Cseh Ágnes Gabriella
EJF Gyakorló Általános Iskola Baja

Szöveges feladatok megoldó képességének vizsgálata geometriai és aritmetikai tartalmakon
Az eltérő szimbólumok hatása a teljesítményekben

A képességmérés célja az volt, hogy választ kapjunk arra a kérdésre, hogy a tanulók teljesítménye- az adott mintát tekintve - szignifikáns különbséget mutat-e a két területen megfogalmazott szöveges feladat megoldása során. A szimbólumok különbözősége befolyásolja-e a sikeres feladatmegoldást? Egy gyakorló pedagógus munkáját hogyan segítheti az objektív értékelési eljárások ismerete, és hogyan tervezheti meg tudatosan a fejlesztendő képességek működtetéséhez a feladatokat?

	A matematikai gondolkodás tetten érése bonyolult folyamatok elemzését kívánja meg. A matematikatanítás reformjai során komoly előre haladást jelentett a formális gondolkodást meghaladó, a számolási készségek fejlesztésén túl mutató a matematikai megértés alapján működő tantervi háttér kibontakozása, de a problémamegoldási feladatok helyes stratégiáinak kidolgozásához szükséges tudás kialakítása még várat magára. 
	Milyen tényezők befolyásolják a tanulók kognitív folyamatait abban, hogy sikeresek legyenek a matematikai szöveges feladatok helyes megoldásában? A megoldás során milyen funkciók működése nélkülözhetetlen ahhoz, hogy a helyes út megválasztása megtörténjék és a kivitelezésen túl, milyen részképességek szükségesek a helyes döntések meghozatalához? A matematikai tartalmak hogyan befolyásolják a sikerességet? 
	A problémamegoldó gondolkodás, mint képesség hogyan fejlődik a felső tagozatos gyerekeknél? Mennyire kapcsolódik össze a geometriai és aritmetikai háló a szöveges feladatok megoldása során? Milyen módszerek adhatnak támaszt a tanítási órákon, hogy figyelembe véve az eltérő képességeket mégis optimálisan fejleszthessük azt az alapképességet, amely a matematikában a megértést, a sikeres szöveges feladat megoldást elősegítik? A válaszok megkeresése nem egyszerű, de izgalmas feladat.

Az egyszerű, egy vagy több alapművelettel megoldható szöveges feladatok nemzetközi kitekintésben

	Egy történeti áttekintés alapján rendezzük azokat a kutatási eredményeket, amelyek a jelen helyzetben magyarázó erővel bírnak arra vonatkozóan, hogy a saját vizsgálati eredmény milyen új elemeket tartalmaz, és hogyan épít a korább már bizonyított elképzelésekre.
	Az első fontos kutatási terület az információfeldolgozás paradigmájából indult ki és Kintsch és Greeno (1985) nevéhez fűződik. Az általuk összeállított feladatok köre a számítógépes modellezés miatt egyetlen alapművelettel megoldható feladatokból álltak. A három feladattípus közül a harmadik fordított szövegezésű volt. A modell egyik jellegzetessége a szekvenciális lépéssorozatra épülő megoldás, a másik a rövidtávú memória korlátjainak figyelembevétele. A modell gyenge pontja, hogy a megoldás a tartalom-függetlenségre épül, pedig a pszichológiai kutatások által bizonyított tény az, hogy nem mindegy, milyen tartalmú a feladat.
	A további kutatások során kiderült, hogy a szöveges feladatok megoldásai nehézséget okoznak a rutin, számolós feladatokhoz képest. A kutatók, Mayer és Hegarty (1998) feltételezése szerint a probléma megértése és a matematika nyelvére való lefordítása okoz gondot a szöveges feladat megoldásánál. A problémamegoldás folyamatában két fő szakaszt különböztettek meg. A probléma reprezentációját, a probléma feltérképezésével, megértésével, matematikai műveletekre való fordításával, egy lehetséges megoldási terv készítésével, a kivitelezést pedig a kitűzött aritmetikai, algebrai műveletek elvégzésével azonosították.
A matematikai feladatok oldaláról is megközelíthetjük a megoldási lehetőségek sokaságát.   A szöveges feladatok tipizálása, adott problémakörbe gyűjtése maga után vonja a tudás sémákhoz kötődését, amelyben visszatükröződnek a releváns fogalmak, szabályok, műveletek (Anderson és Thomson,1989; Ross és Kennedy, 1990; Greeno, 1991; Novick és Holyoak,1991: idézi Kontra, 2001). Kontra József cikkében említi, hogy „Hinsley és munkatársai úgy találták, hogy egy probléma „becsaphat” egy tanulót, ha a tartalma egy bizonyos sémára utal, de valójában különböző típusú.”(Kontra,2001.1.sz.12.o.) Óvatosan kategorizáljuk a feladatokat, mert a felszínes osztályozás következménye egy téves problémamegoldás. A mély struktúrák megtalálásához a séma alapú gondolkodás szükséges, de nem elegendő, mert a probléma a feladatok sokféleségében rejlik, de feloldható, ha több, különböző sémával rendelkezünk. A sémák fejlesztése pedig nem célspecifikus problémák megoldása közben, illetve az explicit kérdés nélküli problémák segítségével történhet (Doblaev, 1957; Brugman, 1995: idézi Kontra, 2001)
	Végül de Corte és Verschaffel (1994) kutató munkája alapján, a „realisztikus „matematikai feladatok jelzik a vizsgálódások irányát. Az lett a kutatási terület központi kérdése, hogy a tanulók a valós világból szerzett ismereteiket hogyan tudják felhasználni a feladat megoldása során. A probléma ott jelentkezett, amikor a valós világgal kapcsolatos információk figyelembe vevése a megoldás kimenetelét bizonytalanná tette, sőt a tapasztalatok azt mutatták, hogy a diákok között a matematikai szöveges feladatok megoldása közben erős az a tendencia, amely a valós világgal kapcsolatos ismereteiket figyelmen kívül hagyja.
	Ha végig gondoljuk, hogy a két évtized kutatási eredményei alapján milyen új felfedezések láttak napvilágot, akkor azt is érzékeljük, hogy ezen a területen további előre lépések történhetnek, hiszen egy egységes feladatmegoldási modell megalkotásához még vannak fehér foltok. 

