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Cálculo Diferencial |
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Proposiciones |
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Proposiciones son aquellas a las cuales se les puede asignar un atributo (valor o función ) de verdad ( Valor de Verdad o Falsedad ). La lógica estudia la combinación de estas proposiciones a los efectos de relacionar o inferir unas de otras. Pueden existir muchas lógicas, según las reglas de combinación de proposiciones o axiomas de inferencia que se establezcan. Una es una oración declarativa de la cual podemos asegurar que es verdadera o que es falsa, pero no ambas situaciones a la vez. En sentido epistemológico “válido” es el conocimiento expresado en una proposición que es aceptada y reconocida como verdadera. Supone distinguir el hecho en sí del conocimiento y su aceptación como verdadero. En sentido lógico, “valido” se refiere a una verdad formal. Se aplica a los argumentos cuando cumplen con una forma lógica. Cuando el producto de las premisas y su implicación con la conclusión muestran en su tabla de verdad que es una tautología. La lógica es una ciencia formal, sin contenido material alguno. La verdad formal no depende del conocimiento verdadero en su sentido epistemológico, sino que manifiesta su validez por la forma, no por su materia. Un argumento válido, “lógicamente verdadero”, puede ser falso en su sentido epistemológico. De la misma forma que un argumento verdadero en sentido epistemológico puede ser formalmente inválido. La Lógica trata de fundamentar las inferencias válidas sin conocimiento material alguno. Suele definirse por eso como “la ciencia que estudia las formas válidas de inferencia”, o bien, subrayando un sentido de utilidad, la ciencia que estudia las “las formas válidas de razonamiento”. Las formas válidas de inferencia, leyes lógicas o tautologías, aplicadas como razonamientos lógicamente válidos, garantizan la verdad de la conclusión cuando el contenido de conocimiento material de las premisas sea epistemológicamente válido. Ejemplo de razonamiento lógicamente verdadero, válido, pero falso en su contenido material. Si todos los mamíferos tienen alas, y los seres alados vuelan, entonces si los perros son mamíferos, los perros vuelan. Ejemplo de razonamiento lógicamente inválido, que puede ser verdadero en su contenido material. Si sólo los que miden más de 1.80 juegan al baloncesto, y Antonio mide más de 1.80, entonces Antonio juega al baloncesto. (Antonio puede o no jugar al baloncesto, porque su verdad o falsedad depende de la experiencia, no de la forma argumentativa, puesto que es un argumento inválido). Ejemplo de razonamiento lógicamente válido, cuya validez epistemológica depende de un contexto cultural determinado. Entre todas las religiones del mundo, una será la verdadera y todas las demás serán falsas. Es así que la única religión verdadera es......"La Nuestra". Luego todas las demás son falsas. Validez lógica, se dice que un razonamiento es lógicamente válido cuando tiene la forma de una ley lógica, lo que equivale a decir que la relación entre las premisas y la conclusión es tautológica. Expresado en lenguaje formalizado: Dadas las proposiciones A, B, y C….. N, un argumento válido es aquel que tiene la forma: (A /\ B /\ C…….. /\ N) ? Z que recibe el nombre de esquema de inferencia , donde se da el caso que el valor de verdad lógica del antecedente V, como producto (conjunción ) de todas las premisas, implica que la conclusión también tiene valor de verdad lógica V. De este modo si las premisas son verdaderas en sentido epistemológico, entonces la conclusión también lo es, en sentido epistemológico. Lo que permite considerar C como verdad propia, independiente y desligada, es decir una conclusión obtenida a partir de las verdades afirmadas en las premisas como verdaderas. Por lo que definimos la validez como: No puede ser el caso que siendo las premisas verdaderas la conclusión sea falsa. Línea 1 y 2 de la tabla.
CLASIFICACION DE LAS PROPOSICIONES Proposiciones simples o atómicas: son aquellas que constan de un solo enunciado. Proposiciones compuestas o moleculares: son las que constan de dos o más proposiciones simples entrelazadas por ciertas particularidades lógicas llamadas conectivos lógicos. CLASIFICACION DE PROPOSICIONES COMPUESTAS
Consiste en cambiar el valor de verdad de una variable proposicional. la conectiva no es la que se antepone a una proposición para cambiar su valor de verdad y se representa por el siguiente símbolo ¬.
