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Cálculo Diferencial

Trabajo 5

UNIVERSIDAD YACAMBU
LICENCIATURA EN CONTADURÍA PÚBLICA
Cálculo Diferencial

¿Qué es el límite de una función?

El concepto de límite de una función es fundamental en todos los campos del cálculo. Baste decir que la derivada, que es el tema principal del curso de Cálculo Diferencial, es por definición un límite. Una función es una sucesión de puntos que se dirigen de acuerdo a una regla que es la ecuación o regla que se nos da, podemos tomar cualquier valor del eje x y saber a que valor en el eje y se acercara la sucesión de puntos cuando se acerca al valor en x especificado.

Ejemplo: Sea la función

Haciendo una pequeña tabla para graficar

X	Y
-2	3
-1	-3
0	5
1	-3
2	3

ahora hallemos el límite de esta función cuando x tiende a 2, será:

Es fácil ver en la grafica que tiende a -4, y si se remplaza x=1 en la función da –4, entonces:

Este acercamiento se entiende como el valor más próximo y debemos hacer claridad que si bién en ocasiones resulta ser el valor de la función en el punto

escogido no siempre pasa esto.
Ejemplo: Hallar

Realizando una tabla y graficando queda:

X	Y
-2	-0,33333
-1	-0,5
0	-1
1	e
2	1

Se observa en la gráfica que en x=1 no hay función por eso dibujamos la asintota como línea punteada. Si tratamos de encontrar un valor para x=1 nos encontraremos con una división por cero, y esto no es posible. Entonces veamos que en –1 se acerca al infinito por la derecha y al menos infinito por la izquierda. Entonces no hay límite por ser los dos valores diferentes.

Infinitos asintóticos

Asíntota es una línea recta o curva a la que se aproxima una curva como gráfica de determinada función sin llegar jamás a tocarla por más que se acerque. En la construcción de gráficas, las asíntotas verticales corresponden a aquellos valores de la variable independiente (x) que indefinen la función con una división entre cero. Las asíntotas horizontales corresponden a aquellos valores de la variable dependiente (y) a los que se aproxima la gráfica de la función conforme los valores de la variable independiente (x) se aproxima a más infinito y a menos infinito respectivamente. Las asíntotas oblicuas corresponden a las funciones cuya regla de correspondencia se integra de un cociente o división de dos polinomios tales que el polinomio del numerador es de grado mayor o igual que el polinomio del denominador. En todo caso, el conocimiento de las asíntotas y cómo se trazan apropiadamente es de gran valor para el trazo apropiado de una gráfica curva en el plano cartesiano, por ejemplo, las asíntotas de una hipérbola son las líneas guía de esta curva.

Asíntota vertical

$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$

A la recta x = a se la denomina asíntota vertical.

Formalmente por definición de límite matemático:

$\lim_{x \to a} f(x)= \infty \harr \forall M > a \quad \exists \delta_{(M)} > a / \forall x: [x \in Df \quad \and \quad |x| < \delta_{(M)} \Rightarrow |f(x)| > M]$

donde $Df = \real - \left\{0\right\}$

Asíntota horizontal

$\lim_{x \to + \infty} f(x)= a$ , siendo a un valor finito

La recta Y = a es una asíntota horizontal

Caso particular [editar]

Si para la función $f(x) = \frac {1} {x}$ se calcula f(x) cuando x toma valores positivos o negativos grandes, se puede observar que f(x) se aproxima a cero. Esta situación se puede escribir como:

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$ y a la recta y = 0 se la denomina asíntota horizontal

Formalmente:

$\lim_{x \to + \infty} f(x)= l \harr \forall \epsilon > 0 \quad \exists M \in \real / x > M \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon$

$\lim_{x \to + \infty} f(x)= l \harr \forall \epsilon > 0 \quad \exists M \in \real / x < M \Rightarrow |f(x)-l| < \epsilon$

Hipérbola equilátera

Asíntota oblicua Dada la función $f(x) = \frac {x^3} {(x - 1)^2}$ y observando su gráfica:

Se puede concluir que dicha función no posee asíntota horizontal, sino oblicua.

La Derivada

Históricamente el concepto de derivada es debido a Newton y a Leibnitz. Sus definiciones surgen a raíz del concepto de limite.

Sin embargo, son varias las formas en que se ha generado el concepto de derivada, los comunes son los siguientes:

Definiciones de Derivada:

Pendiente de una curva. La pendiente del gráfico de la función f en el punto

(x , f(x) ) es la derivada de f en x.