A hazai kutatás tendenciái és kapcsolódása a nemzetközi vizsgálatokhoz

	A matematika tudománya bármennyire elméleti és az absztrakt világ belső törvényszerűségeinek leírására szolgál, mégis itt van velünk a hétköznapokban. A gondolkodási képesség mögött rejtőző tartalmak jól megragadhatók a matematika nyelvén. Az ez irányú újító mozgalmakra épülő kutatások a változtatás igényével születtek, amelyek különösen felerősítették a problémamegoldó gondolkodás jelentőségét, mert a bonyolult összefüggések, struktúrák rendezése és a változáshoz való alkalmazkodás egy komplex, sok tényezőt figyelembe vevő rendszer működését feltételezi. A pszichológia területéről jövő magyarázatok a matematikusok lépéseit is felgyorsították, nem csak a taníthatóság, hanem a fejlesztést illetően is.
	Egy legjelentősebb hazai képviselője a problémamegoldásnak Pólya György, a matematika felől közelítette meg az értelemnek, a megismerésnek a folyamatait és a pszichológia eszközeivel kereste a tanulás sikerének kulcsát, amely elvezet a matematikai megértés felé. „A gondolkodás iskolája” címen közismert könyvében a matematika olyan eszköz a gondolkodás fejlesztésében, ami lehetőséget nyújt egy magas szintű képesség kialakítására. A problémamegoldó módszer inkább szemléletmódot tükröz.
	A reform mozgalmak további inspirálója volt Piaget kognitívfejlődés-elmélete, amelyet Dienes Zoltán alkalmazott a matematika tanítás területén. Az „Építsük fel a matematikát” című könyvében a matematikai struktúrák kiépítésének fontosságát hangsúlyozta.
	Erre az időszakra tehető Magyarországon Varga Tamás „komplex matematikatanítási módszere”, amely a gondolkodó ember fejlesztését tűzte ki célul. Az elképzelései nem lettek általánosak a magyar oktatás gyakorlatában (Klein, 2005).
	A kognitív forradalom előzményeként kell beszélni, annak a kutató munkának a termékeny hatásáról, amely a szegedi egyetemen tanító Nagy József nevéhez kötődik és a jelenben is egyre nagyobb szellemi tőkével a nemzetközi eredményekbe is bekapcsolódva működik. A hatvanas években már a képesség- és készségfejlesztésre koncentráló tesztkészítő munkálatok folytak. A nemzetközi tesztelméletektől eltérő alapokra épültek. Néhányat kiemelek közülük.
•	A legfontosabb a tananyag strukturális elemzése.
•		A totalitás elvének kidolgozása és alkalmazása.
•	Az elsajátítás fejlődési folyamatnak tekintendő.
•	A tevékenység a mérni kívánt tartalmakkal adekvát legyen.
Nagy József  (1985) a  problémamegoldást pedagógiai szempontból is elemezte, és egy dolog egyre mélyebb megismerésének szintjeit formai, viselkedési, szerkezeti és működési szintként értelmezte.
A hazai kutatásban is előtérbe került a problémacsoportok megalkotásának törekvése, amely sikeres megoldási stratégiához vezethet. Bíró (1979) hat csoportba sorolással osztályozta a szöveges feladatokat, majd egy másik felosztás - Gyetván és Varga (1992) szerint - nagyon hasonlóan alakult, de a kétféle tagolás mégis bizonytalan volt. A megértéshez szükség van a szemantikai jelek helyes relációinak strukturális feltárására, tehát sokféle megoldási stratégia alkalmazására (pl. algebrai és grafikus megoldások)(Hajnal, Nemetz, Pintér és Urbán,1982; Czapáry, 1986;Fülekiné,1996 idézi: Kontra,2001). A sémák összekapcsolása egy integráltabb gondolkodás által a megértést segítik elő.
	Az alapképességek fejlődésének vizsgálatai nem álltak meg. Újabb és újabb kutatási eredmények láttak napvilágot. A motiváció mögött egyrészt a magyar iskolák oktatómunkájának azon problematikája állt, hogy az ismeretátadás még mindig hangsúlyosabb a képességfejlesztésnél. A kutatás során tapasztalt eredmények, igazolások elindítottak, egy olyan szemléletváltást, amely kihatott az iskolában folyó munkára. Az 1997-ben kezdődő innovatív folyamat ma is tart. Ezt a munkát megelőzte az említett feladatbank összeállítása, majd a hetvenes években a műveleti képességek átfogó vizsgálata, amelynek célja a műveleti képességek rendszerének és fejlődésének a feltérképezése volt, majd szerves folytatásként a nyolcvanas évekre a diagnosztikus módszerek fejlesztése történt meg (Csapó, 1991; Vidákovich, 1987).  Jelenleg a kognitív területekre irányulnak a kutatások. Ami új tehát, hogy a diagnosztikus értékelés által minden lépés a mérendő terület jellege, a feladatok készítése, a tesztek összeállítása, a mérés és az elemzés eljárásai nyomon követhetők.
	A matematikai szöveges feladatok vizsgálatánál a tovább lépést a Vershaffel, De Corte és Lasure (1994) által kialakított 20 feladatnak a magyar adaptációja jelentette, amely vizsgálatokban kapott eredményekről Csíkos Csaba (2003.8.sz.20-27.o.) fogalmazta meg gondolatait. A „realisztikus” matematikai feladatok értelmezése a „becsapós” jelzőt kapta, amely arra utal, hogy a megoldás során a válasz megfogalmazásánál támaszkodni kell a valóságban tapasztalt ismeretekre. Az eddigi kutatások által kidolgozott feladatoknál a heurisztikus stratégiák és a feladatmegoldó algoritmusok alkalmazásának lényegeként a válasz az adatok kikeresése és stratégiai terv megalkotása után a számolás elvégzésével megszületik. Az a kérdés, hogy a matematika területén megadott válasz megfogalmazásában szerepet játszik-e a valóságról gyűjtött ismeret adaptálása. A kapott eredmények szerint a magyar gyerekek (4.osztályosok) hasonló teljesítményt nyújtottak, mint a nemzetközi mérésben szereplő tanulók, azaz „az egyetlen alapművelettel nem megoldható problémák esetén gyakran az iskolai tanítás-tanulás során rögzült meggyőződések teszik nehézzé a valóságról szerzett ismeretek megfelelő felhasználását” (Csíkos, 2003.1.sz.39.o.). A legáltalánosabb az a meggyőződés, hogy minden problémának „egy” helyes megoldása van.

