EstadisticaComputarizada6405.html (Capítulo 6)

MEDIDAS  DE  DISPERSION

OBJETIVO: Aplicar las caractersticas y propiedades de la desviacion tipica y la varianza  como principales medidas de dispersión de una distribucion de frecuencia.

CONTENIDOS: Descripcion de las caractersticas de la desviacion tipica, la varianza y los momentos estadisticos. Resolucion de problemas aplicando el Spss13.0.

MEDIDAS  DE  DISPERSIÓN

(Hamlet Mata Mata Prof. Del TECNOLÓGICO de EL TIGRE – VENEZUELA)

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Las medidas de posición central son los valores que de una manera condensada representan  una serie de datos, pero realmente no son suficientes para  caracterizar una distribución de frecuencia.  Para describir una distribución de frecuencia o serie de datos es necesario, por lo menos otra medida que indique la dispersión o variabilidad de los datos, es decir, su alejamiento de las medidas de posición central. Estas medidas de posición central no tienen ningún valor si no se conoce como se acercan o se alejan esos valores con respecto al promedio, en otras palabras es conocer como se dispersan o varían esos valores con respecto al promedio de una distribución de frecuencia.

La dispersión o variabilidad se entiende como el hecho de que los valores de una serie difieran uno de otro, es decir, como se están dispersando o distribuyendo en la distribución. De acuerdo con esto es necesario encontrar una medida que indique hasta que punto los valores de una variable están dispersos en relación con el valor típico. Las medidas de variabilidad son números que expresan la forma en que los valores de una serie de datos cambian alrededor de una medida de posición central la cual por lo general es la media aritmética.

La dispersión puede ser mayor o menor, tomando en cuenta esas diferencias.     La variabilidad es la esencia de la estadística, puesto que las variables y atributos se caracterizan siempre por diferencias de valores entre observaciones individuales. Casi siempre en una distribución de frecuencia el promedio obtenido difiere de los datos de la serie; por esto es importante determinar el grado de variación o dispersión de los datos de una serie de valores con respecto al promedio. Las medidas de dispersión se clasifican en dos grandes grupos: a).- Las  Medidas de  Dispersión  Absolutas y  las Relativas; las Relativas, vienen expresadas en las mismas medidas que se identifican la serie de datos, las mismas son: 1).- El Recorrido, 2) La Desviación cuartilica, 3) La Desviación Semicuartilica,  4) La desviación  Media, 5) La Desviación Típica o Estándar  6) La varianza.

Las Medidas de Dispersión relativa. Son relaciones entre medidas de dispersión absolutas y medidas de tendencia central multiplicadas por 100, por lo tanto vienen expresadas en porcentaje,  su función es la de encontrar entre varias distribuciones la dispersión existente entre ellas. La medida de dispersión relativa de mayor importancia es el Coeficiente de Variación.

Se llama Variación o Dispersión de los datos, el grado en que los  valores de una distribución o serie numérica tiende a acercarse o alejarse alrededor de un promedio.  Cuando la dispersión  es  baja indica que la serie de valores es relativamente homogénea mientras que una variabilidad alta indica una  serie de valores  heterogénea.

Cuando los valores observados de una serie están muy concentrados alrededor  del promedio, se dice que ese promedio es o será muy representativo;  pero si están muy dispersos con relación al promedio, es decir muy esparcidos con respecto al promedio, entonces ese promedio es poco representativo de la serie o distribución, puesto que no representan adecuadamente los datos individuales de esa distribución. Es importante obtener una medida que indique  hasta qué punto las observaciones de una serie de valores  están  variando en relación con el valor típico de la serie.

RANGO  O  RECORRIDO(R) -. Es la primera medida de dispersión, no esta relacionada con ningún promedio  en particular, ya que este se relaciona con los datos mismos, puesto que su cálculo se determina restándole al dato mayor  de una serie el dato menor de la misma, más una unidad de medida (UM). El rango es  el número de variables diferentes que posee una serie de valores. Su formula se calcula  así:

Rango(R) = Dato mayor (X_M)-Dato Menor (X_m) + Una unidad de medida (1UM):

R = X_M - X_m + 1 UM.  El rango es la medida de dispersión más  sencilla e inexacta dentro de las medidas de dispersión absoluta. Esta medida tiene bastante uso en el control de calidad de los productos manufacturados.

DESVIACIÓN  ÍNTERCUARTILICA (DC). - La desviación íntercuartilica es la diferencia que existe entre el cuartil tres(Q₃) y el cuartil uno(Q₁) de una distribución de frecuencia y se expresa así:  DC = Q₃  - Q₁.

DESVIACIÓN SEMI-ÍNTERCUARTILICA (DSC). -  La desviación semi-íntercuartilica es la diferencia entre el Q₃  y  el Q₁  dividido entre dos:

.

Si los valores de la DC  o DSC son pequeños indica una alta concentración de los datos de la distribución en los valores centrales de la serie de datos. Estas medidas se utilizan para comparar los grados de variación de los valores centrales en diferentes distribuciones de frecuencias. Los mismos no son afectados por los valores extremos,  no se adaptan a la manipulación algebraica, por tal  motivo son de  poco utilidad.

DESVIACIÓN MEDIA.- La desviación media de un conjunto de N observaciones x₁, x₂, x₃,.............x_n, es el promedio de los valores absolutos de  las desviaciones (d_i) con respecto a la media aritmética o la mediana. Si se denomina como  DM a la desviación media, entonces su fórmula matemática será la siguiente:

Esta fórmula es para datos no agrupados. Se toma el valor absoluto en la ecuación, debido a que la primera propiedad de la media aritmética establece que los desvíos (d_i) de una serie con respecto a la media aritmética siempre son iguales a cero, es decir: d_i  = 0.