Tangente a una curva. La recta tangente al grafico de la función f en el punto

P = (x , f(x) ) es la recta que pasa por P con pendiente igual a la derivada de f en x.

Velocidad de una partícula que se mueve sobre una línea recta. La velocidad en el instante t de un objeto, cuya posición sobre una recta viene dada por f(t) en el instante t, es la derivada de f en el punto t. El valor absoluto de la velocidad es el módulo de esa cantidad.

Amplificación de una proyección entre rectas. La amplificación en x de una lente que proyecta el punto x de una recta sobre el punto f(x) de otra recta es la derivada de f en x.

Densidad de un material. La densidad de x de un material distribuido a lo largo de una recta de forma tal que los x centímetros de la izquierda tengan una masa de f(x) gramos es igual a la derivada de f en x.

Una forma clásica de construir el concepto de derivada es la segunda definición, la de recta tangente a una curva, podríamos iniciar por tomar una línea que corta a la gráfica de la función en mas de un punto, como se muestra a continuación:

A medida que los intervalos de posición en x son mas pequeños como el esquema que se muestra a continuación, la línea recta tiende a ser mas semejante a una línea tangente que a una línea recta secante:

Analizando esta línea tangente podemos ver que:

El triángulo rectángulo que se forma puede conducirnos a analizar cual es la ecuación de la pendiente de la línea recta tangente. Nótese la hipotenusa dentro del triangulo rectángulo corresponde a la línea recta.

Como podemos apreciar la ecuación que relaciona la línea recta esta dada por la tangente:

pero como sabemos para la línea recta dicha relación nos da la pendiente de una línea recta

Como hemos dicho esta relación, de recta tangente se logra solo que los intervalos:

sean pequeños lo que equivale a decir que se genera el limite cuando

o lo que equivale a decir que se genera el limite:

fue a ese limite al que se le dio el nombre de derivada:

Donde es una notación para indicar el operador de derivada.

Nota: Como podremos ver sin embargo no debe de tomarse como la operación de dividir dx entre dx.

Aplicación de las derivadas en la administración e interpretación. Ejemplos prácticos en el área.

A la derivada también se le da el nombre de coeficiente diferencial y la operación de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación. Si la derivada de una función existe en un punto particular, decimos que f es diferenciable en tal punto. Debido a esto la derivada tiene varias aplicaciones en la administración y la economía en la construccion de:

Tasas Marginales.

La palabra marginal se utiliza para indicar una derivada, esto es, una tasa de cambio.

Si Q(x) se representa cualquier cantidad como costo, ingreso, utilidad, o pérdida por la venta de x artículos, entonces Q'(x) se llama la cantidad marginal. Entonces, por ejemplo, el costo marginal mide la tasa de cambio del costo (el costo aproximado del siguiente artículo).

Función del costo marginal.

El costo total está dado por: , es decir la suma de los costos fijos y los costos variables.

El costo medio unitario de producción de x artículos está dado por:

Ejemplos:

1 El costo total en dólares de producción de x libras de cierta sustancia química está dado por: . Determinar el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia.

, es decir, si la producción se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa 30 dólares.

2 El costo medio unitario en la producción de x unidades es .

Determinar la ecuación del costo marginal y el costo marginal para producir 40 unidades.

adicional producida.

Ingreso marginal.- Es la razón de cambio del valor total recibido con respecto al número de unidades vendidas (Es decir, el ingreso aproximado recibido por la venta de una unidad adicional vendida).

Si es la función del ingreso total por la venta de q unidades es la función del ingreso marginal. Ingreso = (precio unitario)(No. de unidades vendidas) :

Ejemplo: Un fabricante vende un producto a pesos/unidad. Determinar la ecuación del ingreso marginal y el ingreso marginal para .

Propensión marginal al consumo y al ahorro.

Si es la función de consumo, en donde I es el ingreso nacional total y C el consumo nacional total, ambos en miles de millones de dólares y S = I – C es el ahorro nacional total se define como la propensión marginal al consumo (la razón de cambio del consumo con respecto al ingreso) y se define como la propensión marginal al ahorro.

Ejemplo: La función de consumo de cierto país está dada por: . Determinar la propensión marginal al ahorro cuando el ingreso es de 400,000 millones de dólares (I = 400).

, o sea que cuando el ingreso nacional es de 400,000 millones de dólares, por cada 1,000 millones de dólares de ingreso adicionales, la nación ahorra 384 millones de dólares y consume 616 millones de dólares.

