Kelemen Rita

Fejlesztõ kísérletek a realisztikus matematikai problémák megoldásábana terén

Bevezetés

Jelentõs törekvések figyelhetõk meg nemzetközi és hazai viszonylatban is egy jobban használható, a világ változásaival lépést tartó matematika formálására kialakítására. A NAT (1995) a matematikaoktatás céljai és feladatai közül legtöbbet leginkább a megszerzett matematikatudás “világi”, iskolán kívüli használhatóságát, valamint az önálló gondolkodás, problémalátás fejlesztésétnek, a problémamegoldói stratégiák elsajátításának fontosságát hangsúlyozza. 

 Ez a A magyar közoktatásban is jelenlévõ törekvés – miszerint a nagymennyiségû ismeretanyag átadása helyett a produktív képességek fejlesztése kerüljön középpontbaére kell helyeznünk a hangsúlyt – a matematikára vonatkoztatva azt jelenti azzal a következménnyel jár,  hogy az egyenletek, az algoritmikus, szimbólumokkalat használó, számolós feladatok mellett nagyobb hangsúlyt kapnak jobban elõtérbe kerülnek a szöveges, valós környezetbe ágyazott problémák, melyek egyaránt eleget tesznek a “valóság-modellezõ” és a “probléma-megoldó” elvárásoknak. a “valóság-modellezõ”, és a “probléma-megoldó” elvárásoknak egyaránt eleget tesznek. Írásunkban a realisztikus, életszerû matematikai problémamegoldás fejlesztésével foglalkozó fejlesztõ jelentõsebb kísérletek nemzetközi kínálatából választottunk ki bemutatásra néhányat. néhány jelentõsebbet választottunk ki bemutatásra. A téma hazai adaptálásáról itthoni alkalmazásáról Csíkos Csaba (2002, 2003a, 2003b) és Kelemen Rita (2004) írásaiban olvashatunk.
A pedagógiai fejlesztõ kísérletekrõl szóló tudományos beszámolókat legtöbbször csak a kutatók egy szûk csoportja olvassa, mert általában nem a pedagógusok által forgatott pedagógiai folyóiratokban kerülnek publikálásra. többnyire olyan pedagógiai folyóiratokban jelennek meg, amelyeket a pedagógusok zöme nemigen forgat. Pedig egy A tantárgyi tartalomba ágyazott fejlesztõ kísérletnek a tudományos eredményeik mellett számos érdekes vonatkozása lehet a tantárgy módszertanára is. Egy iskolai fejlesztõ ilyen kísérlet megszületése általában egy, a gyakorlatban megtapasztalt hiányt, a tantárgy egyes összetevõinek tanításánakban, tanulásánakban fennálló nehézségéet hivatott kompenzálni. Í, így tehát számos olyan a mindennapi tanulási-tanítási folyamatba beépíthetõ, annak hatékonyságát növelõ ötlet meríthetõ belõle. mely a mindennapi tanulási-tanítási folyamatba beépíthetõ, annak hatékonysága általa növelhetõ. Ezzel a céllal vállalkozunk Ennek megfelelõen vállalkoztunk arra, hogy a realisztikus matematikai problémamegoldás terén felleltra vonatkozó fejlesztõ kísérletek színes palettájából válogassunk az olvasó számára. A valós életben való matematikai problémamegoldással foglalkozó fejlesztõ kísérletek elõtt De mielõtt ismertetnénk magukat a kísérleteket, röviden szólunk azok fejlesztõ kísérletek tudományos jellegérõl, jellemzõirõl szólunk röviden hátterérõl.

A pedagógiai fejlesztõ kísérletek elméleti alapjai

A pedagógiai kísérletek sajátossága, hogy nem egy izolált laboratóriumi környezetben légkörben történnek, hanem az iskolák adnak színteret nekikban zajlanak. Az ilyen kísérletek elõtt álló talán legnagyobb kihívás, hogy megfeleljenek az iskolai használhatóságnak követelményének, azaz gyakorlatábani módon integrálódjanak épüljön bele az iskolai miliõbe. (Csapó, 2003) A fejlesztõ programok egyik fontos mutatója az ökológiai validitás, ami arra vonatkozik, hogy a fejlesztés milyen mértékben változtatja meg az iskola természetes környezetét, és így a kísérleti eredménye mennyire magyarázható a fejlesztés tartalmával és mennyire a fejlesztés tényével. Az ökológiai validitás szinte minden kísérletnél esetében kényes kérdést jelent. Ha az eredmények laboratóriumi körülmények között születnek, ahol a megfigyelt viselkedésre szigorú kontroll irányul alatt van, akkor az eredmények igazából semmitmondóak számunkra, irrelevánsak lesznek a laboratóriumon kívüli világban való viselkedés tekintetében, azaz a kísérlet külsõ világra vonatkozó validitása hiányzik. a kísérletnek. (Davis, 2000) A pszichológiai terminust neveléstudományira fordítva azt mondhatjuk, hogy – a laboratóriumnak megfelelõ – a gyakorlóiskolákban – ahol, akár egy laboratóriumban, a legtöbb hatást kontroll alatt tudjuk tartani -- a kimért eredmények, ahol a legtöbb hatást kontroll alatt tudjuk tartani, bizonyos szempontból irrelevánsak a legtöbb, nem kiemelt iskola szempontjából irrelevánsnak tekinthetõk.
Sok változó megváltoztatása esetén kontrolálhatatlan a fejlesztés hatásának kimérése, hiszen lehetetlen elkülöníteni egymástól a különbözõ változókban történõ változtatás hatásait. Ha túl sok változó módosul, többé nem leszünk képesek mérni a fejlesztés hatását, mivel nem tudjuk elkülöníteni egymástól az egyes változókban bekövetkezõ módosulásokat. A placeboó hatás kiiktatásaához is szükség van arra, hogy a kísérlet az iskola természetes menetébe való minél természetesebben illeszkedjen. észrevétlenebb beágyazódást kívánja. Ez annyit jelent, hogy célszerû minimalizálni azt a munkát, amit a tanároknak többletmunkaként kell elvégezniük, nem vesszük túlzott kontroll alá az osztálytermekben folyó oktató munkát. a tanárokra háruló többletmunkákat, valamint az osztálytermekben folyó oktatás kontrollját. A fejlesztõ kísérletek összeállításakor fontos szempont, hogy a külsõ körülmények, illetve a felhasználásra kerülõ eszközök kivitelezhetõek-e az oktatás hétköznapi gyakorlatában.
A fejlesztõ kísérlet, fejlesztés tudományos alapú hatásának megállapítása egzaktabb nincsenek olyan hatásjavító faktort, melyek áttekinthetetlenné, kontrolálhatatlanná teszik a kísérlet eredményeit. A fejlesztõ kísérletek eredményének mérése egzaktabb, tudományos alapokon történik. A feladatokhoz csatolt utasítások, kommentárok hatását mérõ faktorok és a realisztikus reakciók száma között nem mutatható ki kapcsolat, így ezek nem teszik áttekinthetetlenné a kísérlet eredményeit. Vannak olyan tényezõk azonban, melyeket a fejlesztés közben nem tudunk kiküszöbölni, ilyenek például a tanárok, az iskolák, vagy a családi háttér jellemzõiben rejlõ különbségek. Ezeknek befolyásátet az eredmények értelmezésekor ajánlatos figyelembe venni., befolyásuk azonban Az egyéni és a csoportos különbségekbõl fakadó hatásokat a kísérletben részt vevõ osztályok, vagy csoportok egy bizonyos nagyságot meghaladó száma biztosíthatja számának növelésével kompenzálható.
A pedagógiai fejlesztõ programok hatása sokféle módon, sok szempont alapján mérhetõ. Egy tantárgyhoz kötött fejlesztés eredményességét mérhetjük a diákok osztályzataiban valónak javulássalával, vagy a tanár tapasztalataiokon alapuló véleményével, de bár ez utóbbi mindez eléggé szubjektív. Számszerû eredményt kapunk, ha a fejlesztés elõtt és a fejlesztés után alkalmazott teszteken elért eredmények különbségét tekintjük a fejlesztõ program erejének, alapul véve mérjük fel a program fejlesztõ hatását. E, bár ez az eljárás nem számol azzal a lehetõséggel, hogy a diákok a fejlesztõ kísérlet nélkül is fejlõdhettek volna a vizsgált idõszak alatt. A kísérleti hatásnak nevezett matematikai fogalom ezzel a jelenséggel kalkulál, és számszerûsíti, hogy a mért különbségek milyen arányban tulajdoníthatók a kísérleti beavatkozásnak.