A matematikatanulás pszichológiai háttere

	„Tanulásnak nevezzük valamely tevékenység gyakorlása nyomán bekövetkező változást, mely által új vagy módosult tapasztalat, viselkedés, tudás keletkezik, s mely a tapasztalat jövőbeli felidézésének és felismerésének vagy új helyzetben való alkalmazásának szolgál alapjául.” (Pedagógiai lexikon, 1978). A közel húsz évvel ezelőtti megfogalmazás finomítása és hangsúlyainak változása az azóta eltelt időszak tapasztalati eredményeivel gazdagodva, hozzájárul a tanulás folyamatának matematikai szempontjából való értelmezéséhez. A történeti áttekintés segít ezt a fejlődési folyamatot nyomon követni.
	A behaviorista gondolkodáson nyugvó tanuláselméletek közül Gagné (1969) értelmezésében a „tanulás komplex, illetve kevésbé komplex inger-reakció minták elsajátítása” (Ambrus, 1995. 31.o.). A tanulási típusok egymásra épülő sorozatot alkotnak az elképzelése szerint és a fejlődés alapja a már megelőző szint megléte. A pszichológusok kritikái azt jelzik, hogy a tanulás nem egyszerűsíthető le a környezet, illetve a tanár által kiváltott válaszokra, hiszen a tanuló aktív részese a folyamatnak. Más elméletek is születtek ezen elképzelések nyomán, de a pszichológia vélekedése egy új utat nyitott a tanuláselméletek sorában. 
	Brunert már a tanulóban zajló gondolkodási folyamat, a fogalomalkotás és ezek fejlődése érdekelte. A hipotézise a következő volt: „Minden gyereknek minden fejlődési szinten minden tananyag egy intellektuálisan megfelelő formában sikeresen megtanítható.” Ezt a gondolatát a „Az oktatás folyamata” (1970) című könyvében írja. Az elméletének fontos része a reprezentációhoz kötődik, amely a külvilágból érkező információk kódolását jelentik a tudatunkban. A reprezentációk három síkja: 
	a) Materiális (enaktív) sík: a konkrét tevékenységek, cselekvések által 	kialakított  	ismereti szint.
	b) Ikonikus sík: szemléletes képek, szituációk alkotják az ismereteket.
	c) Szimbolikus sík: matematikai jelek és a nyelv eszközei szintjén kialakult	ismeret.
A tanítás során a tanulási folyamat hatékonyabb, ha a reprezentációs síkokat váltogatjuk a megfelelő módon, tehát ez által nő a gondolkodás rugalmassága és a problémamegoldás hatékonysága. Az ikonikus sík jelentősége abban van, hogy a fogalmak megértését elősegíti, a  problémamegoldásnál a helyes stratégia kiválasztását támogatja, ezen a szinten könnyebb a megoldás, ezután jöhet a szimbolikus átvitel.
	Piaget genetikus ismeretelmélete az egyén kognitív fejlődési szakaszait fogalmazta meg, amely során az egyén egy képzetet alakít ki a világról, amit kétféle módon adaptál. Az asszimilációval a már meglévő ismeretei közé illeszti az újakat, illetve az akkomodáció által a már meglévő sémáját átalakítva  egy új hálót hoz létre.
	A hetvenes évek során az a vonal erősödött meg, amely a tanuló aktív részvételével írja le a tudás kialakulásnak útját. A kor egyik legjelentősebb képviselője Richard R. Skemp, aki a szkéma megalkotásával és a reprezentációk részletes elemzésével közelebb vitt a tanulók problémájának megoldásához. Azok az elképzelések, amelyek alapján a matematikai megértés a problémareprezentációknál dől el, megerősítést kaptak a kutatási eredmények által. A fogalomalkotás folyamatára, majd az absztrakciók által szerveződő sémák egyre szövevényesebb rendszerére nem egy hierarchikus felépülés jellemző, hanem egy hálózati rendszer erős struktúrája. A szkéma fogalma az általános pszichológiában szellemi struktúrát jelent, amelynek két fő funkciója van.
•	„Integrálja a meglévő tudást.”
•	„Szellemi eszközként szolgál az új tudás elsajátításához.”(Skemp, 1971/2005.53.o.)
A megértés még mélyebb szintjén a szkémák alkotó elemeihez a szimbólumokhoz jutunk el, amely „valamilyen hang vagy egy látható valami, amely szellemi kapcsolatban van egy fogalommal”- írja Skemp (2005, 95.o.).A matematika erejéhez hozzájárulnak a különböző formában megjelenő szimbólumok. A képi szimbólumok olyan „sűrítmények”, amelyek viszonyokat is magukban hordoznak.
	Galton (1880) szerint az embereknek eltérő képzeteik vannak a világról. A szimbólumok közül a vizuális vagy a verbális a fontos számukra. Ki gondolná, hogy a szocializáció hogyan hat a szimbólumok használatára. A látás egyéni, a hallás kollektív jellegéből fakad, hogy a vizuális szimbólumok nehezebben közölhetők, individuálisabbak, a verbális szimbólumok ezzel szemben könnyebben közölhetők és kollektívabbak. A mai álláspont fait accompliként (bizonyított tény) kezeli azt a megállapítást, hogy a civilizációk,- amelyekben nagyon eltérő kulturálisan kialakult szimbólumok vannak- a verbális-algebrai szimbólumot részesítik előnybe a vizuális szimbólumokkal szemben. A két rendszer összehasonlítását figyelhetjük meg az 1. táblázatban, amit Skemp így jellemzett (2005, 152.o.).

1.táblázat. A vizuális és verbális-algebrai szimbólumok összehasonlítása
Vizuális szimbólumok	Verbális-algebrai szimbólumok	
Absztrakt térbeli tulajdonságok	Térbeli elrendezéstől független absztrakt tulajdonságok	
Nehezebben közölhető	Könnyebben közölhető	
Egyénibb gondolkodást szemléltethet	Szocializáltabb gondolkodást szemléltethet	
Integratív, a struktúrát mutatja	Analitikus, a részleteket mutatja	
Egyidejű	Egymás utáni	
Intuitív	Logikai	

	Ezek után térjünk rá a szöveges feladatok, mint problémamegoldó helyzetek elemzésére, a tekintetben, hogy az algebra és a geometria szimbólumai hogyan értelmezhetők és miként segítik a megoldási stratégia keresését!
	A probléma matematikai modellel történő összekapcsolása az absztrakció egy formája. Keressük a probléma ekvivalens modelljét, amely egyre nehezedő fogalmi kapcsolatokat kezel, így struktúrákban jelenik meg. Fontos tehát, hogy a modell mennyire fedi a valóságot. A problémamegoldásnak két mozzanata a következő:
1.	a matematikai modell megalkotása,
2.	a modell megfelelő kezelése.
A probléma megközelítése sokféleképpen történhet. Az algebra szimbólumaival, a számokkal és műveletekkel, vagy a geometria alakzataival. Az euklideszi geometria évszázadokig a logikus gondolkodásra nevelés egyik legjobb módszere volt. Napjainkban a matematikusok álláspontja nagyrészt megváltozott, mert a logikai bizonyítások algebrai eszközökkel történnek inkább. A matematikai fogalmaink beszűkülése az algebrai formákra lehet, hogy szükségszerű, de a térbeli gondolkodás az értelemnek egy olyan kiegészítője, amely lehetővé teszi a szemlélet összekapcsolását (ikonikus sík) a szimbólikus verbális formákkal. Ha ezek megerősíthetik egymást, akkor a problémák többféle síkon kezelhetők lesznek. Skemp felveti azt is a könyvében, hogy a matematika egy területének újjászületése lehet az, hogy a verbális-algebrai meggondolások helyett sokkal inkább a viszonylatok vizuális felfogása dominálna. 
	