Utilidad marginal

Este concepto resulta crucial para la ciencia económica, tanto es así que está en la base, y ha dado el nombre, a toda una corriente de pensamiento, el marginalismo. La utilidad marginal se refiere al aumento o disminución de la utilidad total que acompaña al aumento o disminución de la cantidad que se posee de un bien o conjunto de bienes y es, matemáticamente, igual a la derivada de la curva que describe la función de utilidad a medida que aumentan los bienes a disposición del consumidor.

Cuando un individuo adquiere unidades adicionales de una mercancía la satisfacción o utilidad que obtiene de las mismas va, desde luego, aumentando; pero dicho aumento no es proporcional o constante, pues cada vez resulta menor la utilidad obtenida de la última unidad considerada. Llegará un punto en que, por lo tanto, se alcance el máximo de utilidad y, a partir de este punto, podrá haber incluso una utilidad negativa, pues unidades adicionales del bien resultarán en definitiva una molestia, produciéndose entonces una desutilidad. Es posible que a una persona le guste tener un perro, o tal vez dos o tres, pero es casi seguro que estará dispuesta a pagar para que alguien se lleve a su décimo o vigésimo perro.

La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es .

a) Evalúa la razón de cambio del precio unitario con respecto al número de unidades, cuando éstas son 500.

b) Evalúa también el ingreso marginal para q = 500.

Es decir, el precio disminuye a razón de $0.015/unidad adicional demandada.

Es decir, el ingreso disminuye a razón de $1.12/unidad adicional.

El costo medio de producción de q unidades es: , evalúa el costo marginal y también el costo marginal cuando se producen 200 unidades.

. Es decir, el costo aumenta $60.97/unidad adiciona

Funciones creciente y decreciente. Máximo y mínimos en todo su dominio y en un intervalo

Funciones creciente y decreciente

Función estrictamente creciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es estrictamente creciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} > 0 </pre> $

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia arriba:

$x_2 > x_1 \Rightarrow \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)$

Una función $f$ es estrictamente creciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ si existe algun número positivo $h$ tal que $\mathrm{f} $ es estrictamente creciente en el intervalo $\left( <pre> \, x \, - \, h, \, x \, + \, h \, </pre> \right)$ .

De esta esta definición se deduce que si $\mathrm{f}$ es derivable en $x \, = \, a$ y $f$ es estrictamente creciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ , entonces $\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \ge 0$ .

Función creciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es creciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} \ge 0 </pre> $

Función estrictamente decreciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es estrictamente decreciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} < 0 </pre> $

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia abajo:

$x_2 > x_1 \Rightarrow \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) < \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)$

Una función $f$ es estrictamente decreciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ si existe algun número positivo $h$ tal que $\mathrm{f} $ es estrictamente decreciente en el intervalo $\left( <pre> \, x \, - \, h, \, x \, + \, h \, </pre> \right)$ .

De esta esta definición se deduce que si $\mathrm{f}$ es en $x \, = \, a$ y $f$ es estrictamente decreciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ , entonces $\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \le 0$ .

Función decreciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es decreciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} \le 0 </pre> $

Máximos, mínimos y puntos de inflexión

Los puntos del dominio de una función en los que se modifica la tendencia de crecimiento de la misma se denominan máximos y mínimos relativos.

Un máximo relativo en un intervalo es todo punto del mismo en el que una función pasa de creciente a decreciente.

Se llama mínimo relativo de una función en un intervalo a cualquiera de los puntos del mismo en que la función pasa de decreciente a creciente.

Para determinar exactamente la posición de los máximos y mínimos relativos de una función derivable en un intervalo, se procede al siguiente análisis:

La primera derivada de la función en el punto analizado debe ser nula[f ' (a) = 0].

Si la segunda derivada es positiva [f ” (a) > 0], el punto es un mínimo relativo.

Cuando la segunda derivada es negativa [f ” (a) < 0], se trata de un máximo relativo.

Si esta segunda derivada es nula, se estudia la tercera derivada, con las siguientes posibilidades:

Cuando esta tercera derivada es distinta de cero [f ”' (a) ¹ 0], se trata de un punto de inflexión, esto es, un punto en el que la curva cambia de concavidad.

Si esta derivada tercera fuera también nula, habría que analizar las derivadas de orden superior para determinar si el punto es un máximo o mínimo relativo o un punto de inflexión.

Referencias

Matematicas Aplicacdas a la adminsitración y economía. Ibarra . Schettino . Villalobos, Cuarta edición, Pearson Prentice Hall.
http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Funciones_crecientes_y_decrecientes
http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_04500.html
http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/estudio_de_funciones_elementales/index.htm
http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Limites/index.htm
http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas3.html

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