Metakogníció, metakognitív stratégiák a fejlesztõ kísérletekben

	Számos realisztikus matematikai problémamegoldást fejlesztõ kísérlet metakognícióra alapozott, azaz metakognitív stratégiák tanításával operál. Ezért elöljáróban röviden ismertetjük a metakogníció elméleti alapjairól szólunk rövident. Közel három évtizede elfogadott és helytálló a metakogníció definiálásában Flavell (1979) alapgondolata, miszerint meghatározása: a metakogníció a tudásra vonatkozó tudás (cognition about cognition). 
A szakirodalomban bõségesen található nagy bõségben fellelhetõ definíciók közül ez mondható a legáltalánosabbnak és, tûnik a legalkalmasabbnak egy igen tág és sokszínû tudományterület esernyõfogalmának meghatározására. olyan esernyõfogalom világos megragadására, amely több, egymástól eltérõ tudományterületet fog át. A neuroanatómiai kutatásoktól, melyekben a problémamegoldás közben legaktívabb agyi területeket vizsgálják, a feladatmegoldást követõ kérdõíves felmérésekig, ahol arra kérik a diákokat, hogy utólagosan számoljanak be gondolkodási folyamatuk jellemzõirõl, szerteágazó a metakogníció kutatása, de számos területet érint a metakogníció témaköre. Ezek közösek abban, hogy minden esetben az emberi gondolkodás két, hierarchikusan egymásra épülõ szintjét feltételezik: a tárgyi szintet és a metaszintet. A célból, Azért, hogy a problémamegoldás fázisait valóban egy jól megválasztott metakognitív stratégia vezérelje, nélkülözhetetlenek az olyan fejlesztõ feladatokra van szükség, mely feladatokek megoldásában ténylegesen szükség van a probléma értelmezésére, a megoldás nyomon követésére, majd a végeredmény ellenõrzésére, mert ezen lépések nélkül a problémamegoldó nem képes tud a problémára kielégítõ választ adni. Az ilyen fejlesztõ kísérletek – egyes miközben tantárgyakba ágyazott feladatokat, problémákat használvanak – tananyaghoz kapcsolt képességfejlesztõ programokként valósulnak meg.

A rRealisztikus matematikai problémamegoldást fejlesztõ kísérletek

Elsõ kísérlet

“A realisztikus matematikai modellalkotás tanítása” (Verschaffel, Greer és De Corte, 2000) (1)

A Leuven-i Katolikus Egyetemen (Belgium) mûködõ kutatási központ kísérleteinek célja, hogy fejlessze a matematikai vonatkozású realisztikus problémák helyes, realisztikusságot megtartó modellezõ képességét a tanulókban (Verschaffel, Greer és De Corte, 2000). A következõkben ezen kísérletek közül mutatunk be néhányat.
Verschaffel és De Corte (1997) A korábbi kutatási eredményeikre alapozva, alapján összeállítottak egy kismintás fejlesztõ kísérletet. Korábban már melyek feltárták, hogy a diákoknak azt aznál általánosnak mondható tendenciájáta, hogy szöveges matematikai feladatok megoldásából kizárják a valós világból szerzetta közben figyelmen kívül hagyják tapasztalataikat és a világról való elõzetes tudásukat., ismereteiket, Verschaffel és De Corte (1997) egy kismintás fejlesztõ kísérletet indítottak el, melyben a diákoknak Az új kísérlet célja az volt, hogy átformálja a diákok elképzeléseit az életszerû matematikai feladatok megoldásához szükséges tudásról és arról, hogyan kell a szöveges feladatokat a matematika nyelvére lefordítani.  és matematikára fordítás szabályairól való elképzeléseit kívánták átformálni, valamint Ezenkívül a kísérlettel a kutatók fejleszteni kívánták a matematikai problémák realisztikusabb modellálását is fejleszteni. Három ötödik osztály vett részt a kísérletben. 19 fõ alkotta a kísérleti, és 18, valamint 17 fõ a kontroll csoportokat. A fejlesztõ program öt darab két és fél órás tanítási egységbõl állt, melyek kb. egy két-három hetes idõszakot öleltek át. A fejlesztést nem iskolai tanárok, hanem kutatók vezették.
A fejlesztõ kísérlet lényege abban állt az volt, hogy nem tradicionális, a matematika órákon általában hagyományosan alkalmazott, sztereotip szöveges feladatokkal, hanem nem rutinszerû a rutintól eltérõ, realisztikus problémaszituációkkal ismertették meg a diákokat tanulókat., melyek úgy voltak megalkotva, hogy arra Ezeket a szituációkat úgy alkották meg, hogy ösztönözzék a diákokat, hogy vegyék észre a realisztikus feladatok modellálásában rejlõ összetettséget, és tegyenek különbséget és a realisztikus és a sztereotip megoldások között közti különbség felismerésére. A tanítási egységek egy-egy olyan probléma köré épültek fel, melyek realisztikus feladatok megoldásakor tipikus hibaforrások lehetnek. Az elsõ egység arra fókuszált, hogy egy osztás eredményének milyen realisztikus értelmezései lehetnek (felsõ egész rész, alsó egész rész, pontos érték, maradékos osztás). Az ilyen DWR (division with remainder) feladatok prototípusaként a “katonai busz” problémát említjük.a:

“Katonai buszok”: 300 katonát 8 fõs katonai kisbusszal a gyakorlótérre szállítanak. Hány katonai buszra van szükség?

