更長的素數鏈
由一猜想開始
素數組也有它們的猜想，是這個多重素數組猜想 (Prime K - truplets Conjecture)：
設 k 不少於 2，而 (b1、b2、b3、......、bk-1) 為一個允許的 (k - 1) 正整數組，則存在無限多個素數 p 使 p, p+b1、p+b2、p+b3、......、p+bk-1均為素數。
這一猜想意味著我們下面介紹的多重素數組有無限個，但這仍是一猜想而己。
數學家對這一猜想立場不一，有人以為這是正確的，亦有人反對。
多重素數組
素數的組合可不只 2 個或 3 個，若是多個素數「連續」(Consecutive) 在一起，我們稱為多素數組。這些密集的素數區域，我們也可稱之為「素數雲」 (Prime Constellation) 。可惜這長長的數鏈一則數據不多，二則數值不小，所以相關理論實不多，現只列出一些例子以供參考。
四重素數組
四重素數組 (Prime Quadruplets) 是指若 p 為素數，p+0、2 、6 、8 均為素數。
最小的一組四重素數組為 (5,7,11,13)。其實這亦是兩組相鄰的孿生素數 (Twin Primes) 。在 1000 以內，我們只有 (5,7,11,13) 和 (101,103,107,109) 兩組而已。在 10000 以內也不過多了 (1871,1873,1877,1879) 、(2081,2083,2087,2089)、(3251,3253,3257,3259) 、 (3461,3463,3467,3469) 和 (9431,9433,9437,9439)，合共 7 組而已，極為稀少。但我們不難發現式中的 p 全以個位為 1 。原因很簡單只有 p 的個位為 1 才可使其餘的數避開個位是 5 和其他偶數，才有可能有四個素數的組合。
下表列寫十大四重素數組：
四重素數組 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 4104082046*4800# + 5651 + 0, 2, 6, 8 | 2058 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2005 |
| 11024895887*3500# + 855731 +0, 2, 6, 8 | 1491 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2003 |
| 10271674954*2999# + 3461 + 0, 2, 6, 8 | 1284 |
貝爾 (Michael Bell) / 大衛遜 (Michael Davison) / 積克
(Matt Jack) / 劉 (Ronald Lau) / 李斯 (Graeme Leese) / 路寧 (Ben Lowing) |
2002 |
| 109267227191*2500# + 10531091 + 0, 2, 6, 8 | 1068 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2001 |
| 8954571083387140525*(23423 - 21141) - 6*21141 - 7, -5, -1, +1 | 1050 |
福布斯 (Tony Forbes) |
1999 |
| 31969211688*2400#+16061 + 0, 2, 6, 8 | 1034 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2002 |
| 24947432928741915235*(23363 - 21121) - 6*21121 - 7, -5, -1, +1 | 1032 |
福布斯 (Tony Forbes) |
1999 |
| 17293378403589618790*(23363 - 21121) - 6*21121 - 7, -5, -1, +1 | 1032 |
福布斯 (Tony Forbes) |
1999 |
| 11984747204231082960*(23363 - 21121) - 6*21121 - 7, -5, -1, +1 | 1032 |
福布斯 (Tony Forbes) |
1998 |
| 3510160221387831655*(23363 - 21121) - 6*21121 - 7, -5, -1, +1 | 1031 |
福布斯 (Tony Forbes) |
1998 |
上表中的 p# 是表示 p 或以內的所有素數乘積。
五重素數組
五重素數組 (Prime Quintuplets) 是指若 p 為素數，p+0、2 、6 、8、12 或 p+0、4、 6、 8、12 均為素數。
最小的一組五重素數組為 (5,7,11,13,17)。其實這亦是兩組相鄰的孿生素數的前或後再連多一個素數。在 10000 以內，我們只有 (5,7,11,13,17) 、 (7,11,13,17,19) 、(97,101,103,107,109) 、(101,103,107,109,113) 、(1867,1871,1873,1877,1879) 和 (3457, 3461, 3463, 3467, 3469) 六組而已，極為稀少。
下表列寫十大五重素數組：
五重素數組 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 31969211688*2400#+16061 + 0, 2, 6, 8, 12 | 1034 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2002 |
| 912143859*1223# + 463001711 + 0, 2, 6, 8, 12 | 522 |
多魯雲．約翰遜 (Donovan Johnson) |
2004 |
| 19685846183*1200# + 6005891 + 0, 2, 6, 8, 12 | 511 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2002 |
| 14519751105*1050# + 1042090781 + 0, 2, 6, 8, 12 | 450 |
漢寧根 (Michael Hannigan) |
2002 |
| 63687452535*1000# + 1002054791 + 0, 2, 6, 8, 12 | 427 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2001 |
| 3242281037*900#+1867 + 0, 4, 6, 10, 12 | 384 |
貝爾 (Michael Bell) |
2000 |
| 138765468778 * 850# + 2822707 + 4, 6, 10, 12, 16 | 362 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2004 |
| 138765468778 * 850# + 2822707 + 0, 4, 6, 10, 12 | 362 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2004 |
| 10320 + 1928441138811931 + 0, 2, 6, 8, 12 | 321 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2000 |
| 3188356293605443904*(2993 - 2331) - 6*2331 - 7, -5, -1, +1, +5 | 318 |
福布斯 (Tony Forbes) |
1999 |
上表中的 p# 是表示 p 或以內的所有素數乘積。
六重素數組
六重素數組 (Prime Sextuplets) 是指若 p 為素數， p+0、4 、6 、10 、12、16 均為素數。