Az empirikus vizsgálatok eredményei
	A pedagógia megfoghatatlan folyamatainak leírására a 20. század végére olyan eszközök és eljárások alakultak ki, amelyek a tudományosság igényével tudnak állításokat megfogalmazni és bizonyítani. Azok a matematikai statisztikai elemző módszerek és a kutatást támogató tesztelméleti ismeretek, amelyek által megfogalmazhatók a teendők, a vizsgálatoknak objektív eredményeit képesek megmutatni, ez a valóság megragadásának fontos eszközrendszere. A kutatásmódszertan tudománnyá szerveződése által az oktatás területén is elindulhattak azok az elemző munkák, amelyek a reform folyamatokért felelősek. 
A kutatói munkák közel kerülése a gyakorlathoz elmozdulást jelenthet egy új pedagógusi attitűd kialakulásában, hiszen az azonnali visszacsatolással a beavatkozás ideje lecsökken. Az iskolai, tantermi munka elemzése által a változtatás stratégiáinak kidolgozása segíti a pedagógust és a tanulót abban, hogy sikeresebb együttműködés alakuljon ki köztük. Ebben a tanulmányban a szöveges feladatokba ágyazott problémamegoldást vizsgáltam, azért hogy magyarázatot kapjak arra, hogy az eltérő képességek hátterében mi lehet és hogyan tudok segíteni a felzárkóztatásban. 
Már régóta foglalkoztatott az is, hogy a tantervben egymásra épülő algebrai és geometriai struktúrák hogyan erősíthetik egymást, a hozzájuk kapcsolódó képességek eltéró módon fejlődnek-e. 
A minta jellemzése
	Az általános iskolába járó gyerekek korosztályára jellemző legintenzívebben az alapképességek kialakulásának időszaka és ezen képességek fejlődésének jelentős változása. A vizsgált minta résztvevői egy gyakorlóiskola 6. és 8. évfolyamán tanuló diákjai közül kerültek ki. A 134 fős mintán végzett mérés nem reprezentatív, de helyi szinten alkalmas arra, hogy az adott tanulócsoportok teljesítményei alapján újabb döntéseket hozzunk, ami a problémamegoldó képesség fejlesztését szolgálja a tanítási gyakorlatban. A pedagógus attitűd egyik legfontosabb eleme a sikeres képességfejlesztés területén az, ha a méréseinek eredményeit elemezve az észrevételeit beépíti a tanítási gyakorlatába. Erre lehet példa ez a vizsgálat is. 
 A tanulók mindkét tesztet (A és B) megírták, így van lehetőség a tartalmi összehasonlításra és az elemzés által az okok feltárására. A mérésben szereplő gyerekeknek a matematikát különböző pedagógusok tanítják, így a vizsgálat szempontjából eltérő tanítási stílusokból és hangsúlyokból adódóan alakult ki az a képesség, amit vizsgáltam. A hatodik osztályokból 72 tanuló, a nyolcadik osztályokból 62 tanuló vett részt a tesztek megírásában.  A vizsgálatban résztvevő tanulók létszáma a 2. táblázatban részletezve megtalálható.

2. táblázat. A mérésben részt vett tanulók létszámadatai
Létszám	6.a	6.b	6.c	8.a	8.b	8.c	Összesen	
Fiúk	20	6	18	17	7	11	79	
Lányok	4	17	7	4	13	10	55	
Összesen	24	23	25	21	20	21	134	

A vizsgálatban használt mérőeszközök
	A szöveges feladatok megoldási képességének vizsgálatakor felmerülő egyik kérdés az volt, hogy a problémamegoldó gondolkodás képességének vizsgálatához milyen típusú feladatsort válasszak. Az általános iskolában használt feladatok szerkezeti szempontból alkalmasak-e egy a hétköznapi gondolkodás során gyakran mozgósított következtetési képesség kialakítására. Olyan feladatsort állítottam össze, amely a lineáris gondolkodás alapján lépésről lépésre halad előre a megoldás felé. Az egyszerűbb 1 és 2 lépésre bontható feladatok után, az összetettebb 3 vagy 4 lépéssel megoldhatók következtek, míg a végén a rendhagyó elemeket tartalmazók zárták a sort.
	A két teszt tartalmilag az aritmetikai és a geometriai tudásra épít, azzal a célzattal, hogy megállapításokat tegyen, van-e a megoldások teljesítmény szintjei között hasonlóság vagy éppen eltérés. Az összehasonlítás érdekében a szerkezeti felépítések megegyeznek és a vizsgált tudás elemek is azonos módon értékeltek. 
	A már korábbi hazai és külföldi vizsgálatok során felmerülő kérdések inspiráltak a feladatok szempontjainak részletesebb meghatározására. Mikor dől el egy feladat helyes stratégiájának kiválasztása? Melyik mozzanat az, amely jelentősen befolyásolja a feladat helyes kimenetelének megvalósulását? A feladat megértésének hátterében mi húzódik meg?
	A kutatások a fogalmi reprezentációk jelentőségét hangsúlyozzák, míg a kivitelezés, a számolási készség kevésbé járul hozzá az eredmények mögött meghúzódó gondolkodási képességekhez. A feladatok kiválogatásának szempontjai között tehát szerepelt az adatok kezelésének fontossága. A másik ok, amit figyelembe vettem, a feladatok szövegezése, mert az értelmezés elemeit tovább nehezíti az indirekt megfogalmazás. A megoldási képességek egyre bonyolultabb rendszerben és egyre magasabb szinten épülhetnek ki a tanulás folyamatának előre haladásával.
	A tesztek értékelésénél használt szempontrendszer kialakításánál a Nagy József-Csáki Imre Standardizált készségmérő tesztek 1976-os kiadású könyvében, majd az erre épülő 1997-es országos reprezentatív mérések után elvégzett megyei szintű vizsgálat eredményeit tartalmazó Az alapképességek fejlődése (Vidákovich, Hegymeginé és Csíkos, 2004) című kiadvány anyagában felhasznált értékelési elemeket vettem figyelembe.
A tesztek értékelésénél használt szempontrendszer:
- az a item: a szöveges feladatban használt felesleges és implicit adatok kezelése
- a   b item: a megfelelő mértékváltás használata
- a  c  item:    a   szövegből   egyértelműen    következő    rutin   műveletek   helyes 
meghatározása
- a d item: az indirekt szövegezésből és a szövegértelmezésből fakadó tudáselem helyes műveleti reprezentációja
- az e item: a szöveges válasz megfelelő megadása
	Az A teszt feladatsora olyan geometriai tartalmakra épít, amely során a tanulóknak tisztában kellett lenni a négyzet, téglalap tulajdonságaival és kerület, terület számításaival. A feladatsor nehézségét növelte a térgeometria egyes elemeinek felhasználása, amely a kocka tulajdonságainak ismeretét és a téglatest építésének elképzelését tette szükségessé. A számolást könnyítendő a természetes számkörben kellett a gondolatmeneteket kivitelezni. Az értékelésben 32 itemet használtam.
	A B tesztben az aritmetika a domináns. A számoláshoz a természetes számkörben mozogva a négy alapművelet ismerete és a kerekítés fogalmának helyes alkalmazása elegendő volt. A teszt itemjeinek a száma 33.
	A tudáselemek pontozása a következő volt. A helyes alkalmazás 1, a helytelen 0 pontot ért. A nyolc – nyolc feladatra épülő két tesztben azok az itemek lettek értékelve feladatonként, amelynek tudáseleme a feladat megoldásához szükséges volt.
		A tesztek megírásának időpontja nem kötődött a tantervi órák tematikájához, hiszen a szöveges feladatokhoz kapcsolódó képességek átszövik a matematika tananyag minden területét. A pedagógusok beillesztették tanításuk rendjébe ezt a két órát lefedő tesztírást. 
A matematika részterületeinek szétválásával részekre tagolódtak a feladatcsoportok is, pedig a gondolkodást ezek – aritmetika, geometria – együttes, egymást erősítő funkciója segítheti. Vajon a matematika integrálása közelebb visz-e a valóságban megtapasztalt helyzetek értelmezéséhez? A két területen működö képességek szintje az egymásra épüléskor milyen szinten feltételezik egymást?