A feladat rutinszerû megoldása 37,5 darab buszt eredményez,; ami ehelyett a realisztikus válasz a felsõ egész rész, azaz 38 busz.  A második tanítási egység az egymástól nem független elemek egyesítésével és metszetével kapcsolatos problémákat dolgozta fel. Ilyen típusú feladat a “születésnapi parti”, amelyire a realisztikus válasz nem egy szám, hanem annak valamely formában történõ jelzése, hogy nem tudhatjuk a megoldást ha a tanuló valamilyen formában feltünteti, hogy a feladatnak nincs megoldása. 

“Születésnapi parti”: Karcsinak 5 barátja van, Gyurinak pedig 6. Karcsi és Gyuri úgy döntöttek, hogy együtt rendezik meg születésnapi bulijukat. Meghívták valamennyi barátjukat, akik mind el is jöttek. Hányan voltak a bulin?

A harmadik témát az olyan problémák adták, amelyekben elsõ ránézésre nem egyértelmû, hogy összeadást, vagy kivonást kell alkalmazni, illetve a helyes válasz eggyel több, vagy kevesebb, mint amit a számokkal való aritmetikus mûveletek eredményeznek végeredménye. Ilyen feladat például, ha a megadott születési évszámbóõl az életkor kiszámítását kéri a feladatjük.

 “Életkor”: István 1993-ban született. Most 2006-t mutat a naptár. Hány éves István?

Az ilyen típusú feladatoknál a kulturális szokások is befolyásolhatják a feladatmegoldót: vannak, akik Istvánt 2006. január 1-tõl 13 évesnek mondják, de vannak, akik csak a születésnapjától számítják õt 13 évesnek. A feladat célja épp az lehet, hogy megkérdõjelezze, tompítsa azt az egyre mélyebben beépülõ attitûdöt, hogy egy matematikai szöveges feladatra egy szám megadása a helyes megoldása mindig egy szám. , megkérdõjelezze, tompítsa.  A negyedik alkalommal olyan feladatokkal találkoztak a gyerekek, melyek megoldásakor számba kell venni olyan releváns információkat is, számolni kell olyan információkkal is, amelyek nincsenek benne explicit módon expliciten benne a feladat leírásában, de a feladatmegoldónak a józan eszét használva ki kell azokat következtetnie hanem a feladatmegoldónak kell azokat következtetnie a józan eszét használva.. Ilyen például a “kötél” feladat.:

“Kötél”: Egy ember kötelet szeretne kifeszíteni két, egymástól 12 méterre lévõ rúd között, de csak 1,5 méteres kötéldarabjai vannak. Hány darabot kellene ezekbõl összekötöznie, hogy átérjen a kötél a két rúd között?
A gyakori, de nem realisztikus válasz a 8 darab, de mivel ez esetben a feladatmegoldó nem számol a csomókhoz szükséges mennyiséggel.  Az ötödik egység az arányossággal foglalkozott, azon belül is különösképpen elsõsorban azzal, hogy hogyan kell különbséget tenni az olyan esetek között, amelyek megoldása az egyesen arányosság közvetlen alkalmazását kívánja, és azok között, amelyeké nem. Ilyen például a futással kapcsolatos feladat probléma.:

“Futás”: Betti legjobb eredménye a 100 méteres futáson 17 másodperc. Mennyi idõ alatt fogja lefutni az 1 kilométert?

Verschaffel és De Corte kísérletének az volt az egyik legfõbb célja  A kísérlet egyik legfõbb célja abban állt, hogy a megszokottól különbözõ eltérõ, toleráns osztálytermi légkört teremtsen, amiben ahol újraértelmezhetõ az, hogy mit tekintünk “jó” matematika feladatnak, “jó” megoldási menetnek, “jó” válasznak. Ez a megszokottól eltérõ légkör McNeal és Simon (2000) terminusával a “matematikaórai osztálytermi kultúrára” vonatkoztak ezek a változtatások, melyet úgy definiáltak a szerzõk, hogy mely a szerzõk definíciója szerint azt jelenti, hogy: az a közös tudás, mely a matematikaórán való tevékenységekre vonatkozó viselkedési mintákat tartalmazza.
A fejlesztõ kísérlet végén az utóteszt feladatainak megoldásához a fejlesztés alatt megismert feladatok közeli tranfszerálására volt szükség. Az egyik kontroll osztályban az utóteszt elõtt 15 perces bevezetõt tartottak, melyben melynek során felhívták a diákok figyelmét arra, hogy a teszt tartalmazhat olyan feladatokat, melyeknek csupán hogy bizonyos feladatoknál a rutinszerû, a kapott számokkal való aritmetikai mûveletvégzéses megoldása rossz végeredményhez vezethet. A fejlesztés után egy hónappal egy késleltetett teszt következett, mely tíz realisztikus problémát tartalmazott. A feladatok egyik fele az elõtesztben alkalmazott problémákkal, másik fele a közeli transzfert igénylõ utóteszt feladataival voltak analógok.
A fejlesztõ kísérlet hatásait vizsgálva a kutatók megállapították, hogy a kísérleti csoport teljesítménye szignifikánsan javult a fejlesztés alatt, míg a két kontroll csoport teljesítménye nem mutatott szignifikáns változást. További eredmény, hogy az öt tanult item esetében a javulás nagyobb volt, mint az öt közeli transzfert igénylõ feladatnál esetében.
A fejlesztés hatásának megmaradásáról elmondható, hogy a kísérleti osztály a közeli és a távolabbi tranfszert igénylõ feladatokra a késleltetett utómérésen lényegében egyforma mértékben, 40 százalék körül adott realisztikus választ,. mely arány Ez lényegesen jobb, mint egy nulláról induló csoportnak a realisztikus matematika feladatokból álló teszten való eredménye. Megjegyzendõ Meg kell jegyeznünk, hogy még a fejlesztett osztályokban is relatíve kevés maradt az realisztikus válaszok száma viszonylag kevés realisztikus válasz született, azaz a fejlesztés nem oldotta a probléma nem oldódott tökéletesen meg minden gyerek és minden feladat esetében tökéletesen a problémát.