En esta fórmula      es el punto medio de cada clase y  f_i  es  la frecuencia de cada clase. La  Desviación Media a pesar de que para su cálculo se toman todas las observaciones de la serie,  por  el motivo  de no tomar en cuenta los signos de las desviaciones (d_i), es de difícil manejo algebraico. Su utilización en estadística  es muy  reducida  o casi nula, su importancia es meramente  histórica, ya que de esta fórmula es la que da origen a la desviación típica o estándar.

DESVIACIÓN TÍPICA  O  ESTÁNDAR

Es la medida de dispersión más utilizada en las investigaciones por ser la más estable de todas, ya que para su cálculo se utilizan todos los desvíos  con respecto a la media aritmética de  las observaciones, y además, se toman en cuenta los signos de esos desvíos. Se le designa con la letra castellana  S cuando se trabaja con una muestra y con la letra griega minúscula  s (Sigma) cuando se trabaja con una población. Es importante destacar que cuando se hace referencia a la población él número de datos se expresa con N y cuando se refiere a la muestra él número de datos se expresa con n. La desviación típica se define como:

“La raíz cuadrada positiva del promedio aritmético de los cuadrados de los desvíos de las observaciones con respecto  a su media aritmética”. La desviación típica es una   forma refinada de la desviación media”.

Características  de la Desviación  Típica:

* La  desviación típica se calcula con cada uno de los valores de una serie de datos.

* La desviación típica se calcula con respecto a la media aritmética de las observaciones de una serie de datos, y mide la variación alrededor de la media.

* La    desviación típica es susceptible de operaciones algebraicas, puesto que  para  su cálculo se utilizan los signos positivos y negativos de los desvíos de todas las observaciones de una serie de valores, por lo tanto es una medida completamente matemática.

* Es  una medida de bastante precisión, que se encarga de medir el promedio de la dispersión de las observaciones de una muestra estadística. Las influencias de las fluctuaciones del azar, al momento de seleccionar la muestra la afectan muy poco. Le da gran significación a la media aritmética de la serie de valores.

* Es siempre una cantidad positiva.

INTERPRETACIÓN DE LA DESVIACIÓN TÍPICA

La desviación típica como medida absoluta de dispersión, es la que mejor nos proporciona la variación de los datos con respecto a la media aritmética, su valor se encuentra en relación directa con la dispersión de los datos, a mayor dispersión de ellos, mayor desviación típica, y  a menor dispersión, menor desviación típica.

Su mayor utilidad se presenta en una distribución normal, ya que en dicha distribución en el intervalo determinado por   se encuentra el 68. 27% de los datos de la serie; en el intervalo determinado por la   se encuentra el 95,45% de los datos y entre la   se encuentra la casi totalidad de los datos, es decir, el 99,73% de los datos; además, existe una regla general de gran utilidad para la comprobación de los cálculos que dice: “una oscilación igual a seis veces la  , centrada en la media comprende aproximadamente el 99% de los datos”.  Ver gráfica.

A la zona limitada por la   conoce bajo el nombre de zona normal, ya que se considera  a los datos que caen dentro de esa zona, datos normales en relación con el grupo estudiado; los datos que estén por encima o por debajo de dicho intervalo se consideran supranormales  e    infranormales.

Una regla empírica indica que en cualquier distribución normal las probabilidades delimitadas entre 1 desviación típica, 2 desviaciones típicas y 3 desviaciones típicas son el 68%, 95% y 99% respectivamente. Ver las graficas siguientes.

Cálculo de la Desviación Típica.-  La desviación típica  para calcularla se procede de dos formas: A).- Para datos  no agrupados en clases, B). - Para datos agrupados en clases.

A). - Para datos no Agrupados.- Las formulas para determinar la desviación típica de una    S  y de una s son:

Es importante recordar que cuando se trabaja con la formula para datos no agrupados y se trata de una muestra se utilizará como denominador n-1,  para  corregir el sesgo,  pero si en la muestra  n ³   50 ,entonces se utilizará  n, simplemente.

Para caular la desviacián tipica de una poblacián  para datos no agrupados, se utilizan las siguientes formulas:

Método para calcular la Desviación Típica en datos no agrupados:

* Se  calcula la media aritmética.

* Se  calculan los desvíos (d_i) de la serie de valores X_i, con respecto  a la media aritmética.

* Se  elevan al cuadrado cada una de las desviaciones (d_i)² , y se determina la sumatoria de esos. De la misma forma se elevan al cuadrado cada uno de los X_i y se calcula la sumatoria de estos; de  igual manera se calcula la sumatoria de los X_i y se elevan al cuadrado. Despues de hacer todos estos cálculos se elabora  un cuadro estadístico con estos cálculos.

* Finalmente se aplica la formula  de la desviación típica para datos no agrupados de la muestra o de la población, según el caso.

Ej.1 – Los  siguientes valores corresponden a  la edad de ñiños de una muestra tomada  de una población:  Xi = í3, 4, 5, 6, 7ý. Determine la desviación típica.

utilizarán las formulas 1  y  3. 

Interpretación.- El resultado obtenido con las formulas 1 y 3 indican que en promedio, las edades de los ñiños de esa muestra se desvian o varian con respecto a la media aritméticaen una cantidad igual a 1.58 años.

Si este problema se  resuelve ahora, considerando los datos como si fueran  de una población y se aplica la formula 4 y 5, entonces  se tiene:

En la solución del problema con las formula  4 y  5 de la población se observa que la s de la población es menor que la S de la muestra, esto es debido a que la  S de la  muestra utilizó  n-1, para corregir el error producto del sesgo, y la s de la población no lo utilizó.

2 – Los  años de sevicio de 6 obreros son  5, 5, 8, 7,  9, y 11, los mismos corresponde a una muestra  tomada de una empresa. Cálcule la desviación típica (S  y  s).

Se calcula la media

Con esto datos se aplican  las formulas 1,  4 y  5 para calcular la muestra, se deja la formula 3 para que sea aplicada por el participante, el resultado será  igual al de la formula  1. Calculos:

Ahora se calculará  la s  para la población (considerado los datos como de una poblacián).