最小的一組六重素數組為 (7,11,13,17,19,23) 。其實這亦是兩組相鄰的孿生素數的前和後再連多一個素數。在 100000 以內，我們只有 (7,11,13,17,19,23) 、 (97,101,103,107,109,113) 、(16057,16061,16063,16067,16069,16073) 、 (19417,19421,19423,19427,19429,19433) 和 (43777,43781,43783,43787,43789,43793) 六組而已，極為稀少。
我們不難知道其開始於一個個位是 7 的素數，而結於一個個位是 3 的素數。
下表列寫十大六重素數組：
六重素數組 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 138765468778 * 850# + 2822707 + 0, 4, 6, 10, 12, 16 | 362 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2004 |
| 8398544501*710# + 2000472907 + 0, 4, 6, 10, 12, 16 | 306 |
亞林 (Torbjorn Alm) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2003 |
| 110282080125*700# + 6005887 + 0, 4, 6, 10, 12, 16 | 301 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2001 |
| 97953153175*670# + 16057 + 0, 4, 6, 10, 12, 16 | 290 |
貝爾 (Michael Bell) / 李斯 (Graeme Leese) / 大衛遜 (Michael
Davison) |
2001 |
| 86450022463*570# + 1000000587445747 + 0, 4, 6, 10, 12, 16 | 242 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2001 |
| 1189609319*503#/613777 + 446215867 +0, 4, 6, 10, 12, 16 | 213 |
貝爾 (Michael Bell) |
2000 |
| 82248305245 * 43# * 2479 + 16057 + 0, 4, 6, 10, 12, 16 | 172 |
艾堅 (A. Oliver L. Atkin) |
1997 |
| 2512 + 6638977280721 + 0, 4, 6, 10, 12, 16 | 155 |
福布斯 (Tony Forbes) |
1996 |
| 2 * 10132 + 75543532187 + 0, 4, 6, 10, 12, 16 | 133 |
福布斯 (Tony Forbes) |
1994 |
| 4657194227*240# + 16057 + 0, 4, 6, 10, 12, 16 | 106 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2003 |
上表中的 p# 是表示 p 或以內的所有素數乘積。
七重素數組
七重素數組 (Prime Septuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2 、6 、8 、12、 18、20 或 p+0、4、8、12、14、18、20 均為素數。
最小的一組七重素數組為 (11,13,17,19,23,29,31)，而下一組已是 (5639,5641,5647,5651,5653,5657,5659)，再下一組是 (88799,88801,88807,88811,88813,88817,88819)：在 100000 以內僅此三組而已，可以說是極為稀少。
下表列寫十大七重素數組：
七重素數組 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 76794640264*509# + 5132201 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20 | 223 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 1839198074074 * 500# + 165701 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20 | 219 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2004 |
| 241698051*421# + 186765203741 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20 | 180 |
亞林 (Torbjorn Alm) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 230734160*421# + 178028005271 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20 | 180 |
亞林 (Torbjorn Alm) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 218857474*421# + 124350941831 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20 | 180 |
亞林 (Torbjorn Alm) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 216462875*421# + 121016110331 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20 | 180 |
亞林 (Torbjorn Alm) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 213276222*421# + 50201676641 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20 | 180 |
亞林 (Torbjorn Alm) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 201082172*421# + 64240191131 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20 | 180 |
亞林 (Torbjorn Alm) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 137753476*421# + 45963242441 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20 | 180 |
亞林 (Torbjorn Alm) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 132842643*421# + 317708976701 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20 | 180 |
亞林 (Torbjorn Alm) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
上表中的 p# 是表示 p 或以內的所有素數乘積。
八重素數組
八重素數組 (Prime Octuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2 、6 、8 、12、 18、20、26 或 p+0、4、6、12、14、20、24、26或 p+0、6、8、14、18、20、24、26 均為素數。
最小的一組八重素數組為 (11,13,17,19,23,29,31,37)，而下一組已是 (17,19,23,29,37,37,43) 、 (1277,1279,1283,1289,1291,1297,1301,1303) 和 (88793,88799,88801,88807,88811,88813,88817,88819) ：在 100000 以內僅此四組而已，可以說是極為稀少。