Második kísérlet

“A hétköznapi tudás alkalmazását igénylõ matematikai problémák megoldásának tanulása” (Verschaffel, De Corte és Lasure, 1994) (2)

Verschaffel, De Corte és Lasure (1994) egy olyan fejlesztõ kísérletet indítottak el, melynek célja a tanulási és tanítási környezet megváltoztatása és tesztelése volt ötödik osztályos tanulók körében. A fent ismertetett fejlesztõ kísérlettel ellentétben ez a fejlesztõ program osztálytermi környezetben, az iskolai tanár vezetésével történt zajlott. Így ez Ezáltal a kutatás ökológiai validitás szempontjából magasabb fokú, vagyis ezáltal jobban dokumentálja a gyakorlat szempontjából fontos és hasznos jelenségeket.
A fejlesztésnek egyik célja az volt, hogy a tanulók elsajátítsanak olyan általános stratégiákat, melyek a matematika alkalmazását kívánó feladatok megoldása esetén hasznosak hasznosnak bizonyuló általános stratégiákat. Ezeket a stratégiákat a kutatók a következõ öt lépésbe foglalták össze.:

1. A probléma mentális reprezentációjának megalkotása (ábrakészítés, lista, séma vagy táblázat készítése, a hasznos és a felesleges adatok megkülönböztetése, a valós világból való ismeretek alkalmazása).
2. Annak eldöntése, hogy hogyan oldjuk meg a problémát (folyamatábra készítése, becslés és ellenõrzés, mintakeresés, a számok egyszerûsítése).
3. A szükséges számolások elvégzése.
4. A végeredmény értelmezése és a válasz megalkotása.
5. A megoldás ellenõrzése.

A fejlesztés másik célja a matematikára és a matematikai problémákra vonatkozó meggyõzõdések (beliefs) és attitûdök átformálása volt. Fontosnak tartották, hogy a diákok attitûdjébe beépüljenek olyan rugalmasabb elemek, mint például “egy matematika feladatnak lehet több helyes megoldása is”, vagy hogy “egy matematikai probléma megoldása lehet esetenként igen nehéz és idõigényes”.
A fejlesztõ kísérlet sokféle, gondosan összeállított komplex, realisztikus, kihívást jelentõ, nyitott feladatokat alkalmaztakott, melyek megoldása megértést és metakognitív stratégiák alkalmazását kívánta meg. Néhány probléma egyszerû szövegként, mások a tanár által elmesélt sztoriként, vagy újságcikként, komikus ábraként, táblázatként, vagy ezek különféle kombinációiként kerültek bemutatásra.

Az órákat a tanár és a diákok változatos tevékenységére alapozva tervezték meg. A legtöbb óra Verschaffel és De Corte (1997) fejlesztõ kísérletének instrukciós modelljét követte, azaz egy probléma tárgyalása kiscsoportos munkával kezdõdött, melyet osztályszintû megbeszélés, majd egyéni feldolgozás követett, s végül szintén osztályos megbeszéléssel zárult. A tanárnak az volt a szerepe, hogy motiválóan, bátorítóan reagáljon a kognitív és metakognitív tevékenységekre.
A beavatkozások elsõdlegesen arra irányultak, hogy újfajta szociomatematikai normákat építsenek ki, hogy olyan osztálytermi klíma jöjjön létre, amely hozzájárul a diákok pozitív meggyõzõdéseinek kialakulásához a matematikaórát és a matematikai szöveges feladatokat illetõen. A szociomatematikai normák nemcsak a tanulókra, hanem a tanárra is vonatkoznak. Ilyen új, kialakítandó normák például a következõk:

- “Ne várjátok, hogy a tanár jelentse ki, hogy melyik megoldás helyes, illetve helytelen, hanem ezt a döntést az osztály együtt hozza meg azután, hogy értékeli az érveket és az ellenérveket az összes megfelelõ megoldást illetõen!”
- “Sok matematikai problémát különféle módon meg lehet oldani, lehet interpretálni.”
- “Néha a durva becslés jobb megoldást ad a problémára, mint az egzakt válasz.”
- “A profi problémamegoldó megoldási menete nem minden esetben számolásból, vagy számolások sorozatából áll. Sok esetben az ábra vagy diagramm készítése segíti a problémamegoldást a legjobban.”

A fejlesztõ kísérlet 20 darab egy-másfél órás foglalkozásból állt, melyeket a kutatócsoport a tanárok véleményeinek figyelembevételével állított össze. Az órákat tartó iskolai tanárok a fejlesztõ program elõtt alapos felkészítéstben részesültek, hogy képesek legyenek kialakítani a megfelelõ tanulási környezetet. A felkészítés egy elméleti alapozásból, a fejlesztõ órák egyesével történõ áttekintésébõl, a felmerülõ problémák, szituációk megbeszélésébõl, valamint abból állt, hogy az órákat egy kutató bemutatta. és az óráknak egy kutató által történõ bemutatásából állt. A program megvalósítása közben rendszeres konzultáció segítette a tanárokkal és az igazgatók munkáját.
Heti két fejlesztõ alkalom mellett a program kb. három hónapig tartott.; és A program három elkülönülõ részbõl állt:

1. az új tanulási környezet bevezetése, a rutin feladatok és a valós problémák közötti különbség megfogalmazása (1 óra);
2. az öt lépésbõl álló problémamegoldó stratégia és a benne rejlõ megértési lépcsõk szisztematikus elsajátítása (15 óra);
3. annak megtanulása elsajátítása, hogy komplexebb feladatok megoldása közben hogyan kell használni spontán és rugalmas módon a megtanult problémamegoldó modellt különféle komplexebb projektnek tekinthetõ feladatok, problémák megoldása közben, lehetõleg spontán és rugalmas módon (4 óra).

A kísérletben négy ötödik osztályos kísérleti és hét kontroll osztály vett részt. Az elõtesztelés egy matematikai teljesítménytesztbõl és realisztikus matematikai szöveges feladatokat tartalmazó tesztbõl, valamint egy kérdõívbõl állt, amelynek egyik része a matematikai szöveges problémákhoz való affektív viszonyulást, míg a másik fele része a szöveges feladatok megoldásmenetével kapcsolatos elõítéleteket vizsgálta. Mindkét csoportból három diákkal strukturális interjút is készítettek, amelyek keretében öt komplex realisztikus szöveges feladatot kellett a diákoknak megoldaniuk. Az interjúkat videóra rögzítették, melyeket utólag arra használtak, hogy felderítsék a diákoknak segítségével késõbb megvizsgálhatták a problémák megoldása közben használt közben megjelenõ tanulói heurisztikáikat és metakognitív stratégiáikat

A fejlesztés végén a tanulók a három elõteszt analóg változatát oldották meg, illetve töltötték ki a tanulók, és a A fejlesztés elõtt interjúval is vizsgált gyerekek újra részt vettek egy hasonló strukturális interjún. Majd hHárom hónappal késõbb késleltetett utótesztelést végeztek a problematikus szöveges feladatoknak analóg változatait tartalmazó teszttel.
Az elõteszten a kísérleti és a kontroll csoportnak a realisztikus szöveges feladatokonban való elért teljesítményei között nem mutatkozott szignifikáns különbség, míg a fejlesztés utáni utóteszten, és a késleltetett utóteszten a kísérleti osztályok szignifikánsan jobban teljesítettek. Azonban a fejlesztett osztályok A teljesítményjavulásuka még így is kisebb volt a vártnál még így is kisebb volt. K: kevesebb mint 50 százalékban adtak realisztikus választ a szöveges feladatokra.
A kontroll csoporttal összehasonlítva a kísérleti csoport tanulóinak a matematikai attitûdje, valamint a matematikai szöveges feladatokkal szemben támasztott elvárásai, meggyõzõdései szignifikánsan ugyan, de kis csak mértékben javultak. A hagyományos matematika teszten való teljesítményük szintén szignifikánsan jobb volt, mint a kontroll osztályok tanulóinak teljesítménye. I , itt a javulás már elérte a közepes szintet. közepes mértékû. Ez azt jelenti, hogy a realisztikus szöveges feladatok fejlesztésének pozitív transzfer hatása figyelhetõ meg a tanulók hagyományos matematikai tudására vonatkozóan.