Interpretación.- El resultado obtenido al aplicar la formula 1, 2, 3, 4 y 5 indica que en promedio, los años de servicios de los trabajadores de la empresa se desvían o dispersan con respecto a su media aritmética en una cantidad igual a 2.35 año según la muestra y de 2.14 años en la poblacion.

B) – Para  datos Agrupados en  Clases.- Para calcular la desviación típica en datos agrupado existen varios criterios en relacion a la corrección del sesgo que se produce al tomar una muestra, en este estudio se considerará la formula que corrige el sesgo de aquellas muestras en estudio; sin embargo, cuando n sea mayor que 50, no es necesario tal corrección. . Existen muchas formulas matemáticas para calcular la desvición típica, queda a  juicio del estudiante utilizar la formula que él considere más fácil, siempre y cuando su aplicación sea valedera.

B).- Formulas Para calcular la muestra  y la población  de una  desviación típica con datos agrupados en clases:

En la formula 3,    es un valor arbitrario que se toma de los      de la distribución, es recomrndable que se escoja el   lo  más central  posible para así facilitar los calculos posteriores.

El término K_{i ,} en esta formula, viene a ser un desvío arbitrario con respecto a una mdia arbitraria   .Entonces, . Este método para calcular  S  en datos agrupados, se fundamenta  en la propiedad de la desviación típica que establece: “si a cada una de los valores de una serie de datos se le suma una constante, la desviación típica no se altera en sus resultados”.

Método para calcular la Desviación Típica en datos Agrupados:

 * Se  calcula la  

 * Se calcula el    de cada una de las clases que integran la distribución de frecuencia, se determinan los desvíos d_i  de los     con respecto a la    , luego se elevan al cuadrado los d_i y se multiplican por fi,   y  se calcula la   .

* Se calcula la  , luego se determina  la  [å ]².

 * Se elabora un cuadro estadístico y se llevan a este todas los datos calculados.

 * Se aplica la formula necesaria para calcular la desviación típica.

Ejemplos: 3 – Los siguientes datos corresponden a las horas extras trabajadas por  los  obreros de la empresa  RINACA, en un mes (se resolverá considerando los datos como de una  S  y  s).

 Para resolver el problema lo primero que se debe hacer es calcular la media aritmética  así:

Ahora se calculan los diferentes , para determinar los otro parámetros necesarios (es recomendable que el estudiante realice todos los cálculos) para  resolver el problema planteado, en el cuadro  de arriba se colocaron los cálculos realizados que son necesarios para resolver el mismo; este  se resolverá  aplicando las  formulas 1, 2, y 3 de la  S, considerando los datos como  los de una muestra, ya que esta claro que estos pertenecen a una población determinada, luego se calculará la s de la distribución aplicando:

Para aplicar la fórmula  3 se toma una media arbitraria     que en este caso la más céntrica es 57, luego  se calculan  los desvíos de los  puntos medios con respecto a la     así:

 K_i = (-  ) se elabora un cuadro estadístico para resumir los datos y  finalmente se procede a buscar la desviación

Interpretación.-  Los resultados obtenidos con las formulas 1, 2, y 3,  indican  que el promedio de las horas extras  laboradas por los  trabajadores se desvían  o varían con respecto a su media aritmética en una cantidad igual  a  4.78 y 4.76 respectivamente. La misma interpretación se obtiene con los resultados obtenidos con las formulas 4, 5 y 6.

La aplicación de la fórmula  7  se deja para que el participante la aplique y resuelva el mismo problema, el cual tendrá resultados idénticos a los anteriores.

1        – Los  siguientes datos corresponden al número de panes consumidos por  un grupo de  familia de una urbanización de la ciudad, durante una semana determinada.

Para resolver el problema se calcula la   media y se procede a llenar el cuadro estadístico  siguiente (el estudiante debe realizar los cálculos):

Interpretación.- Los resultados obtenido con las formulas 1 y 6 indican que en promedio, el consumo de pan de trigo del grupo de familias de esa urbanización se dispersa con respecto a su media aritmética en una cantidad igual a 3.59.

La aplicación de las formulas 2, 3, 4, 5 y 7 quedan como ejercicios  de práctica para el participante, los resultados tienen que ser idénticos a los obtenidos con las formulas 1 y 6. Es muy importante que observe el resultado obtenido con la formula 1 para él cálculo de S y el obtenido con la formula 6 para calcular la s, ambos resultados son idénticos, lo que indica que cuando la muestra es grande tanto la fórmula para calcular S como la utilizada para calcular la población produce al final el mismo resultado.

Es importante señalar que  expertos en la materia consideran que cuando las muestras son superiores  a  50 datos el error de sesgo ya no se produce o es insignificante y en consecuencia no es necesario utilizar la formula que se encarga de corregir el  mismo, por tal razón es conveniente utilizar  n  y no, n-1.

ASIGNACIÓN: Describa brevemente lo referente a la medida de dispersión denominada DESVIACIÓN TÍPICA, los pasos para su cálculo, propiedades y de por lo menos dos ejemplos.

La mayor utilidad de la varianza se presenta en la estadística inferencial.

Propiedades de la Desviación Típica:

1 – La  desviación típica de una constante k es cero. Si se parte de que la media aritmética  de una constante es igual a la constante, esto es así, debida a que al ser todos los datos iguales no habrá dispersión en la serie de datos con respecto a la media aritmética, por lo tanto  s_(k) = 0.

2 – Si  a cada uno de los valores de una serie de variables se le suma o se le resta una constante K, la desviación típica no se altera. Esta  se apoya en la propiedad de la media aritmética que establece “si a cada valor de la serie se le  suma  una constante, la media de la nueva serie es igual a la media de la serie original más la constante”, igual sucede con la resta, la nueva media vendrá disminuida en el valor de dicha constante.