A két teszten elért teljesítmények sajátosságai

	A  mérés egyik elsődleges célja az volt, hogy észrevételeket tegyen arra vonatkozóan, hogyan befolyásolja a szöveges feladat megoldást az aritmetikai illetve a geometria tartalom. Az általános iskolai tananyag szerkezetét tükrözve, az algebrához kapcsolódó képességek fejlettsége előre haladottabb-e, mint a geometriai tartalomhoz kötődő képesség fejlettségi szintje? A matematikai tananyag felépülése az általános iskolában az algebrai témakörök kiterjesztése közben a felső tagozatban kezdi beépíteni a geometriai alapokat és ennek bővülése figyelhető meg a nyolcadik osztályra. Vajon ez a tematika igazodik-e a tanulók képességfejlődésének struktúrájához? A geometriai tartalmak tovább építése a középiskolák feladata, majd e két terület összekapcsolásával a gondolkodási képességeknek egy magasabb szintre  emelése történhet meg, ahogy Richard R. Skemp fogalmazott a A matematikatanulás pszichológiája című könyvében. „Az algebra (pontosabban a numerikus változók algebrája) és a geometria e két nagy szkémájának asszimilációja egyike a matematika legnagyobb teljesítményének. Ez további lehetőségeket nyújt arra, hogy az egyik rendszerben felmerülő problémákat a másik rendszerbe történő leképezés útján oldjuk meg, és segíti a gondolkodásunkat azáltal, hogy lehetővé teszi ugyanazon fogalmaknak egymástól igen különböző módon történő szimbolizálását.”(1971. 378.-379.o.)
A geometriai és aritmetikai tesztek jellegzetességei

	A teszten elért teljesítmények átlagai jelzik, hogy az aritmetikai tartalmak alapján összeállított B teszt feladatait  könnyebben megoldották a mintában szereplő tanulók, mint a geometriai fogalmakra épülő A teszt feladatait. 

3. táblázat. A szöveges feladatok teszt átlagai és szórásai a mintán (%)
Feladatlap	Átlag	Szórás	
A teszt	31	19	
B teszt	51	19	
	
	Az osztályok szerint alakuló átlagok és szórások mindkét teszten a megoldási képesség fejlődését mutatják. 

4. táblázat. A szöveges feladatok teszt átlagai és szórásai évfolyamonként (%)
Feladatlap	6.osztály	8.osztály	
	átlag	szórás	átlag	szórás	
A teszt	25	16	38	20	
B teszt	45	18	58	16	

A 1. ábrában felfedezhetjük a geometriai olló nyílását. Előre jelzi a fejlődés lehetséges irányát, de csak tendencia jelleggel. A fejlődésben mindig vannak kitüntetett területek, amelyek intenzívebb időszakot jelentenek a képességfejlődés szempontjából, majd a tudás és képesség összeépülésével egy magasabb szinten folytatódik az építkezés. Piaget elméletének a gondolkodás szakaszos és az életkorhoz kötött képesség fejlődés elképzelései még most is támaszai a jelenkori megfigyeléseknek és a kutatások eredményeinek. 	

1.ábra. Az A teszt eredményeinek alakulása a két évfolyamon

	A következő 2. ábra az aritmetikai eredmények alapján szűkülő távolságot szépen szemlélteti. A vizsgált korosztály szöveges feladatmegoldó képességének jellemzői egy szekvenciálisan felépülő feladatsoron azt mutatják, hogy az iskolai tanulmányokhoz korábban kötődő aritmetikai tudás hátterű feladatok azonos szerkezeteknél és képesség elemeknél magasabb szinten van, mint a geometriai fogalmakra épülő feladatok teljesítménye. A felzárkózás elindult és a további tanulmányok során összekapcsolódhat egy magasabb szinten ez a sokféle szimbólum kezelését igénylő feladat megoldási képesség, ha a táptalaj meg van hozzá. Ahhoz, hogy sikeresen alakuljon ez a problémamegoldó gondolkodás alapján működő képességfejlődés, a didaktikai elvek tudatosabb alkalmazása nélkülözhetetlen. Itt nem csak a módszerek határozott megfogalmazása fontos, hanem annak az összetett folyamatnak a tanulmányozása, amely a magyarázatok által egy objektív képet ad a pedagógusi teendőkről.

2.ábra. A B teszten elért teljesítmény átlagok évfolyamonként

	Tudjuk, hogy a keresztmetszeti vizsgálatok eredményeinek egymásra építése egy hipotetikus elképzelés vagy inkább egy tendenciózus megállapítás lehet, de abban segíthet bennünket, hogy ezen képességek viszonyairól megközelítő képet kaphassunk. A matematikai struktúrák kiépülésének lehetőségeit a gyermekkor adott időszakához kötve és azt a tananyag szintjére történő lefordítás által reális képességfejlesztés történhet az iskola keretei között.

A két teszt feladatainak a szöveges feladat megoldási képesség szerinti kapcsolata
	Az algebrai és a geometriai tartalmakon vizsgált szöveges feladatmegoldó képesség milyen szoros kapcsolatot mutat a mintán, azaz elkülönül-e a tartalmak miatt a problémamegoldás során mozgósított képesség? Megerősíthetik-e egymást az eltérő tartalmakhoz kötődő képességek a szekvenciálisan felépülő feladatok esetén? Igaz-e, hogy aki jól oldja meg az aritmetikai jellegű feladatsort, az jobban teljesít a geometria teszten is és fordítva?
	A korreláció vizsgálatok az összefüggések szignifikáns szorosságát mutatják meg. Az A teszt és B teszt eredményei között van-e erős kapcsolat? A korreláció értéke 0,67 szignifikáns ( p = 0,00)  erősséget mutat. A tanulók teljesítményei együtt mozognak a két teszten. A részletes osztályonkénti kapcsolatokat az 5. táblázat mutatja. A geometria teszten kapott átlagok nagyobb szórásából adódóan a két teszt által meghatározott érték párok között szélsőséges kapcsolatok is kialakulhattak, magas átlagokhoz eltérő átlagértékek is kötődhetnek.  A pontos okokat ebben az elemzésben nem tudjuk meghatározni. 

5. táblázat. A két teszten elért teljesítmények kapcsolata
Minta	A és B teszt korrelációja	
8. osztály	0,51	
8.a	0,58	
8.b	0,61	
8.c	   0,27 *	
6.osztály	0,75	
6.a	0,69	
6.b	  0,33*	
6.c	0,86	