A harmadik kísérlet

“Jasper kalandjai” (Cognition and Technology Group, Vanderbilt)

A CTGV kutatóközpont 1992-ben kidolgozott egy videofilmekre alapozott komplex problémamegoldó csomagot, mely – az elsõ kitalált történet fõhõsének neve után – “Jasper-kalandok” néven vált ismertté a tudományos köztudatban. (Bransford, Zech és mtsai, 1996)
A Jasper-sorozat 12 olyan videoófilmet foglal magában, amelyek egy érdekes felfedezõ kaland elmesélésének keretében egy-egy matematikai fogalmat vezetnek be, mint: például távolság, idõ, arányosság, statisztika, valószínûség, geometria, algebra.
Az elsõ Jasper-kalandban (Utazás a Cédrus-öbölbe) egy öreg jachtot akar Jasper megvenni.; a A vásárlást megelõzõ próbautat dolgozza fel a film. A diákoknak azt el kell eldönteniük, hogy a hajó hazaér-e napnyugta elõtt (mert a fényszórója elromlott), és hogy van-e elég üzemanyaga, illetve valamint hogy Jaspernél van-e elég készpénz ahhoz, hogy üzemanyagot vegyen bele. A Boone-mezõ mentõakció címû részben egy sérült sas életét kell megmenteni. sok és igen különféle paraméter szem elõtt tartása mellett. A tanulók feladata az, hogy megtalálják a leggyorsabb mentési módot és megmondják, hogy mennyi idõt vesz igénybe., miközben több különbözõ paramétert tartanak szem elõtt. Három Jasper-kaland (A nagy csobbanás, Egy óriási ötlet, Áthidalni a szakadékot) üzleti tervek kidolgozását, és statisztikai fogalmak bevezetését, megértését célozza meg. A Terv a sikerre, A derékszög, A hatalmas körverseny filmek a geometria témakörét dolgozzák fel. A, a Working SMART, Kim tölcsére, Nincs meg a tábornok részek pedig az algebrába vezetik be izgalmasan a tanulókat. A SMART (Special Multimedia Arenas for Refining Thinking), “Gondolkodás Finomítására Szolgáló Speciális Multimédiás Területek” módszer a telekommunikációs, televíziós technikákat, valamint az Internetet használja, hogy megfelelõ visszacsatolást biztosítson a tanulóknak olyan más diákokrtól, akik szintén megoldották az adott Jasper-kalandot. A diákok tanulók megnézhetik mások munkáját, és eldönthetik, hogy módosítani akarják-e a saját tervüket, megoldásukat, vagy sem.
Vershaffel, Greer és De Corte (2000) szerint a Jasper-kalandok módszertanilag a következõ öt alapelvre épülnek:

1. Videoófilmesmel való prezentálásció (Video-based presentation format), amely azon a felismerésen nyugszik, mely arra alapoz, hogy a médiumok által közvetített szituációk az információkat sokkal gazdagabb és realisztikusabb kontextusban tálalják, mint az írott szöveg változat.
2. Elbeszélõ jelleg (Narrative format), azaz a megoldandó probléma egy történetbe ágyazódikva kerül prezentálásra, és ez az értelemmel bíró történeti környezet segíti a diákokat a probléma feldolgozásában.
3. Alkotó jelleg (Generative structure), ami azt jelenti, hogy azzal, hogy azaz a diákoknak maguknak kell megoldaniuk a történet problémáit, és ezáltal a befejezését is, így maguk is érdekeltté válnak a feladatmegoldásban.
4. Történetbe ágyazott adatok (Embedded data design),: azáltal, hogy a releváns információk a történetbe vannak ágyazva, a diákoknak maguknak kell azonosítaniuk a problémát, majd különválasztani a kontextustól  és a matematikai formákat.
5. Komplex problémák alkalmazása (Problem complexity), melyek megoldása sok esetben akár több mint 15 közbülsõ lépést, vagy alproblémát is tartalmazhat. Ez lehetõséget biztosít a diákok számára, hogy elsajátítsák a hosszú távon fenntartottú matematikai gondolkodás, problémamegoldás képességét.

Az eredmények szerint a matematikából az átlag fölött teljesítõ diákok is sok esetben csak igen nehezen tudják megoldani a Jasper-filmekben felmerülõ problémákat. Bár rendelkeznek A diákoknak általában megvan a Jasper feladatok megoldásához szükséges matematikai tudásuksal, nehézségeik az alproblémákra való bontással és azok megoldásával nehézségeik támadnak vannak, ami nem meglepõ, hiszen a hagyományos matematikaoktatás nem készíti fel a diákokat õket a komplex problémák feldolgozására és megoldására.
A Jasper-sorozat kezdeti tanulmányozása után számos további vizsgálatra került sor, amelyek azt mérték, hogy a programnak milyen a tanulásra való közvetlen hatásátsal van a tanulásra, illetve milyen mértékû transzfert képez hatását mérték. Az egyik vizsgálatban jó képességû ötödik osztályos tanulókat vizsgáltak. E egy Jasper történetet néztek meg videón, majd ezt követte az elõtesztelés, melynek során után a diákokat két részre, kísérleti és kontroll csoportba osztották. A kísérleti csoportban a tanulóknak látott Jasper-kaland utazástervét kellett elkészíteniük készítették el, ezután a felmerülõ problémákat analizálták és oldották meg a felmerülõ problémákat. A kontroll csoportban viszont hagyományos tanóra keretében olyan a Jasper-történetekben megjelenõ lévõ hagyományos szöveges feladatokat oldottak meg, amelyek egy- vagy kétlépéses aritmetikai mûveleteket írtak le leíró hagyományos szöveges feladatokat oldottak meg a tanulók. A három egyórás fejlesztési szakasz végén három utóteszt következett. Az elsõ Egyik, a közösen látott Jasper-történet feladatait tartalmazta, a második következõ utóteszt egy másik videós történet volt, mely az eredeti kaland feladataival izomorf problémákat tartalmazott másik történetbe ágyazva. A harmadik mérõeszköz hagyományos, egy- vagy kétlépéses szöveges feladatokból állt. Az elsõ két teszten a kísérleti csoport tanulói szignifikánsan jobb eredményt értek el, míg a hagyományos teszten nem volt különbség a kísérleti és a kontroll csoport teljesítménye között.