3 – Si  a cada uno de los términos de la serie de valores se le multiplica por una  constante K, la desviación típica de la serie quedará multiplicada   por K, y la nueva desviación típica será igual a la constante K tomada en valor absoluto por la desviación típica original. Esta propiedad se apoya en la propiedad del producto de la media aritmética

2       

68.27 % de los datos se encuentran en el intervalo ( ± s).

95.45 % de los datos se encuentran en el intervalo ( ± 2s).

99.73 % de los datos se encuentran en el intervalo ( ± 3s).

Estos valores se cumplen con bastante aproximación, para distribuciones que son Normales y para las que son  ligeramente asimétricas

3        – Para  dos series de valores, de tamaño n₁ y n₂, con variaciones S²₁ y S²₂, respectivamente,  la varianza  combinada S²_T  de ambas series será

ASIGNACIÓN: Describa brevemente lo referente a la medida de dispersión denominada VARIANZA, los pasos para su cálculo, propiedades y de por lo menos un ejemplos.

DISPERSIÓN  RELATIVA

Las medidas de variabilidad, estudiadas hasta ahora, solo permitían medir las dispersiones absolutas de los términos de la muestra. Las medidas, tomadas en esas condiciones, serán de utilidad, solo cuando se trata de analizar una sola muestra; pero, cuando hay que establecer comparaciones entre distintas muestras, será necesario expresar tales medidas en valores relativos, que pueden ser proporciones o porcentajes.

Las medidas de dispersión  relativas permiten comparar grupos de series distintas en cuanto a su variación, independientemente de las unidades en que se midan las diferentes características en consideración. Generalmente las medidas de dispersión relativas se expresan en porcentajes, facilitando así el estudio con medidas procedentes de otras series de valores  La dispersión relativa  viene a ser igual a la dispersión absoluta dividida entre el promedio.

Existen varias medidas de dispersión relativa, pero, la  más usada es el coeficiente de variación de Pearson, este es un índice de variabilidad sin dimensiones, lo que permite la comparación entre diferentes distribuciones de frecuencias, medidas en diferentes unidades. El  coeficiente de variación de Pearson se designa con las letras CV. La fórmula matemática es:

El  CV  pierde utilidad, cuando la  x  es  muy cercana a cero. Una serie de valores será más dispersa que otra respecto a su x mientras que su  CV  sea mayor.

5 – La  venta en   el mercado  de tres productos, varia de acuerdo al siguiente cuadro. Determine el CV de cada uno y diga cuál de ellos presenta mayor variación y cuál la menor.

Para resolver el problema se  calcula el CV de cada producto y luego sé determina cuál presenta mayor o menor variación

     CV = Sx100/

     CV₁ = 5x100/45 = 11.11 %.

     CV₂  = 40x100/450 = 8.87 %.

     CV₃ = 350x100/4500 = 7.78 %.

Se puede observar que la menor dispersión la presenta el producto 3, por lo tanto, de los 3 productos el que menos varia es ese; por  otro lado el de mayor dispersión o variabilidad es el producto 1.

TEORÍA DE LOS MOMENTOS.- Los momentos son indicadores matemáticos de diversos valores. Los diversos valores, están es función del parámetro estadístico o valor que se tome, para ser fijado como punto de referencia.

 Sean X₁, X₂, X₃, ..........X_n, los valores que toma la variable X_i; se define entonces, momento m_i de orden r con respecto al promedio aritmético (  ) de los valores de la variable X_i elevados a la potencia  r; siendo r cualquier valor comprendido entre,1 , 2, 3,....,n. Matemáticamente:

Los momentos se pueden definir también como las potencias de los desvíos  d_i con respecto a un determinado valor, que puede ser la media aritmética, el origen cero o una media arbitraria. En estadística son importantes los momentos 1, 2, 3 y 4 con respecto a la media aritmética y el momento 1 con respecto al origen que viene a ser igual a  la media aritmética

Formulas para determinar los momentos con respecto a la  media aritmética

B) – Para  datos agrupados

Descripción de los Momentos:

1. - El primer momento con respecto a la    es siempre igual a cero, este momento es similar a la primera propiedad de la    .

2. – El  segundo momento con respecto a la    es siempre igual a la varianza.

3 – El  tercer momento con respecto a la media aritmética se  utiliza para determinar el coeficiente de asimetría  SK_m.

3        – E l cuarto momento con respecto a la media aritmética  es un valor que se utiliza para determinar el coeficiente de kurtosis, de una serie de valores.

Formula de los momentos con respecto al origen cero:

Procedimiento para Calcular los m_i de una serie de datos:

1 – Se calcula la media aritmética.

2 – Se  determinan los  m_i  de  los X_i y de los     de la serie de valores con respecto a la media aritmética.

3 – Se  determinan las åd_i con respecto    para los datos no agrupados  y  la åf_id_i  para los datos agrupados según el caso.

4 – Se  elabora un cuadro estadístico con los datos calculados.

5 – Se  aplican las formulas para calcular los momentos según el caso.

1 – Sean  los siguientes datos los años de servicio de un grupo de trabajadores. Determine el m₁, m₂, m₃  y  m₄ con respecto a la media aritmética.

Solución.- Lo primero que se hace es calcular la   y luego se procede a calcular los d₁, d₂, d₃ y d₄  con respecto a la   después se aplica la fórmula para calcular los momentos de datos no agrupados.

2 – La  siguiente distribución de frecuencia corresponde al consumo de azúcar trimestral de un grupo de familias. Determine el m₁, m₂, m₃ y el m₄ con respecto a la media aritmética.

Solución.- Lo primero que se hace  es elaborar un cuadro estadístico, luego se calcula la    y posteriormente se determinan los desvíos  d₁, d₂, d₃ y d₄ con respecto a la media y finalmente con los datos obtenidos en el cuadro se aplica la fórmula  para obtener los momentos en  datos agrupados.

4.- La siguiente distribución de frecuencia corresponde al consumo de azúcar de un grupo de familias. Determine el m₁ con respecto al origen.