	A korrelációk segítenek abban is, hogy megállapítást tegyünk arra vonatkozólag, hogy a feladatok részpontszámai hogyan viszonyulnak az összpontszámhoz, azaz a vizsgált feladaton nyújtott teljesítménye a tanulóknak az összteljesítménnyel milyen kapcsolatban van? Amelyik feladathoz a legnagyobb korrelációs érték tartozik, annak eredménye az adott minta teljesítményét leginkább jellemzi. Az A teszt feladatai közül az ötödik az ( r = 0,73, p = 0,00), amelyen elért eredmények a teljes mintára nézve leginkább együtt mozognak az összpontszámmal. Ez a feladat a következő: 
	A téglalap alakú kert 16 m hosszú és 10 m széles. Mindegyik oldala mentén	belül körös-körül 1 m széles sétautat alakítunk ki, a többi terület felét	befüvezzük. 	Hány m2  az út területe?
A három lépéssel megoldható feladathoz hasonlóval a tanulmányaik során már találkozhattak az iskolában használt Hajdu Sándor (2003) által szerkesztett tankönyv családban, ez indokolhatja azt, hogy az iskolában elsajátított tudás mérvadó a geometria teszt teljesítménye szempontjából.  Ahogyan ezt a feladatot megoldották a mintában szereplő tanulók úgy teljesítettek leginkább a teljes tesztet illetően is.
	Adódik a kérdés, vajon a B teszt melyik feladata játssza ugyanezt a szerepet? A hármas feladat a legmagasabb korrelációs értékkel 0,7 ( p = 0,00) szignifikáns kapcsolatot mutat az összesített pontszámmal. A feladat szövegét nézzük meg!
	Pisti éppen elindult az iskolába otthonról, amikor meglátta, hogy tőle 200	méterre Laci is az iskola felé tart, ugyanazon az úton. Megszaporázta lépteit,	és 	az iskola előtt 350 méterre utol is érte őt. Hány métert tett meg ez alatt	  Pisti és 	hányat Laci, ha Pisti az iskolától 1 km-re lakik?
Ez az aritmetikai feladat két lépéssel oldható meg, a mértékváltás mellett a geometria területére átnyúlik, és ez okból jobban tükrözi az összteljesítményt. A teszt összeállításában megjelenő iskolai háttérhez kötődő geometriai jellegű feladat megoldása jellemzi leginkább az aritmetika területén a tanulók tudását. A két teszt feladatainak korrelációja a végeredményekkel a geometria teszten magasabb értékeket mutatott, tehát a geometriai feladattípusokhoz kötődő tudást leginkább az iskola alakítja, így a fejlesztése is a pedagógusokra hárul jobban, mint a környezetre. A tapasztalati szintek itt is fontosak, de a matematikai fogalmak műveleti szintje és a strukturáltsága a hétköznapok során nem alakul ki irányultság nélkül. A további részletezés évfolyamok szintjén más hangsúlyokat ad?
	Hatodikban osztályonként nagyon differenciált az erős kötődésű feladat mind két teszten, ami a feladatok nehézségi fokai miatt hangsúly eltolódást jeleznek. Amelyik feladat megoldása már egyes tanulóknak nem okoz gondot, az másoknak még problémás lehet. 

3. ábra. A B teszt eredményei az A teszt függvényében

 A nyolcadikosok egységesebb képet mutatnak ezen szempontból, tehát az iskola hatása következtében azonos feladattípusokhoz kötődő képességek  mutatják meg a szöveges feladatok megoldása terén a várható teljesítményeket. 
	Ha a két évfolyam A és B tesztjén mért teljesítményének együtt mozgására vagyunk kíváncsiak, akkor a 3. ábrából sok mindent leolvashatunk.
Az egyéni eredmények elhelyezkedéséből a szélsőségek közül érdemes megemlíteni, hogy van olyan hatodikos, aki mindkét teszten 80 % fölött teljesített a nyolcadikosok által nyújtott teljesítményt maga mögött hagyva és van olyan nyolcadikos, aki az algebra teszten a leggyengébb hatodikos szintjén teljesített. A nyolcadikosoknál észrevehető, hogy a viszonyok a teszt eredmények között nagyon differenciáltak, például 80 % körüli aritmetikai teljesítményhez 0-20 % közötti eredmény tartozik a geometriai teszten, a másik esetben pedig egy 90 % körüli geometriai pontszerzéshez 50 %-ot megközelítő aritmetikai teljesítmény kapcsolódik. A hatodikos tanulók közül van olyan, aki 80 % körül teljesített az algebra teszten, míg a geometria eredménye 40 %-os. A két évfolyam tanulóinak a két teszten együttesen vizsgált kapcsolódásai által meghatározott pontfelhő a hatodikosoknál kevésbé széles sávot határoz meg, mint a nyolcadikosoké, tehát az egyik teszten mért eredményeikből jobban tudunk következtetni a másik teszten elért teljesítményükre. A nyolcadikosok kétféle tartalmon mért tudása eltérő képet mutat ezen a mintán, ami azt jelzi, hogy a geometriai tudásukból nem tudunk megállapításokat levonni az aritmetikai tudásszintjüket tekintve. A lineáris regresszióval tendenciákat is megfogalmazhatunk a mintára és a részmintákra vonatkozóan körültekintéssel élve és kerülve az egyéni vagy kis mintás megállapításokat. Ebben az esetben azt mondhatjuk, hogy a hatodikosok meredekebb egyenese a minta átlag kapcsolatot bemutató egyeneséhez képest azt jelenti, hogy a geometria teszten elért átlagok növekedése maga után vonja az aritmetikai teszt eredményeinek intenzívebb növekedését. A két teszt alapján az aritmetikai teszten mért szöveges feladat megoldási képesség fejlődése intenzívebb a hatodikos korosztálynál a vizsgált minta alapján, mint a nyolcadikosok esetében. 	
	Ez a kapcsolat inverz jellegű tehát a függő és független változó értékei felcserélhetők, amelynek az értelmezése annyit jelent, hogy a geometriai tudás fejlettségéhez kapcsolódó szöveges feladatmegoldó képességhez képest hogyan fejlődik az aritmetikai tartalmon mért hasonló képesség, és a numerikus tartalmak kialakult szintjéhez tartozó képességek mennyiben határozzák meg a geometrikus szimbólumokhoz kötődő hasonló képességek szintjét. Az összehasonlítás miatt nézzük meg a 4. ábrát is!

4.ábra. Az A teszt teljesítményei a B teszt teljesítményeinek függvényében

Az egyenesek közel egybe esése olyan megállapításokra enged következtetni, hogy az aritmetikai tudás kialakult szintjeinek és a geometriai tudás szintek alacsonyabb értékeinek összekapcsolódása az  egész mintára érvényes. 
	Ahhoz, hogy jól lássuk a kialakult képességek finomabb hátterét, a részképességek egymásra utaltságát is figyelembe kell venni. A tudás elemek kapcsolódási sorrendjét elemezzük.

A feladatok átlagai  és a részképességek viszonyai

	A vizsgált minta hatodikosai és nyolcadikosai szignifikánsan eltérő teljesítményt mutattak a két teszt feladatmegoldásában. A feladatok elemzése választ adhat arra, hogy a tartalmi különbség vagy más háttértényező felelős a kapott eredményekért.
	A feladatok nehezedő szerkezetéért egyrészt a növekvő lépéssor, másrészt a páros sorszámú feladatok fordított szövegezése, harmad sorban pedig az adatok problematikus jelenléte a felelős. Az átlagok sora részben tükrözi a szerkezet adta nehezítéseket és a szövegből következő problematikát. A kérdés az, hogy ezek együttes jelenléte a feladatokban, milyen hatással vannak a teljesítményekre.
	Ha a két teszt feladatainak megoldottságát együtt szemléljük, akkor érdekes megállapításokra juthatunk. Az okok hátterének vizsgálata nem egyszerű. A statisztikai elemzés egyik eszköze a páros t-próba, amely az átlageltérésekkel kapcsolatban ad használható támpontokat a következtetésekhez. A feladatok megoldási átlagait hasonlítottam össze a két teszt páronkénti megfeleltetése által külön a két évfolyamon, hisz a hatodikosok és a nyolcadikosok képességeinek eltérő a működése a fejlettségi szint miatt.
A hatodik osztályosok feladatmegoldó képessége az aritmetikai teszten magasabb szinten működik, mint a geometriai teszt esetén, de a helyes megoldások keresésében a legjellemzőbb hibaforrás  a fordított szövegezésben, a felesleges adatokban és ezek halmozott jelenlétében keresendők. A tartalmak erős befolyásoló hatása az egyszerű egy és két lépéssel megoldható feladatok esetén jelentkezett a szimbólumok értelmezési szintjei miatt. A nehezebb feladatoknál a tartalmi különbségek elmosódnak a kontextus bonyolult kezelése közepette. A 5. és 6. ábra láthatóvá teszi számunkra a feladatsorok teljesítmény alakulását.

