Coeficientes Indeterminados

Como, quer o integral, quer a fórmula de quadratura, são operadores lineares, exigir que a fórmula tenha pelo menos grau m:  

I_n( a₀ + ... + a_mx^m ) = I ( a₀ + ... + a_mx^m ) 

equivale a

a₀ I_n( 1 ) + ... + a_m I_n ( x^m ) = a₀ I ( 1 ) + ... + a_m I ( x^m ) 

para quaisquer a₀ , ... , a_m. Ou seja, equivale a exigir que 

I_n ( 1 ) = I ( 1 )

I_n ( x ) = I ( x )

...

I_n ( x^m ) = I ( x^m )

substituindo as expressões, obtemos um sistema

Para que o sistema seja possível e determinado, impômos que m = n, obtendo-se assim

onde a matriz do sistema é a transposta da matriz de Vandermonde que, como vimos, é invertível, se os nós forem distintos.Temos, assim, dados os nós de integração, uma solução única para os pesos A₀ , ... , A_n .  

       ·Reparando que o valor da fórmula de quadratura corresponde ao valor do integral do polinómio interpolador, obtemos, através da fórmula de interpolação de Lagrange :

e assim, os pesos podem também ser dados através dos integrais dos polinómios de Lagrange l_i( x ).

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