Interpolação Polinomial
A interpolação consiste em
determinar uma função (iremos considerar polinómios), que
assume valores conhecidos em certos pontos (que chamaremos nós
de interpolação). A classe de funções escolhida para a
interpolação é a priori arbitrária, e deve ser adequada às
características que pretendemos que a função possua.
A interpolação polinomial pode-se revelar desadequada se os nós de interpolação não forem escolhidos convenientemente (o que leva ao uso de nós de Chebyshev...). De um modo geral, o conjunto das funções interpoladoras é determinado por um número finito de parâmetros (no caso dos polinómios, são os seus coeficientes...) que deverá ser igual ao número de condições impostas (ou seja, ao número de nós), para que haja apenas uma solução. Nos casos que veremos, a determinação dos parâmetros, que definem a função interpoladora, irá levar-nos à resolução de um sistema linear.
Se considerarmos a interpolação polinomial, podemos evitar a resolução desse sistema, usando as fórmulas de Lagrange ou de Newton, que reduzem significativamente o número de operações envolvido.
O Polinómio
de Lagrange é construído a partir do seguinte princípio:
considere um conjunto de n pontos de coordenadas x e f(x), sendo
que todos os x's são distintos. Podemos construir um polinómio
de grau n-1 que passe por todos esses pontos. A forma de Lagrange
para esse polinómio seria a seguinte:
De fato, o polinómio resultante passará por todos os n pontos do conjunto.
Por exemplo:
caso x = x2 ,
teremos,
então:
Considere o Polinómio de grau n-1:
Dados n+1 pontos [xk , f(k)],
k = 0,...,n, distintos 2 a 2, o polinómio
de grau n
é o polinómio interpolador na forma de Newton se
Os coeficientes ak podem ser obtidos a partir dessas igualdades:
e
Denomina-se diferença dividida de primeira
ordem, e introduzindo essa definição nas fórmulas acima,
podemos obter os ak's apenas com
manipulações algébricas de xk's e f(xk)'s.
Se nós escolhermos ai tal
que todas as coordenadas fi dos n+1 pontos sejam
iguais a P(xi ), chegaremos à
conclusão de que os ai
serão determinados pelo que chamaremos de diferenças
divididas.
Como veremos nas simulações o
principal problema dos polinómios interpoladores nas Formas de
Newton e Lagrange é o erro que aumenta significativamente
próximo dos extremos. Estamos considerando o erro definido por:
Que é o erro absoluto em si.