5. ábra. A hatodikosok feladat átlagai a két teszten

A négyes és hetes feladatpárok viszonyai azt mutatják, hogy az adatkezelésben és a fordított, rendhagyó szövegezésben nincs a teljesítményekben szignifikáns különbség, tehát a problematikáért más a felelős. Vajon a nyolcadikosok megoldásai mit tükröznek? A vizsgálat értékei hasonlóak voltak, mint a hatodikos mintán, így feltehető a szimbólumkezelésből adódó, az eltérő tartalmakhoz kapcsolódó képességszint különbség.

6. ábra. A nyolcadikosok feladat átlagai a két teszten

Ezekben a feladatokban a teljesítmény különbség az aritmetika és geometria eltérő hálójával magyarázható. A térbeliség  zavarja a megértést.
Negyedik feladatpár:
A teszt: geometriai szimbólum, indirekt szövegezés, felesleges adat
	Egy úszómedence hossza 30 m, kétszer annyi mint a szélessége és 2650 cm-rel több 	mint a mélysége. Milyen széles egy pálya, ha öt úszó indulhat egyszerre?	
B teszt: indirekt szövegezés, felesleges adat
Az 1. számú iskolába 582 tanuló jár, 163-mal kevesebb, mint a 2. számú iskolába. A    tanárok száma mindkét iskolában 38. Hány tanuló jár összesen a két iskolába?

Hetedik feladatpár:
A teszt: rendhagyó – 4 vágás→ 5 rész
	Egy 80 dkg tömegű fából készült 10 cm élű kockát szétfűrészelünk úgy, hogy minden 	párhuzamos lapjára merőlegesen 4 vágást ejtünk azonos távolságban. Milyen magas 	fa tornyot építhetünk, ha minden kis kockát felhasználunk az építésnél? 
B teszt: rendhagyó – kerekítés →minimum, maximum
	Lakást kerestem külföldi ismerőseim számára. Találtam is egy kiadó lakást, 	amelynek a bérleti árát úgy jegyeztem meg, hogy ezresekre kerekítve 40000 	Ft 	havonta, és fél évre előre kell fizetni a bérleti díjat. Mit írjak ismerőseimnek, 	maximum mekkora összeget 	kell letenniük, hogy megkapják a lakást? Mi lenne 	számukra a legkellemesebb 	meglepetés a fizetést illetően? 
A számítások a feltevést igazolták, azaz tartalmi okok húzódnak meg az említett teljesítménykülönbségek mögött.

Az értékelési szempontok alapján vizsgált tudás elemek térképe
	Öt részképesség kapcsolódási sorrendje a klaszteranalízis eszközeivel és dendogram megrajzolásával mutatható be jól. A 7. ábra segít a geometria tartalmakon működő részképességek alapján állításokat megfogalmazni. A szöveges válaszok helyes megadása szoros kapcsolatban van mindkét teszten a teljesítményekkel, tehát a helyes válaszok mértékét tükrözik a végeredmények. A fordított szövegezés hatására is azt mondhatjuk, hamar kapcsolódik a teljesítményt megtestesítő összpontszámhoz, tehát ez a tudáselem döntően befolyásolja a feladat megoldásának kimenetelét.  

7. ábra. Az A teszt itemjeinek kapcsolata az összpontszámmal

	Figyeljük meg, hogy a struktúrában milyen hasonlóságok és különbségek tapasztalhatók a két tesztre vonatkozóan! A részképességek szerkezete azonos kapcsolódási sorrendet mutat mindkét teszt esetén, tehát a tartalmi háttér nem befolyásolja azt, hogy a szöveges feladat megoldásához milyen tartalmú tudáselemeknek kell jól működni a jó teljesítmény eléréséhez. A geometria teszten lazább, később kötődő elemeket láthatunk, az aritmetikai eredmények (8. ábra) szempontjából erőteljesebb a vizsgált képesség elemek szerepe, bár a fordított szövegezés mindkét teszt esetén jelentősen befolyásolja a feladat megoldásának kimenetelét. A lazább kapcsolódás az adatok esetében azzal magyarázható, hogy a geometriában nehézséget jelent a szimbólumok értelmezése, és a következő részképesség ezen keresztül működik. Ha ez alacsonyabb szinten van, akkor az kihat a további képesség elem helyes alkalmazására, tehát a helyes rutin szinten kiválasztott stratégiára.

8. ábra. A B teszt itemjeinek kapcsolata az összpontszámmal

A mértékváltás (2) a legkevésbé, az indirekt (4) szövegezés jelentősen befolyásolja a szöveges feladat megoldási képesség helyes működését a mérés során. Az adatok kezelése, amely a feladatok értelmezésénél játszik fontos szerepet, harmadik szálként kapcsolódik a sorrendbe, amely jelzi a problémás reprezentációknak és a fogalmi rendszerek bizonytalanságának hatását különös tekintettel a geometriára. A rutin művelet helyes elvégzése szorosan kapcsolódik a megértést erősítő megfelelő adatkezeléshez.