Cuadro resumen

El momento  m₁ con respecto al origen cero (0), siempre es igual a la media aritmética.

ASIGNACIÓN: Describa brevemente lo referente a los momentos 1, 2, 3 y 4 de una distribución de frecuencia, los pasos para su cálculo, propiedades y de por lo menos un ejemplo de cada momento.

Medidas de Asimetría  y Kurtosis    

Simetría.- Según el Diccionario de la Real Academia Española es la “Regularidad en la disposición  de las partes o puntos de un cuerpo o figura, de modo que posea un centro, un eje o un plano de referencia”. Es por lo tanto la armonía de posición de las partes o puntos similares uno respecto de otros y con referencia a puntos, líneas o planos determinados.  Se puede generalizar diciendo que es una proporción de las partes entre sí y con el todo.

En estadística se dice que una distribución de datos es simétrica  si se le puede doblar a lo largo de un eje vertical de una manera tal que coincidan los dos lados de la distribución. Las distribuciones que no tienen simetría con respecto al eje vertical se les llama sesgada o asimétrica. Una distribución sesgada a la derecha tiene una cola prolongada del lado derecho de la distribución y una cola más corta del lado izquierdo de la misma; esta asimetría se le denomina positiva, cuando la cola de la distribución del lado izquierdo es más larga que la del lado derecho, entonces la asimetría  es negativa.

En una distribución simétrica la media, la mediana y la moda son iguales. La simetría se mide por medio del coeficiente de asimetría. Una distribución simétrica  tiene un coeficiente de asimetría igual a cero. Cuando una distribución de frecuencia es asimétrica, la media, la mediana y la moda se alejan una de otra, es decir, las tres medidas de posición son diferente; mientras más se separe la media de la moda, mayor es la asimetría. Si la distribución de frecuencia es asimétricamente negativa, la cola de la curva de distribución se encuentra hacia los valores más pequeños de la escala de las  X  y si la distribución  es asimétricamente positiva la cola de la distribución se ubica hacia los valores más grandes de la escala de las X.

Esta fórmula se puede transformar por medio de la relación:

, si  ahora se sustituye 3(- Md) en el primer coeficiente de  asimetría de Pearson, se tiene otro coeficiente de asimetría utilizando la mediana que se le denomina segundo coeficiente de asimetría de Pearson, este es más preciso que el primero.

Arthur Bowley otro estudioso de la estadística  determinó que el coeficiente de asimetría se podía calcular por medio de los cuartiles y utilizó el coeficiente de asimetría  por medio de cuartiles (sk_q),  y la  formula es

En  donde, Q₁, Q₂ y Q₃   son los cuartiles 1, 2  y 3 respectivamente. El valor de SK_q  varía entre 1  y  -1; según Bowley una distribución de frecuencia con un coeficiente de asimetría igual a  0.1, se considera como ligeramente asimétrica y con un valor mayor  0.3 se le considera marcadamente asimétrica.

En esta fórmula m₃ es el momento  tres con respecto a la media aritmética y  S³ es la desviación típica elevada a la  potencia tres. Este coeficiente es el más confiable de todos los antes descritos, asi que para cualquier cálculo se debería utilizar este, ya que es un parámetro que utiliza todos los datos de la serie de valores.

Si en una serie de valores la   > Md > Mo, entonces la distribución de frecuencia presenta una curva asimétrica positiva; si la    =Md = Mo = 0 , la curva de la distribución es simétrica  y si la distribución presenta una curva en la que el Mo > Md >  , entonces se dice que la curva de la distribución asimétrica negativa.

Sí la curva de una distribución de frecuencia es sesgada, la media tratara de ubicarse hacia el extremo o lado opuesto, de la serie de valores, donde se concentran los datos. Es bueno hacer referencia que en  una asimetría  positiva la   > Md y en una asimetría negativa la    < Md.

Si en una distribución de frecuencia, los intervalos de las clases que la conforman presentan frecuencias balanceadas en cada uno de ellos y no presentan ninguna aglomeración especial en los extremos y, además, presenta una concentración de los datos en el centro de la distribución, entonces se dice que la distribución de frecuencia es simétrica. Cuando  la curva de una distribución de datos es simétrica el SK = 0, esta es una de las características de la curva Normal  o Campana de  Gauss.

Si la mayoría de los datos de una serie de valores están ubicados en el centro de la distribución y, además existe una dispersión medianamente hacia los extremos mayores o menores de las variables, entonces se afirma que la curva de la distribución es Ligeramente Asimétrica. Ejemplo

En este ejemplo la distribución 1 es ligeramente asimétrica positiva y la distribución 2 es ligeramente asimétrica negativa. La mayoría de las distribuciones de casos reales por lo general son ligeramente asimétricas.

Una distribución de datos es marcadamente asimétrica si la mayoría de los datos de la misma se encuentran ubicados en los extremos mayores o menores de las variables que conforman la distribución.  Si la mayoría de los de los datos de una serie de valores se encuentra situados en el extremo de las clases menores de la distribución, entonces la curva de la distribución de frecuencia presenta una asimetría positiva, siendo  en este caso el SK > 0;  y si por el contrario esa mayoría se encuentra en los extremos de las clases mayores de las variables, entonces la serie de valores presenta una curva con una asimetría negativa, luego  el  Coeficiente de asimetría será mayor que cero, es decir, SK>0 Ejemplos:

En la distribución 3 los datos presentan una curva marcadamente asimétrica positiva  y el caso 4 la curva de la distribución es marcadamente asimétrica negativa.

Existen distribuciones de frecuencias que presentan curvas fuertemente marcadamente asimétricas y otras que las curvas son ligeramente  asimétricas. Considerar la asimetría de una curva de frecuencia marcadamente  o ligeramente asimétrica,   es un asunto de criterio del investigador, puesto que no existen reglas rígidas establecidas que determinen las líneas divisorias o parámetros entre ligeramente o marcadamente asimétrica; Sin embargo cuando la mayoría de los datos de una distribución de frecuencia se ubican en los extremos mayores o menores de las variables se puede afirmar con certeza que la curva de la distribución es marcadamente asimétrica.