Es una proposición compuesta de dos proposiciones simples unidas por el conectivo lógica o, que se representa de la manera siguiente V. La proposición molecular será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales sean verdaderas.(Columna 2 de la tabla de funciones posibles)
Es una proposición compuesta que se obtiene al unir dos proposiciones simples unidas o entrelazadas mediante el conectivo y, y se representa con el siguiente símbolo p La proposición molecular será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas.(Columna 8 de la tabla de funciones posibles)
Es la combinación de dos proposiciones unidas por la conectiva “si entonces”, que se representa de la forma siguiente: à . La proposición que aparece entre las palabras “Si y Entonces”, se denomina antecedente o hipótesis y la que aparece después de la palabra Entonces , se le llama consecuente o conclusión. Es una conectiva definida por: p ? q = ¬p ? q La proposición molecular será verdadera cuando se cumpla si es verdadero p entonces lo es q. (Columna 5 de la tabla de funciones posibles)
Es una proposición que se obtiene al unir dos proposiciones simples mediante el conectivo si y solo si y se representa así <->. Es una conectiva definida por: p ? q = ((p ? q) La proposición molecular será verdadera cuando ambas variables proposicionales tengan a la vez el mismo valor de verdad. (Columna 7 de la tabla de funciones posibles)
Esta solo será verdadera cuando las dos proposiciones que la componen tienen diferentes valores de verdad, en caso contrario es falsa. Es una conectiva definida por: p La proposición molecular será verdadera sólo cuando una de las dos variables proposicionales sea verdadera, pero no las dos. (Columna 10 de la tabla de posibles valores)
• Tautología : si todas las interpretaciones de un enunciado dan como verdadera la conclusión.
• Contradicción : si todas las interpretaciones de un enunciado dan como falsa la conclusión.
• Contingente : cuando la conclusión da interpretaciones verdaderas y falsas. Ejemplo de tautología:
• Enunciados equivalentes: Dos enunciados son equivalentes (A ?? B) si a partir del primero se puede demostrar el segundo (A ? B) y a partir del segundo se puede demostrar el primero (B ? A). Si A ? B, todas las interpretaciones que hacen cierto a A también hacen cierto a B. Si B ? A, todas las interpretaciones que hacen cierto a B también hacen cierto a A. Las dos cosas sólo es posible si A y B tienen exactamente la misma tabla de la verdad. Ejemplo: P -> (Q -> S) y (Q -> S) -> P Enunciados equivalentes
Importancia en la vida profesional La Lógica es preferida en Ciencia Computacional, ya que a diferencia de los lenguajes informales, como los lenguajes naturales (español, francés, inglés, etc), la lógica no permite ambigüedades. La Lógica Formal proporciona un medio para representar argumentos de una manera formal y rigurosa, estudia los fundamentos relacionados con su validez y los métodos para inferir proposiciones a partir de otras consideradas válidas. las técnicas de deducción automática o asistida por computadora, los fundamentos relacionados con validez y completez (completeness ) de sistemas de proposiciones y, las aplicaciones de esas técnicas a las diferentes áreas de las Ciencias Computacionales en todas las etapas del desarrollo del software , es decir, especificación, diseño, construcción y verificación formal de programas, es una de las mayores importancia que tiene la lógica preposicional de alli que se derive a todos el entorno tecnológico actual.
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Aplicación de las funciones Lineal, Cuadrática, Máximos y mínimos, en la administración y economía. |
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Muchos problemas relacionados con la administración y la economía y ciencia afín, además de la vida real, requieren la utilización de funciones lineales, y otro tipo de función para su modelamiento, su comprensión y fundamentalmente la toma de decisiones. En muchas ocasiones la sola comparación entre funciones tipo y el comportamiento de las variables en un problema administrativo, económico o similar que permite obtener los modelos mas apropiados. Tomemos como ejemplo el caso de la función lineal dada por f : IR? IR tal que f ( x ) = m x + b y consideremos un determinado artículo, sea el caso de un lapicero. En la producción o venta de cualquier bien por una empresa, intervienen ciertos rubros, los cuales van a establecer su precio en el mercado. Así podemos definir dos tipos de precios, precio de costo y precio de venta. Se llama precio de costo a la suma de los montos de todos los rubros que intervienen en la producción del artículo. En la producción de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos de costos: fijos y variables. Los costos fijos son aquellos costos, que bajo condiciones normarles, no dependen del nivel de