Összegzés
	A matematika struktúrájába beépült  problémamegoldó gondolkodás alapján működő szekvenciálisan felépülő szöveges feladat megoldó képesség az aritmetikai és geometriai tartalmakon a vizsgált mintán különböző szinten működött. A geometriai tartalmak nehezítették a feladatok megoldását, de a szerkezeti nehezítéssel ezek a különbségek a kétféle tartalomnál elmosódtak. A két évfolyam teljesítményei tükrözik a tananyag azon tematikáját, amely a magyarázata annak, hogy a geometriai fogalmak később kiépülő rendszere miatt a szöveges feladatok megoldása terén gyengébb eredmények születtek a geometriai háttértudásra épülő feladatoknál. 
 	Az eddig összegyűjtött gondolatok alapján azt mondhatjuk, hogy a szöveges feladat megoldásához szükséges képességek kialakításánál figyelembe kell vennünk azt, hogy az absztrakciók milyen szimbólumok pontos ismeretéhez kapcsolódnak, mert a geometriai alakzatok síkbeli és térbeli viszonyai a fogalmak szerveződésének bonyolult rendszeréből jönnek létre. A verbális ismeretek pontos fogalmi hátterét a hétköznapok is alakíthatják, a geometria elemei a tanórákon alakulnak fogalmakká. A „zajból” kiszűrt adatok többféle formában, numerikusan és verbálisan is megjelenhetnek. A fordított szövegezés egyszerűbb kontextusban, egy vagy kétlépéses feladatoknál kevés zavaró tényező esetén a memória kismértékű igénybe vétele mellett jól működhet aritmetikai tartalmakon ennél a korosztálynál. Ha a nehezítő körülmények halmozódnak a megoldási képesség csökken. A hatodikosok az aritmetikai teszten biztosabb tudással rendelkeznek és intenzívebb fejlődést mutatnak, mint a geometria teszten, de a szöveges feladat megoldási képességük teljes képét nézve differenciált. A nyolcadikosok geometriai hátterű feladatainál a tudáselemek széles képességskálája jelzi, hogy ezen a területen erőteljesebb a vizsgált képesség fejlődése.
	A tartalmi hátterek alapján kialakuló képességek között kapcsolat van. Az algebrai tartalmakon jól megalapozott képességek után fejlődhet egy biztosabb geometriai alapú megoldási képesség a vizsgált területet figyelembe véve. A fejlesztések során tudni kell tehát, hogy a képességek kapcsolat rendszere a tanulók életkorához kötötten jelenik meg  és csak olyan képességekre lehet építeni, amelyek kialakultak a korosztálynak megfelelő szinten, de a képességek széles sávja azt is jelzi, hogy a fejlesztést differenciáltan kell elvégezni. 
	A szerkezeti nehezítésen túl azok a tudás elemek, amelyek a képességek működésének magasabb szintjére jutását mérik - adatkezelés, indirekt megfogalmazás- jelentős szerepet játszanak a megoldás sikerében. Igazolást nyert az a kiinduló álláspont, hogy a magasabb megoldási képességekkel rendelkező tanulók jól tudják kezelni az adatokat és a fordított szövegezésből származó nehézségeket. A geometriai tartalmú feladatok értelmezése és helyes megoldása még mindkét korosztálynak komoly problémát okoznak, a hatodikosoknál a nem stabil, aritmetikai háttérrel működő szöveges feladatmegoldó képesség fokozottan szerepet vállal ebben, a nyolcadikosoknál a geometriai tartalmakhoz kötött az adott területen mért képesség differenciáltsága van a háttérben.
A szöveges feladat megoldó képességének fejlődése hosszan tartó folyamat, amelyben az általános iskolának fontos fejlesztő szerepe van, de az optimális elsajátítás a középiskola utolsó éveire alakulhat ki.  
Ezekből a vizsgálatokból nem deríthető ki, hogy a geometriai szimbólumok későbbi beépítése a tananyagba indokolt-e. A modellalkotás és a képi szimbólumok összefüggést megmutató szerepe egyértelműen bizonyított. 

Irodalomjegyzék

Árvainé Libor Ildikó (2006): A szöveges feladatok tanításának folyamata az 1-4. osztályokban. A matematika tanítása 1.sz., 21-24.o.
Csapó Benő (2003): A képességek fejlődése és iskolai fejlesztése. Akadémiai Kiadó, Budapest.
Csapó Benő (2006): A formális és nem–formális tanulás során szerzett tudás integrálása. Iskolakultúra 2.sz., 3-16.o.
Csíkos Csaba (2003): Matematikai szöveges feladatok megértésének problémái a 10-11 éves tanulók körében. Magyar Pedagógia 1.sz., 35-55.o.
Csíkos Csaba (2003): Egy hazai matematikai felmérés eredményei nemzetközi összehasonlításban. Iskolakultúra 8.sz., 20-27.o.
Csíkos Csaba (2004): Metakogníció a tanulásban és a tanításban. Iskolakultúra 4.sz., 3-11.o.
de Corte, E. (1997): A matematikatanulás és –tanítás kutatásának fő áramlatai és távlatai. Iskolakultúra 12. sz., 14-29.o.
Diedre Cook és John Ralston (2005): Hogyan épül a megismerés hídja? Új Pedagógiai Szemle 7-8. sz., 111-122.o.
Dienes Zoltán (1973): Építsük fel a matematikát. Gondolat Könyvkiadó, Budapest.
Dobi János (1998a): Megtanult és megértett matematikatudás. In: Csapó Benő (szerk.): Az iskolai tudás. Osiris Kiadó, Budapest, 169-190.o.
Falus Iván (1996, szerk.): Bevezetés a pedagógiai kutatás módszereibe. Keraban Kiadó, Budapest.
Horváth György (1993): Bevezetés a tesztelméletbe. Keraban Kiadó, Budapest.
Jan Wyndhamn és Roder Säljö (1997): A szöveges feladatok és a matematikai érvelés. Iskolakultúra 12.sz., 30-46.o.
Kárpáti Andrea (2002): A vizuális műveltség. In: Csapó Benő (szerk.): Az iskolai műveltség. Osiris Kiadó, Budapest, 91-133.o.
Kelemen Rita (2006): Nemzetközi tendenciák a matematikai szöveges feladatok elméletében. Iskolakultúra 1.sz., 56-64.o.
Kontra József (2001): A nyelvi és a strukturális tényezők befolyása a szöveges feladatok megoldására. Magyar Pedagógia 1.sz, 5-45.o.
Molnár Edit Katalin (2004): Az empirikus vizsgálatot bemutató szakdolgozat. Elérhető: www.edu.u-szeged.hu/pesz.
Molnár Gyöngyvér (2004): Problémamegoldás és probléma-alapú tanítás. Iskolakultúra 2.sz., 12-19.o.
Nagy József és Csáki Imre (1976): Alsó tagozatos szöveges feladatbank. (Standardizált készségmérő tesztek 2.) Acta Universitatis Szegediensis de Attila József Nominatae, Sectio Paedagogica, series Specifica, Szeged.
Nagy József (2002): XXI. század és nevelés. Osiris Kiadó, Budapest.
Nemzeti alaptanterv ( 2004 ). Művelődési és közoktatási Minisztérium, Budapest.
Orosz Sándor (1995): Mérések a pedagógiában. Veszprémi Egyetemi Kiadó, Veszprém.
Pólya György (1977): A gondolkodás iskolája. Gondolat Kiadó, Budapest.
Richard R. Skemp (1971/2005): A matematikatanulás pszichológiája. Edge 2000 Kiadó, Budapest.
Robert J. Sternberg, Talia Ben-Zeev (1996, szerk): A matematikai gondolkodás természete. Vince Kiadó, Budapest.
Salat Annamária- Enikő és Séra László (2002): A téri vizualizáció fejlesztése a transzformációs geometriai feladatokkal. Magyar Pedagógia 4.sz., 459- 473.o.
Vidákovich Tibor és Csíkos Csaba (1998b): A tudás szerveződése az összefüggés-vizsgálatok tükrében. In: Csapó Benő (szerk.): Az iskolai tudás. Osiris Kiadó, Budapest. 281-294.o.
Vidákovich Tibor, Hegymeginé Nyíry Enikő és Csíkos Csaba (2004): Az alapképességek fejlődése. Borsod-Abaúj-Zemplén Megyei Pedagógiai Szakmai és Szolgálati Intézet, Miskolc.