Algunos investigadores como Arthur Bowley determinaron que si se aplica el SK_q   y  ese coeficiente de asimetría obtenido es menor que  0.3 (sin considera el signo)  se puede  afirmar  que la curva de la  distribución es ligeramente asimétrica, en caso contrario la curva de la distribución sería marcadamente asimétrica. Otros investigadores utilizan el coeficiente de asimetría según los momentos (SK_m) para tales efectos, pero no existe criterio en cual ha de ser el coeficiente especifico que marque él límite entre ligera y marcadamente. Sin embargo,  en este estudio se considerará que un coeficiente de asimetría según los momentos comprendido entre    - 0.30 £ SK_m £ 0.30, sería un buen límite para considerar una curva de distribución como ligeramente asimétrica, de lo contrario sería marcadamente asimétrica. El SK_m es el coeficiente de asimetría de mayor precisión y confiabilidad, puesto que este, utiliza para su cálculo todos los valores de la serie de datos.

Es bueno afirmar que cuando el coeficiente de asimetría de una curva de distribución es marcadamente asimétrico no se puede utilizar la media aritmética como medida de tendencia central, puesto que esta es afectada altamente por los valores extremos de una serie de datos, en su lugar es recomendable utilizar la mediana como medida de posición.

ASIGNACIÓN: Describa brevemente lo referente a las Medidas de Asimetría  de una distribución de frecuencia, los pasos para su cálculo, propiedades y de por lo menos un ejemplo de cada una.

KURTOSIS8 (CURTOSIS).-  Es el grado de apuntamiento o altura de la curva de una distribución de frecuencia. La finalidad de la Kurtosis es determinar si la distribución de los términos de una serie de valores responde a una curva normal o no. Se   utiliza para observar el promedio o posición de la distribución, así  como la media, la mediana y la moda, se puede en esta observar la asimetría, el grado de concentración de los datos, en fin, para observar en forma general el comportamiento de una serie de datos en una distribución de frecuencia. Por medio de la Kurtosis se determinará si la distribución de frecuencia es demasiado puntiaguda, normal o muy achatada.

El grado de apuntamiento o altura de una curva de distribución se determina por medio del coeficiente de Kurtosis, el cual se calcula utilizando el momento cuatro de una serie de valores con respecto a su media aritmética. La Kurtosis se designa con la letra K₄ y la fórmula de cálculo es:

En esta fórmula m₄ es el momento cuatro con respecto a la media aritmética y  S⁴  es la desviación típica elevada a la cuarta potencia, K₄ es el coeficiente de Kurtosis. Tomando en cuenta la Kurtosis el k₄  de una curva de distribución puede ser: Mesocurtica, Platicurtica y Leptocurtica.

Mesocurticas.-  Es aquella curva de una distribución de frecuencia que no es ni muy alta ni muy achatada, es la llamada curva normal. La curva Mesocurtica tiene un coeficiente de Kurtosis  igual a tres, es decir,  K₄ = 3.

Leptocurtica.-  Es aquella curva de la distribución que presenta un apuntamiento o altura relativamente más alta que la curva Mesocurtica, en esta los datos se encuentran más concentrados alrededor del máximo valor. El coeficiente de Kurtosis para curva Leptocurtica es mayor  de tres, es decir, K₄ > 3.

Platicurtica.-  Es la curva de una distribución de frecuencia que presenta un achatamiento más pronunciado que la Mesocurtica, encontrándose los datos más dispersos  alrededor del máximo valor de la distribución. En esta curva el coeficiente de Kurtosis es menor de tres, es decir, K₄ < 3.

En la gráfica 1 de Kurtosis se pueden observar los tres tipos de Kurtosis antes descritos, siendo la primera curva Platicurtica (azul), la segunda Mesocurtica (roja) y la última es Leptocurtica(amarilla):

ASIGNACIÓN: Describa brevemente lo referente a la  Kurtosis  de una distribución de frecuencia, los pasos para su cálculo, propiedades y de por lo menos un ejemplo de cada uno de los diferentes tipos de kurtosis.

Problemas  Relacionados con la asimetría y la (Kurtosis) curtosis   

1 – En  la siguiente distribución de frecuencia, determine el coeficiente de  asimetría  utilizando los métodos de Pearson, de Bowley  y el de los momentos, interprete los resultados y  haga un análisis de los diferentes resultados y diga cuál es el resultado más recomendado en este caso; encuentre la  Kurtosis e interprete los resultados.

Solución.- Para resolver el problema lo primero que hay que hacer es calcular la   y determinar los desvíos  di con respecto a la media, luego se elabora un cuadro estadístico con el resumen de los cálculos necesarios para  determinar la asimetría  y la curtosis. Además, se tendrá que calcular la mediana, la moda, el Q₁ el  Q₃, y después de realizar todos esos cálculos se procede a buscar la asimetría y la curtosis con las formulas respectivas. En el siguiente cuadro se encuentran resumidos la mayoría de los cálculos necesarios, el resto se calcularan aparte.

Se recomienda  al participante que debe realizar los cálculos de los parámetros que solo aparecen sus resultados

 = 21.07,  Mo = 20.0,  Q₁ = 18.71,  Q₂ = Md = 20.49,

Q₃ = 23.55,  S = 4.41,  S² = 19.46,  S³ = 85.82,  S⁴ = 378,82.

El resultado indica que la curva de distribución es ligeramente asimétrica positiva.

 El resultado indica que la curva de la distribución es marcadamente asimétrica positiva.

 El resultado indica que la curva es ligeramente asimétrica positiva.