Negyedik kísérlet

“IMPROVE: Egy többdimenziós módszer a matematikatanításra heterogén osztályokban” (Mevareck és Kramarski, 1997) (3)

Zemira R. Mevareck és Bracha Kramarski (1997), az izraeli Bar-Ilan egyetem kutatói fejlesztették ki az IMPROVE többdimenziós oktatási módszert, melynek célja a diákok matematikai gondolkodásának fejlesztése. A módszer neve (amely önmagában is azt jelenti, hogy "javítani") az alkalmazott tanítási lépések kezdõbetûibõl betûszavaként állt össze, melyek a következõk.

1. Introducing new concepts (Új fogalmak bevezetése)
2. Metacognitive questioning (Metakognitív kérdések)
3. Practicing (Próbálkozások)
4. Reviewing and reducing difficulties (A problémában rejlõ nehézségek vizsgálata és csökkentése)
5. Obtaining mastery (Tökéletes megoldás)
6. Verification (Igazolás)
7. Enrichment (A tanulságok levonása)
(kivettem a kövérítést, és felcseréltem a magyar és az angol kifejezések sorrendjét a zárejelekben)

Az IMPROVE foglalkozásai frontális munkával kezdõdnek, majd melyet a diákok heterogén csoportokban való tevékenységgel folytatódnak munkája követ. A csoportok általában négyfõsek, egy jól, két közepesen és egy alacsonyan teljesítõ diákból állnak.  A csoportmunka alatt a diákok metakognitív kérdéseket tesztnek fel egymásnak. Az alkalmazott metakognitív kérdések, ezek egyik fajtája a megértésre vonatkozó kérdések, melynek célja, hogy a tanulók megragadják a probléma lényegét. Ilyen kérdés például: “Hogyan mondanád el a problémát a saját szavaiddal?” A metakognitív kérdések második osztályát a stratégiai kérdések alkotják, melyek a problémamegoldáshoz szükséges megfelelõ stratégia kiválasztását segítik. A kérdések harmadik csoportja a kapcsolatokat feltáró kérdéseké, amelyek melyek az aktuálisan megoldandó és a már régebben megoldott problémák közti akár a matematikai mélystruktúráját, akár vagy a feladat kontextusát érintõ hasonlóságokat és különbségeket hivatottak feltárni.
Az elsõ kísérlet célja annak megismerése volt, hogy az IMPROVE használata hogyan befolyásolja a különbözõ képességû diákok matematikai teljesítményét. Három osztály 99 tanulója alkotta a kísérleti csoportot és öt osztály 148 diákja a kontroll csoportot. Az IMPROVE használatának megkezdése elõtt felmérték mindkét csoport matematikai teljesítményét egy olyan teszttel, amelynek az egyik fele egy része hagyományos matematikai feladatokból állt, míg a másik fele másik része olyan speciális feladatokból, melyek -- a diákoknak a matematikai gondolkodását kívánta közvetlenül mérõni -- feladatokból. Ilyen feladat például a következõ:.

“Robi azt állítja, hogy az X/X (X nem egyenlõ 0) mindig 1. Sára azt mondja, hogy az X/X értéke attól függ, hogy X mekkora. Kinek van igaza? Magyarázd meg a döntésedet!”

Minden feladat végén a diákokat arra kérték a diákokat, hogy indokolják meg a válaszoukat, és magyarázzák is el. A fejlesztõ kísérlet megkezdése elõtt a programot vezetõ tanárok részt vettek egy kétnapos intenzív tréningen, melyen a matematikatanítás általános céljaitól kezdve a módszer elméleti hátterének megismeréséign át, a módszer és gyakorlati alkalmazásáigval kapcsolatos minden kérdéseket egyaránt megbeszélteék. Az tananyagon végigmentve átvették velük, hogy az IMPROVE-val hogyan tanítsák a diákoknak a matematikát. A fejlesztõ program ideje alatt kéthetenként a program vezetõi felkeresték a fejlesztésben résztvevõ pedagógusokat, hogy megbeszéljék az esetlegesen felmerülõ problémákat, illetve hogy tanácsokkal lássák el õket.
A program eredményeként elmondható, hogy az IMPROVE-val tanuló csoport a fejlesztõ program után az algebra teszten szignifikánsan jobb eredményt ért el, mint a kontroll csoport. A képességek szerinti csoportok vizsgálatából az derült ki, hogy csak a közepesen és a jól teljesítõ diákok esetében mutatkozik szignifikáns javulás a matematika teljesítményük terén, míg a gyenge képességûekkel rendelkezõ tanulók teljesítménye nem növekedett számottevõen. gyerekek esetében ez nem mondható el. A matematikai gondolkodást közvetlenül mérõ teszten mindhárom teljesítménykategóriában azonban szignifikáns különbséget mértek a kísérleti és a kontroll csoport teljesítménye között.
A második fejlesztõ kísérletben hat darab hetedik osztály 164 tanulójátnak vizsgálták egy egész tanéven keresztül; a diákokat IMPROVE módszerrel oktatták matematikára. át tartó IMPROVE-val való matematikatanítása volt. Az elõzõ kísérlethez hasonlóan ez esetben is az év végén szignifikáns különbség mutatkozott a kontroll és a kísérleti csoport között a kísérleti csoport javára, míg bár az év elején a két társaság az alkalmazott algebra teszten hasonló eredményeket ért el. A képességcsoportokat tekintve megállapították, hogy a jól és a közepesen teljesítõ tanulók esetében lényeges javulást figyeltek meg eredményezett a teszt. A legsikeresebbnek a közepes képességcsoportba tartozó diákok esetén mutatkozott a fejlesztés, az õ év végi teljesítményüknek az átlaga elérte a kontroll csoport jó képességû tanulóinak csoportjának az év végi átlagát. A gyenge képességû tanulók teljesítményét ez esetben sem sikerült szignifikáns módon javítani.
Az IMPROVE módszer egyik nagy elõnye, hogy a csoportmunkávala a feladattal kapcsolatos gondolataikat megvitatására ösztönzi a diákokat,. íÍgy Ez azt eredményezi, hogy szükségképpen kialakul egy olyan formális nyelv, melyen egzakt módon tudnak beszélni tudnak a matematikáról., mMásrészt megtapasztalhatják azt, hogy egy matematikai problémának több helyes megoldása is lehetséges, és végül, de nem utolsó sorban fontos, hogy harmadrészt a heterogén csoportokban a diákok segítik, fejlesztik egymás matematikai feladatmegoldó képességét, matematikai gondolkodását.

