Aproximação dos Mínimos Quadrados
A sua ideia
básica é de representar e / ou calcular uma função aproximada
y(x) que sem ter que passar exactamente pelos pontos, dê o
melhor ajuste a esses dados, tentando assim minimizar os
quadrados dos erros, mostrando a sua tendência geral.
Se, para um
grande conjunto de pontos e especialmente os dados tabelados que
não são inteiros , a sua interpolação polinomial não deve
ser usada.
O critério dos mínimos quadrados é o ais utilizado para a busca de uma melhor curva próxima dos dados. Assim, este critério requer que a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função aproximação e os dados seja o menor possível:
A chamada
REGRESSÃO LINEAR é o exemplo mais conhecido para a
aproximação de dados por uma recta. Este caso não é mais que
um caso particular da aproximação polinomial dos mínimos
quadrados, em que a respectiva função aproximação será uma
recta.
A função
aproximação poderá, no entanto, não ser um polinómio, mas
sim outra função linear ou ainda não linear nos parâmetros.
Regressão
Linear:
Dado um
certo conjunto (m) de pontos (Xi,fi) com i = 1,.....,m,
pretende-se determinar a recta de aproximação dos mínimos
quadrados. Para os dados Xi,fi e m < N torna-se muito pouco
provável que o polinómio:
Se coloque em todos os N pontos dados e, portanto, é pouco provável que S possa ser zero. A ideia básica é tornar S tão pequeno quanto possível., ou seja, pretende-se calcular c0 e c1 de modo a:
o mínimo de S
será obtido, fazendo as derivadas de S( c0 ,
c1 ) em ordem a c0 e c1, igualando a
zero, ou seja:
Derivadas parciais:
Dividindo por dois e após alguns ajustes:
Com a resolução deste sistema,
pode-se calcular c0 e c1, substituindo os valores
já conhecidos xi
e ƒi e escrever o
modelo de aproximação e calcular o respectivo erro.