Para calcular el coeficiente de asimetría según los  SK_m  se   cálcula  primero el m₃  así:

Para calcular el K₄ se  calcula  el m₄ así:

Ahora se procede a calcular el K₄ aplicando la formula

El resultado indica que el apuntamiento de la curva es achatado, esto se observa en el grafico 2  la primera curva (de color verde), es decir, la curva es platicurtica. Observe la gráfica 1  donde se puede ver  la curva normal (de color rojo) y se puede observar la kurtosis y la simetría. La asimetría positiva se puede observar  en la parte derecha de la gráfica. 

Solución.- Para resolver este problema se debe calcular la   y los desvíos  di  con respecto a esta, también es necesario calcular la Md, el Mo, el Q₁, el Q₃, la S, el  m₃, el  m₄, elaborar un cuadro estadístico y finalmente aplicar las formulas respectivas. En el siguiente cuadro se resumen los cálculos para tales efectos. Se recomienda al estudiante realizar todos los cálculos pertinentes.

Los resultados obtenidos de los diferentes cálculos son:

 = 18.93,   Mo = 20.0, Q1 = 16.45, Q2 = Md = 19.91. 

S = 3.99, S³ = 63.40, S⁴ = 252.80, m₃ = -20.48, m₄ = 722.63

Ahora se procederá  a calcular los diferentes coeficientes de asimetría así: 

Si observa  puede ver que este problema es casi idéntico al anterior, solo   las frecuencias fueron cambiadas de la parte alta de las variables hacia la parte baja de las  mismas, por tal razón todos sus cálculos son idénticos en valor absoluto al anterior, lo que indica que ahora la  asimetrías obtenidas es negativas, es decir, con sesgo hacia la izquierda; si observa la  gráfica 3 de asimetría y Kurtosis   podrá notar las variaciones que hay en ambas curvas. La Kurtosis es idéntica a la anterior y la simetría tiene un sesgo a la izquierda, es decir, asimetría negativa.

Para calcular la Kurtosis se procede así:

La curva de la distribución es platikurtica. La interpretación es idéntica a la del problema anterior. Se puede ver que  la curva más alta es la normal (roja) o Mesocurtica y la más achatada es la curva de la distribución en estudio, y en este caso es platikurtica.

3.- Dada  la siguiente distribución de frecuencia determine el SK₁, SK₂, SK_q, SK_m  e intérprete los resultados y diga cuál de esos coeficientes es el más recomendado para este caso; calcule el K₄ e intérprete su resultado.

Solución.- Para resolver el problema primeramente se debe calcular la   , los desvíos  di con respecto a la   , la Md,  el Mo, el Q_1, el Q_2, la S, el m₃, el m₄. Para trabajar mejor se debe elaborar un cuadro estadístico con todos los cálculos necesarios para resolver el problema. Se recomienda al estudiante realizar todos los cálculos.

Los siguientes son los diferentes cálculos necesarios para resolver el problema. Se recomienda al participante efectuar los diferentes cálculos de todos los parámetros utilizados.

  = 27.00,  Mo = 27.00,   Q₁ = 23.50,   Q₂ = Md = 27.00.

Q₃ = 30.50,  S = 6.27,  S³ = 246.24,  S⁴ = 1543.37,  m₃ = 0,  m₄ = 5267.86.

El resultado obtenido con los diferentes coeficientes de asimetría indica que la curva de la distribución es simétrica. Se puede observar que cuando una curva de distribución es simétrica, con todos los métodos se logra el mismo resultado, cualquiera de ellos es valedero, pero si se tuviese que escoger uno  en especial el más recomendado seria el SK_m ,  ya que para su cálculo toma en cuenta todos los datos de la serie de valores.

Para él cálculo de la Kurtosis se procede así:

El resultado indica que la curva de la distribución de frecuencia es leptocurtica (Roja), es decir, la gran mayoría de los datos se encuentran ubicados alrededor de las medidas de tendencia central, además, la  curva de la serie de valores es   más alta que la curva normal (Azul). Observe que la gráfica de la curva leptokurtica,    es  más alta  que la otra curva   la normal. De la misma forma se puede observar que ambas curvas son simétricas, es decir, parten del mismo punto y no presentan sesgo en todo su recorrido y esto es así debido a que su coeficiente de asimetría es igual a cero. Lo único que varía entre ellas es la Kurtosis.

2                   
– Dada  la siguiente distribución de frecuencia determine el SK₁, el SK₂, el SK_q, el SK_m,  haga un análisis cada uno de estos y diga cuál es el más recomendado, tomando en cuenta la precisión  de cada uno. Determine, además, el  K₄ e  interprete el resultado. Se desea tomar una medida de posición central, ¿cuál sería la más adecuada?

Solución.- Para resolver el problema se debe calcular primero la   luego se determinan los desvíos con respecto a la  , se calcula la Md, el Mo., el Q₁, el Q₃,   la S,    el m₃ y  el m₄. Para facilitar el estudio es conveniente elaborar un cuadro estadístico con todos los parámetros necesarios. En el siguiente cuadro se resumen  gran parte los parámetros necesarios para resolver el problema.

Se recomienda al participante realizar los cálculos de los parámetros  aquí utilizados:

   = 56.74,   Md = 56.87,   Mo = 56.95,     Q1 = 54.62, Q3 = 59.12, S = 4.76, S³ = 108.23,

S⁴ = 515.77,         m₃ =-16.53, m₄ = 2265.26.

Este coeficiente indica que la curva de la distribución  es ligeramente asimétrica positiva. Con este resultado se observa que la curva de la serie de valores es casi simétrica.
 

Se puede observar que este resultado es un poco mayor que el obtenido con SK1; la curva de acuerdo con este, es ligeramente asimétrica positiva.
 

Con este coeficiente se observa que la curva es simétrica ya que su coeficiente de asimetría es igual a cero. Se puede concluir que este coeficiente no es lo suficiente preciso, puesto que esa curva de distribución no es simétrica, como se puede observar en la distribución de la serie de valores.