Ötödik kísérlet

“Metakognitív tréning versus kidolgozott feladatokat használó tanítás hatásai a diákok matematikai gondolkodására” (Mevareck és Kramarski, 2003) (4)

A fent ismertetett, az egész tanéven át tartó IMPROVE sikeressége után, a kutatók kipróbálták a módszert két tanéven keresztül is 122 nyolcadikos, majd kilencedikes tanulókból álló mintán való alkalmazását. A diákok viselkedését a csoportos feladatmegoldás közben videóra rögzítették és utólag elemezték. Az IMPROVE-val való fejlesztés két éve alatt a kontroll osztályokban hagyományos, elõre kidolgozott feladatok mentén segítségével tanultak a diákok., így össze lehetett hasonlítani A összehasonlították a metakognitív tréningnek és a kidolgozott feladatokra építõ tanítási módszernek a matematikai gondolkodásra, a matematikai és kommunikációra, valamint a diákok teljesítményére való gyakorolt hosszú távú hatását.
A tanulók teljesítményváltozását egy elõteszttel, egy közvetlen utóteszttel, és egy késleltetett utóteszttel mérték. A metakognitív tréninggel tanított csoportok teljesítménye a közvetlen utóteszten és a késleltetet utóteszten is felülmúlta a kontroll csoport teljesítményét. Emellett a kísérleti csoport diákjai a matematikai feladatmegoldásukat, a megoldást indoklását ügyesebben indokolták tudták interpretálni szóban is és írásban is.

Hatodik kísérlet

“Több tantárgyban alkalmazott metakognitív tréning hatása a matematikai gondolkodásra” (Mevareck és Kramarski, 2001)

A most bemutatásra kerülõ fejlesztõ kísérlet különleges csoport-elrendezõdést mutatott. lényege a kísérleti elrendezésben volt. A diákok egyik csoportja (MMT: multilevel metacognitive training) matematika órán és angol mint idegen nyelv órán is az IMPROVE módszerrel tanult, a másik kísérleti csoport (UMT: unilevel metacognitive training) csak matek órán használta az IMPROVE módszert, míg a kontroll csoport egyik órán sem találkozott ezzel a metakogníciót fejlesztõ módszerrel. A három csoport létszáma rendre 60, 60 és 62 fõ volt.
A kísérlet azt ûzte ki célul, hogy egyik célja az volt, hogy az egy tantárgyban, a két tantárgyban alkalmazott IMPROVE módszerrel tanulók, valamint az IMPROVE módszert nem ismerõ diákok matematikai gondolkodását hasonlítsa össze. Másodsorban mérni kívánta A másik célja abban állt, hogy a módszer transzferhatását mérje, azaz a programban nem szereplõ, valós szituációkat leíró feladatok megoldására való hatását figyeljék. A kutatók azt a hipotéziste fogalmazták meg, az volt, hogy a két tantárgyban alkalmazott metakognitív fejlesztésben részt vevõ MMT csoport teljesítménye lényegesen nagyobb javulást mutat majd, mint a csak matematika terén fejlesztett UMT csoporté., és Véleményük szerint ez a különbség nem a kettõs fejlesztés hatásának összeadódása miatt következik be jelenik majd meg, hanem mert az MMT csoport diákjai általánosítani tudják majd a metakognitív folyamatokat, és így általánosításával a speciális alkalmazási területek fölé emelve értik meg azok fontosságát. 
 A tanárok a fejlesztõ kísérlet megkezdése elõtt egy egynapos tréningen vettek részt, mely a problémamegoldás tanításának pedagógiai aspektusaira fókuszált.
A kísérlet során eElõtesztként egy matematikai teljesítményt mérõ feladatsort alkalmaztak. A, az utótesztelés pedig egy matematikai teljesítményt, matematikai indoklásokat és a valós életbõl való matematikai feladatok megoldásához szükséges transzferálási képességet ellenõrzõ mérõ matematika tesztbõl, valamint a metakognícióra vonatkozó kérdõívbõl állt. 

A matematika teszt feleletválasztós feladatokat és olyan nyílt végû problémákat tartalmazott, melyek speciálisan a diákok matematikai indoklásait mérteék fel: Ezen feladatoknál a végsõ válasz után a diákoknak meg kellett indokolniuk és el kellett magyarázniuk a válaszukat, hogy miért és hogyan adták éppen ezeket a válaszokat. A valós világ problémáinak megoldására irányuló a felé való transzfert a “pizza”-feladattal tesztelték, amely problémával mérték. Ez a feladat egy valós szituációt modellez:, melyben egy iskolai bulira a pizzarendelést kellett felvenni elvégezni. Különféle cégektõl kapott árajánlatok után a diákoknak azt kellett eldönteniük, hogy melyik cég ajánlata a legkedvezõbb, honnan rendeljék a pizzát. 
 A metakogníciót vizsgáló kérdõív itemei tartalmuk szerint a következõ négy csoportba oszthatók:

1. Stratégiák a megoldásmenetet megelõzõen (6 item)
(például: “Mielõtt elkezdek megoldani egy matematikai feladatot, megpróbálom elmondani a saját szavaimmal.”)
2. Stratégiák a megoldásmenet közben (5 item)
(például: “Ha meg kell oldanom egy matematikai problémát, az adatokat érdemes egy táblázatba rendeznem.”)
3. Stratégiák a megoldásmenet végén (7 item)
(például: “Miután megoldottam egy problémát, az eredményt leellenõrzöm, hogy logikus-e.”)
4. Általános problémamegoldó stratégiák a közös munkát illetõen (7 item)
(például: “Ha egy feladatot elmagyarázok a barátomnak, akkor azt én is könnyebben megértem.”)

Az eredményeket vizsgálva azt találták a kutatók, hogy az MMT csoport szignifikánsan jobb eredményt ért el a matematikai teljesítmény, a matematikai indoklások, a magyarázatok és a valós szituációt leíró, transzfert igénylõ feladat esetében terén, mint az UMT csoport. Az UMT csoportnak úgyszintén pedig mindhárom eredménye jobb volt, mint a kontroll csoporté. A metakogníciós stratégiákat vizsgálóról való kérdõív vizsgálata azt mutatjta, hogy az MMT csoport tagjai számoltak be a legtöbb metakogníciós stratégia használatáról, õket az UMT csoport tagjai, majd a kontroll csoport tagjai követték., de eEzek a különbségek azonban nem mind a négy típusú stratégiánál mutattak szignifikáns különbséget. Az UMT és a kontroll csoport átlagos értékei között egyik stratégiatípus esetén sem volt mérhetõ szignifikáns különbség.