producción, es decir, deben enfrentarse sin importar la cantidad de artículos producidos. Por otro lado, los costos variables son aquellos que dependen del nivel de producción, es decir, están relacionados en forma directa con la cantidad de artículos producidos. Por ejemplo, para fabricar un lapicero se requiere la utilización de una serie de elementos como lo son la tinta, plástico o metal, el uso de electricidad, la publicidad, personal que ejecute la labor, etc. El conjunto de estos elementos forman parte de lo que se denomina estructura de costo de producción donde la cantidad de tinta, de plástico y de metal pueden ser considerados como costos variables; ya que, a mayor cantidad de lapiceros fabricados es mayor la cantidad de estos insumos que se requieran, estableciéndose así una relación entre nivel de producción y cantidad de materiales. Por otro lado, rubros como alquileres, intereses sobre préstamos y salarios de administrativos se mantienen constantes independientemente de la producción de la empresa. Es decir, forman parte de lo que se denominó costos fijos. Por tanto, en resumen podemos decir Costo total = Costos variables + Costos fijos Si designamos C como costo total, Cv como costos variables y C F como costo fijo, la relación anterior puede escribirse como C = C V + C F donde C V es igual al número artículos producidos multiplicado por el costo variable por unidad y C F es una constante. Si x representa el número de artículos producidos y m el costo variable por unidad entonces podemos definir la función f : IR n {0}? IR tal que C ( x ) = mx + CF . Ejemplo Supongamos que el costo variable por unidad de producir un lapicero es de Bs.100 y que los costos fijos mensuales ascienden a Bs.2.225.000. Suponiendo que el costo total tiene un comportamiento lineal, una función que representa la situación anterior viene dada por C ( x ) = 100 x + 1500000, donde x representa el número de lapiceros producidos por mes. Con base en la relación anterior, ¿cuál será el costo que representaría para la empresa la producción de 100.000 lapiceros en el mes? Solución C (100000) = 100 (100000) + 1500000 C (100000) = 11500000 El costo total de producir 100.000 lapiceros en un mes es de Bs.11.500.000. En cuanto a la función cuadrática se utiliza en diversos casos pero de los más utilizados será el de dediciones sobre fijación de precios, El costo de la diferencia entre el valor fundamental del tipo de cambio, el precio corriente y el precio esperado se modela a través de una función cuadrática. El director de un teatro estima que si cobra 30 € por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio. Observa la tabla:
Los ingresos obtenidos son
siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.
Las funciones f(x) = x 2 + 6x , g(x) = x 2 + 16 y G(x) = - 100 x 2 + 2500 x + 15000 que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas. Gráfica de las funciones cuadráticas La función cuadrática más sencilla es f(x) = x 2 cuya gráfica es:
Esta curva simétrica se llama parábola.
Muchas Aplicaciones importantes de derivadas incluyen máximos y mínimos de una función particular. Por ejemplo, la utilidad que obtiene un fabricante depende del precio que cobra por el producto y el fabricante esta interesado en conocer el precio que hace que su ganancia sea máxima. También un economista puede desear conocer el nivel de impuestos de un país que promoverá la tasa máxima de crecimiento de la economía. De igual manera una compañía de bienes raíces puede estar interesada en generar el ingreso máximo por renta.
Para determinar los puntos críticos de una función se halla su primera derivada, se determinan que valores anulan a f '(x), estos son los que nos representan los puntos críticos. Ejemplos: Determinar los puntos críticos de la función: f (x) = x 3 (2 x 3 - 3 x) Tenemos que f (x) = 2x6 - 3 x4. Diferenciando, resulta f (x) = 12x 5 - 12 x 3 = 12x 3 (x 2 - 1 ) Es claro que f ' ( x) existe para toda x, de modo que los únicos puntos críticos son en los que f' (x ) se hace cero: F ' (x) = 12x3 (x 2 - 1 ) = 0 O bien X3 = 0 o x 2 - 1 = 0 Así que los puntos críticos son x = 0, ± 1. Encuentre los púntos críticos de la función f (x) = x 4 (x -1) 4/5 . Derivando, usando la regla del producto, obtenemos f ' (x) = 4x 3 (x - 1) 4/5 + x 4 (4/5) (x - 1 ) -1 /5 = 4/5 x 3 (x - 1 ) -1 /5 [5(x - 1) + x] = 4/5 x 3 (x - 1 )-1/5 (6x - 5). Ahora f '(x) = 0 si x 3 = 0 o 6x - 5 = 0, de modo que tenemos puntos críticos en x = 0 y x = 6/5. Sin embargo, f '(x) se hace indefinidamente grande cuando x ® 1 debido a la potencia negativa. Dado que f (1) está bien definido , x = 1 debe ser un punto critico del tipo en que f ' (x) no existe.
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Bibliografia - Infografia.
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. Se puede definirse como la composición: 
q = ¬(¬p 
¬q) 
(q ? p)) 
q = ¬(p ? q) 
q 