Este resultado indica que la curva de la distribución es ligeramente asimétrica negativa, este es bastante parecido al obtenido con  el SK₂, los cuales se acercan bastante a la realidad, por lo tanto, el resultado más recomendado para tomar una decisión  seria el SK_m, por cuanto en el cálculo  del mismo intervienen todos los valores de la serie de datos. Se pudo detectar que en el orden de prioridades  referente al coeficiente de asimetría los más indicados serian el SK_m, luego el SK₂ y el menos recomendado   seria el SK_q por no adaptarse  a la realidad.

Para calcular el K₄ se procede de la siguiente manera:

 De acuerdo con este resultado   la curva de la distribución es Leptocurtica, por ser mayor que el coeficiente de Kurtosis  de la curva normal. Este resultado indica que la mayoría de los datos se encuentran ubicados alrededor de la moda y por lo tanto la curva en cuestión presenta un apuntamiento bastante alto. 

La medida de posición central más  adecuada es la media aritmética puesto que en este caso no es afectada por valores extremos por ser la curva de distribución ligeramente asimétrica negativa como se puede observar en la siguiente grafica. Observe la gráfica de ASIMETRÍA Y Kurtosis.

3.- Los años de servicio de un grupo de trabajadores  son 9, x, 10, 8, 6 y 7. El primer momento con respecto al origen de esa serie de valores es de 7.5 y el m₂ con respecto a la   es de 2.92. Determine  el SK₂ y el SK_m; de esos valores. Se desea tomar una medida de posición central, ¿ cuál es la más indicada para el caso?. Explique brevemente.

 Solución.- Lo primero que se debe hacer es calcular el valor de  x, para ello se procede así:

     La    es igual al primer momento con respecto al origen, entonces,   El número de datos   n = 6,  m₂ = S² = 2.92, ahora se aplica la formula de la media así:

Ahora se calcula la Md de la siguiente serie de valores, los cuales se han ordenado:  5, 6, 7, 8, 9 y 10, la mediana  en este caso será:  Md

( Esto es así, por ser  n  un  número  par). Con estos datos se  puede  calcular   el SK_2.

De acuerdo con el SK₂ la curva de la serie de valores es simétrica y esto es así,  debido a que la   = Md = 7.5.  La medida de tendencia central más recomendada seria la media  debido a que este promedio para su cálculo utiliza todos los valores de la serie de datos. Para calculr el SK_m se calcula   S y  los desvíos  con respecto a la media de la serie de valores.

S² = 2.92.  S³ = 4.99.

Cuando la curva de una serie de valores  es simétrica   siempre el coeficiente de asimetría será  igual a cero  usando cualquiera de los coeficientes de asimetría. Cuando la curva de una serie de valores se le  calcula el SK_m, el resultado obtenido es el más adecuado y preciso de los coeficientes en cuestión.

La medida de tendencia central más recomendada en este caso es la media aritmética a pesar de que esta es igual a la mediana, pero la   es más confiable por utilizar esta todos los datos de la serie para su cálculo

3.- Los pesos en Kg, de una familia son 4, 35, 39, 40, 42, 48 y 58. Para realizar una investigación se requiere tomar una medida de posición. ¿Cuál es la más adecuada?. Explique brevemente.

 Solución. – Para tomar la decisión es necesario calcular el SK_m .

Para calcular el SK_m se  determina la  de los valores y los desvíos  di  con respecto a esta, se determina  la  S,  la S³,el d_i, el d²  y   el d³  de los datos y la sumatoria de estos, luego se calcula el m₃ y se procede a determinar el SK_m, se elabora un cuadro estadístico con el resumen de  los datos requeridos; y se aplica la formula respectiva para este caso. El siguiente cuadro resume los datos necesarios para los cálculos. 

De acuerdo con el resultado, la curva de la distribución es marcadamente asimétrica negativa, lo que indica que existen valores extremos, por lo tanto la media aritmética no se puede utilizar como medida de posición central por ser esta afectada por los valores extremos, en su lugar se utilizará la mediana como medida de posición central, por no ser  esta, afectada   por los valores extremos.

Los coeficientes SK₁, SK₂ y sk_q, se le dejan al participante para que los calcule e intérprete los resultados dando su opinión al respecto.

7. – Los siguientes datos   90, 70, X, 60, y 80 corresponden al peso en kg.  De un grupo de profesores. El coeficiente de variación de esa serie de datos es de

19,285 %, el m₄  con respecto a la media aritmética es de 109.492 y el K₄ es de 1,840. Se requiere hacer una investigación y para ello es necesario tomar una medida de posición. ¿ Cuál es la medida de posición más adecuada?

Solución. – Lo primero que se debe hacer es calcular el valor de X, y para ello se procede así:

CV = 19,285 %, m₄ = 109492, K₄ = 1,840, n = 5, ahora se aplica la formula de la media así:

    Calculado  S  se procede a calcular la  media  así:

300+X = 405

 X = 405 – 300

X = 105.

Después de calculado X sé procederá a calcular los desvíos  di con respecto a la media aritmética y finalmente se calcula el  SK_m   Se procederá ahora a elaborar un cuadro estadístico para facilitar los cálculos.

Ahora se calculara el SK_m

El siguiente cuadro resume los cálculos a utilizar.

De acuerdo con el resultado la curva de la serie de datos es ligeramente asimétrica positiva, por lo tanto la medida de posición más recomendada para el estudio es la media aritmética. Se le recomienda al participante calcular  el SK₂, el  mismo  debe ser muy parecido al SK_m. 

8. – La media aritmética de dos números es igual a 60 y su desviación típica es igual a 20. Determine esos números.

Solución: Datos:     X₁ =?;     X₂ =?  ;        = 60;   S = 20;   n = 2

La formula de la S para datos simples es:

Se elevan al cuadrado ambos miembros de la ecuación y se elimina  denominador

Despejando en  (1),  X₁ = 120-X_{2  ,}  y  reemplazando en  (2) se tiene

Los números buscados son 40 y 80.