tempo consistente e completo. Também acabou com o sonho formalista: existem enunciados matemáticos que são verdadeiros, mas não são suscetíveis de prova, isto é, existe um abismo entre verdade e demonstração
Gödel, no entanto, ao longo da demonstração do seu teorema rompeu um limiar crucial entre a lógica e a matemática. Ele mostrou que qualquer sistema formal que seja tão rico quanto um sistema numérico qualquer, que contenha os operadores "+" e "=", pode ser expresso em termos aritméticos . Isto significa que por mais complexa que se torne a matemática (ou qualquer outro sistema formal redutível a ela), ela pode sempre ser expressa em termos de operações a serem executadas sobre números, e as partes do sistema poderão ser manipuladas por regras de contagem e comparação. Outro resultado fundamental do teorema da incompletude de Gödel pode-se considerar como sendo a demonstração de que há algumas funções sobre os inteiros que não podem ser representadas por um algoritmo, ou seja, que não podem ser computadas. Posteriormente verificou-se a existência de uma equivalência entre o Teorema da Incompletude de Gödel e o problema da parada de Turing.
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