Hetedik kísérlet

“Metakogníciós tréning: Egy nagyvállalati alkalmazás” (Clark és Palm, 1990)

A szerzõk arra vállalkoztak, hogy egy nagyvállalat nyolc menedzserének gondolkodási, problémamegoldási képességét fejlesszék metakogníciós tréning segítségével. (Clark és Palm, 1990) A fejlesztõ program megkezdése elõtt egy elõmérést végeztek, melynek keretében a menedzsereket arra kérték, hogy a kapott problémákat hangosan gondolkozva oldják meg. A feladatmegoldási kísérleteket magnóra rögzítették, majd melyeket késõbb kielemezteék. Mindez arra szolgált, hogy felmérjék a résztvevõk gondolkodásárai, és problémamegoldására jellemzõi hibákait. A mérés során hét alapvetõ, több alkalommal elõforduló hibát találtak, melyek kiküszöbölése lett a program egyik célja.
A program négy darab négy órás modulból állt, melyek egy kéthetes idõszakot öleltek át. Az elsõ alkalom a metakogníció fogalmának megismerésére, a tapasztalt problémamegoldási deficitek elmagyarázására szolgált, valamint és annak tudatosítására felismerésére, hogy a metakogníció lehetõséget ad ezeknek a hibáknak a kijavítására. A második órán páros munka következett, melyben az egyik fél hangosan megoldott egy-egy problémát oldott meg, míg a másik feladata az volt, hogy figyelje, kövesse nyomon követte a feladatmegoldást menetét, és a feladatmegoldóban megpróbálta tudatosítanisa az esetleges gondolkodásbeli hibákat. A harmadik és a negyedik alkalommal a résztvevõk fele egy bizottsági ülést játszott el, amelyein a céggel kapcsolatos problémákat beszéltek meg, míg a csoport másik fele pedig figyelemmel követte a tárgyalást, és visszajelzést adott a beszélgetõknek, ha gondolkodási deficitet észleltek.
Az utótesztnek az elõteszttel való összehasonlítása a problémamegoldás során elkövetett hibák terén jelentõs pozitív változást mutatott. A kísérlet egyik hiányossága az, hogy nem használ mért kontroll csoportot, de  -- bár ez egy cégen belül sokkal nehezebb lenne nagyobb feladat, mint például egy iskolában. Másik hiányossága, hogy fogyatékossága a résztvevõk kis létszáma alacsony. Ettõl függetlenül ez egy jelentõs kezdeményezésnek tekinthetõ a jövõre nézve, mivel most történt meg elõször, hogy kísérleti úton mérték menedzserek metakognitív fejleszthetõségét.  

Összefoglalás

Írásunkkal egy színes körképet kívántunk adni azokból a nemzetközi szakirodalomban publikált kutatásokból, amelyek a realisztikus matematikai problémamegoldást direkt módon vagy a metakogníciós stratégiák mentén fejlesztikõ kísérletekrõl., mivel mManapság Napjainkban egyre inkább elõtérbe helyezõdik erõsödõ törekvés a mindennapokban használható, “valóságközeli”, realisztikus matematikaoktatás igényeelõtérbe helyezése. Írásunk Tanulmányunk fõ célja az volt, hogy a fejlesztõ kísérletek tartalmi vizsgálata közben olyan példákat mutassunk a realisztikus matematikai problémákra példákat mutassunk, amelyek alkalmasak lehetnek arrra, hogy beépüljenek a gyakorlatba való beépítésre. Másrészrõl szerettük volna, hogy az olvasó bepillantást nyerhessenhasson az általában csak a szakterülettel foglalkozó kutatók szûk csoportja által ismert fejlesztõ kísérletek elméletébe és gyakorlatába. A matematikaoktatást megújító törekvéseket erõsíti, ha minél szélesebb kör számára válnak hozzáférhetõvében válnak ismertté a fejlesztõ kísérletekben használt tartalmaknak, s ha az alkalmazott feladatok vagy a belõlük merített ötletek nyomán által születõ új problémák beépülnek részévé válnak a mindennapi tanítási folyamatbanak.

Jegyzet

(1) A kísérlet eredeti címe: Teaching realistic mathematical modeling: An exploratory teaching experiment.
(2) A kísérlet eredeti címe: Learning to solve mathematical application problems: A design experiment.
(3) A kísérlet eredeti címe: IMPROVE: A Multidimensional Method for Teaching Mathematics in Heterogeneous Classrooms.
(4) A kísérlet eredeti címe: The Effects of Metacognitive Training versus Worked-out Examples on Students’ Mathematical Reasoning.

Irodalomjegyzék

Bransford, J. D. -- Zech, L. -- Schwartz, D. -- Barron, B. -- Vye, N. (1996): Középiskolai tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése: kutatási tapasztalatok. In: Sternberg, R. J. -- Ben-Zeev, T. (szerk.): A matematikai gondolkodás természete. Vince Kiadó, Budapest.
Clark, A. J. -- Palm, H. (1990): Training in metacognition: An application to industry In: Gilhooly, K. J. -- Keane, M. T. G. -- Logie, R. H – Erdos, G. (szerk.): Lines of thinking: reflections on the psychology of thought. John Wiley & Sons, Chichester -- New York – Brisbane – Toronto – Singapore.
Csapó Benõ (2003): A képességek fejlõdése és iskolai fejlesztése. Akadémiai Kiadó, Budapest.
Csíkos Csaba (2002): Hány éves a kapitány? Matematikai szöveges feladatok megértése. Iskolakultúra, 12. 10--15.
Csíkos Csaba (2003a): Egy hazai matematika felmérés eredményei nemzetközi összehasonlításban. Iskolakultúra, 8. 20--27.
Csíkos Csaba (2003b): Matematikai szöveges feladatok megértésének problémái 10--11 éves tanulók körében. Magyar Pedagógia, 103. 35--55.
Davis, A. (2000): The experimental method in psychology. In: Breakweel, G. M. -- Hammond, S. -- Fife-Schow, C.: Research method in psychology. SAGE Publications, London-Thausand Oaks-New Delhi.
Flavell, J. H. (1979): Metacognition and cognitive monitoring: A new area of cognitive-developmental inquiry. American Psychologist, 34. 906–911.
Kelemen Rita (2004): Egyes háttérváltozók szerepe “szokatlan” matematikai szöveges feladatok megoldásában. Iskolakultúra, 11. 28--38.
Mevareck, Z. R. -- Kramarski, B. (1997): IMPROVE: A multidimensional method for teaching mathematics in heterogeneous classrooms. American Educational Research Journal, 2. 365--394.
Mevareck, Z. R. -- Kramarski, B. (2001): Effects of multilevel versus unilevel metacognitive training on mathematical reasoning. The Journal of Educational Research, 5. 292--300.
Mevareck, Z. R. -- Kramarski, B. (2003): The effects of metacognitive training versus worked-out examples on students’ mathematical reasoning. British Journal of Educational Psychology, 4. 449--471.
McNeal, B. -- Simon, M. A. (2000): Mathematics culture clash: Negotiating new classroom norms with prospective teachers. Journal of Mathematical Behavior, 18. 475--509.
NAT (1995): Nemzeti Alaptanterv. Budapest, Korona Kiadó.
Verschaffel, L. -- De Corte, E. (1997): Teaching mathematical modeling and problem-solving in the elementary school. A teaching experiment with fifth graders. Journal for Research in Mathematics, 28. 577--601.
Verschaffel, L. -- De Corte, E. -- Lasure, S. (1994): Realistic considerations in mathematical modelling of school arithmetic problems. Learning and Instruction, 4. 273--294.
Verschaffel, L. -- Greer, B. -- De Corte, E. (2000): Making sense of word problems. Swets & Zeitlinger B.V., Lisse.