Lógica - Gottob Frege
Frege
(1848-1925) e Peano (1858-1932) trabalharam para fornecer bases mais
sólidas à álgebra e generalizar o raciocínio matemático.
Gottlob Frege ocupa um lugar de destaque dentro da Lógica. Embora não tão conhecido em seu tempo e bastante incompreendido, deve-se ressaltar que ainda hoje torna-se difícil descrever a quantidade de conceitos e inovações, muitas revolucionárias, que elaborou de forma exemplar pela sua sistematização e clareza. Muitos autores comparam seu Begriffsschrift aos Primeiros Analíticos de Aristóteles, pelos pontos de vista totalmente geniais.
Frege foi o primeiro a formular com precisão a diferença entre variável e constante, assim como o conceito de função lógica, a idéia de uma função de vários argumentos, o conceito de quantificador. A ele se deve uma conceituação muito mais exata da teoria aristotélica sobre sistema axiomático, assim como uma clara distinção entre lei e regra, linguagem e metalinguagem. Ele é autor da teoria da descrição e quem elaborou sistematicamente o conceito de valor. Mas isto não é tudo, pois todas estas coisas são apenas produtos de um empreendimento muito maior e fundamental, que o inspirou desde suas primeiras pesquisas: uma investigação das características daquilo que o homem diz quando transmite informação por meio de juízos.
Na verdade o que Frege chamou de Lógica - assim como seus contemporâneos Russell e Wittgenstein - não é o que hoje é chamado Lógica, fruto do formalismo e da teoria dos conjuntos que acabaram por predominar entre os matemáticos, mas sim nossa semântica, uma disciplina sobre o conteúdo, natureza desse conteúdo e estrutura. Frege gastou considerável esforço na separação de suas concepções lógicas daquelas concepções dos 'lógicos computacionais' como Boole, Jevons e Schröeder. Estes estavam, como já foi dito, empenhados no desenvolvimento de um cálculo do raciocínio como Leibniz propusera, mas Frege queria algo mais ambicioso: projetar uma lingua characteristica. Dizia ele que uma das tarefas da filosofia era romper o domínio da palavra sobre o espírito humano. O uso de um sistema simbólico, que até então somente se pensava para a matemática, procurou-o usar Frege também para a filosofia: um simbolismo que retratasse o que se pode dizer sobre as coisas. Ele buscava algo que não somente descrevesse ou fosse referido a coisas pensadas, mas o próprio pensar.
Os lógicos tradicionais estavam basicamente interessados na solução de problemas tradicionais de lógica, como por exemplo a validade. O objetivo de Frege foi mais além: entrou no campo da semântica, do conteúdo, do significado, onde encontrou o fundamento último da inferência, da validade, etc. Frege acabou derivando para uma filosofia da lógica e da matemática e influenciou diretamente a Russell, David Hilbert, Alonzo Church e Carnap. Destes, Hilbert e Church têm um papel decisivo na História conceitual da Ciência da Computação.
Frege desejava provar que não somente o raciocínio usado na matemática, mas também os princípios subjacentes - ou seja, toda a matemática - são pura lógica. Porém ele expressou suas buscas e resultados - pelos quais acabou sendo considerado um dos pais da Lógica moderna, de uma forma excessivamente filosófica, em uma notação matemática não convencional. O mérito maior de Frege foi elaborar uma concepção lógica mais abrangente do que a Lógica de Aristóteles. Em um procedimento que lembra a "characteristica universalis", Frege construiu um sistema especial de símbolos para desenvolver a lógica de maneira exata e foi muito além das proposições e dos argumentos. Em sua grandes obras, Begriffsschrift (Ideografia ou Conceitografia) e Grundgesitze (Leis Fundamentais da Aritmética, Ideograficamente Deduzidas), está contida de modo explícito e plenamente caracterizado uma série de conceitos - conectivos, função, função proposicional, quantificadores, etc. - que seriam vitais para a Lógica Matemática a partir de então
Foi através do contato com a obra de Frege que Bertrand Russell procurou levar avante a idéia de construir toda a matemática sobre bases lógicas, convencido de que ambas são idênticas. Os postulados fregianos, adotados primeiramente por Peano, foram incorporados por Russell, que extendeu as teses logicistas de Frege à Geometria e às disciplinas matemáticas em geral.
Peano tinha objetivo semelhante a Frege, mas mais
realista. Ele desenvolveu uma notação formal para raciocínio matemático que
procurasse conter não só a lógica matemática mas todos os ramos mais
importantes dela. O simbolismo de Peano e seus axiomas - dos quais dependem
tantas construções rigorosas na álgebra e análise - "representam a mais
notável tentativa do século de reduzir a aritmética comum, e portanto a maior
parte da matemática, a um puro simbolismo formal. Aqui o método postulacional
atingiu novo nível de precisão, sem ambigüidade de sentido, sem hipóteses
ocultas"
Já Hilbert procurou colocar em prática a teoria da demonstração de Frege, e pode-se ver nessas palavras de Frege as idéias implementadas posteriormente no programa hilbertiano: "a inferência procede pois, em meu sistema de escrita conceitual (Begriffsschrift), seguindo uma espécie de cálculo. Não me refiro a este em sentido estrito, como se fosse um algoritmo que nele predominasse, (...), mas no sentido de que existe um algoritmo total, quer dizer, um conjunto de regras que resolvem a passagem de uma proposição ou de duas, a outra nova, de tal forma que nada se dá que não esteja de acordo com estas regras. Minha meta é pois uma ininterrupta exigência de precisão no processo de demonstração, e a máxima exatidão lógica, ao mesmo tempo que clareza e brevidade"
Pode-se notar a partir desse momento uma guinada no conceito de Lógica: o objeto da investigação lógica já não são mais as próprias fórmulas, mas as regras de operação pelas quais se formam e se deduzem.
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