下表列寫十大八重素數組：
八重素數組 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 97510235*421# + 322355908991 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26 | 180 |
亞林 (Torbjorn Alm) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 4319152256906 * 400# + 1277 + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26 | 174 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2004 |
| 65677369861*380# + 18000020393471 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26 | 165 |
亞林 (Torbjorn Alm) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2003 |
| 15234072433401 * 375# + 43813839521 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26 | 164 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2002 |
| 243551752728*320# + 1277 + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26 | 142 |
李斯 (Graeme Leese) / 貝爾 (Michael Bell) / 積克 (Matt
Jack) / 大衛遜 (Michael Davison) / 路寧 (Ben Lowing) / 南丁格爾 (Tim Nightingale) |
2001 |
| 118195793431939*300# + 103498931 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26 | 135 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2005 |
| 98481667857555*300# + 103498931 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26 | 135 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2005 |
| 90421624808713*300# + 103498931 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30 | 135 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2005 |
| 83957036111044*300# + 103498931 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26 | 135 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2005 |
| 78982397556852*300# + 103498931 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26 | 135 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2005 |
上表中的 p# 是表示 p 或以內的所有素數乘積。
九重素數組
九重素數組 (Prime Nonuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、8、12、18、20、26、30 或 p+0、2、6、12、14、20、24、26、30 或 p+0、4、6、10、16、18、24、28、30 或 p+0、4、10、12、18、22、24、28、30 均為素數。
在第一組別中，最小的一組九重素數組為 p=11，而下一組已是 p=182403491，這一組的開首數個位定是 1；在第二組別中，最小的一組九重素數組為 p=17，接下來有 p=1277 和 p=113147，這一組的開首數個位定是 7；在第三組別中，最小的一組九重素數組為 p=13，接下來有 p=113143，這一組的開首數個位定是 3；最後一組的最小的一組九重素數組已是 p=88789 ，接下來有 p=855709，這一組的開首數個位定是 9，奇怪嗎？
下表列寫十大九重素數組：
九重素數組 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 90421624808713*300# + 103498931 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30 | 135 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2005 |
| 1619062142 * 255# + 53344165991 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30 | 111 |
禾達 (Thomas Wolter) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2003 |
| 388793398651*250# + 1042090781 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30 | 110 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2001 |
| 2242445342405*230# + 39058751 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30 | 104 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2003 |
| 24698258*239# + 28606476153371 + 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36 | 104 |
勞恩 (Norman Luhn) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2002 |
| 24698258*239# + 28606476153371 + 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32 | 104 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 24698258*239# + 28606476153371 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30 | 104 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 18188893*239# + 7597110015611 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30 | 104 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 12023698*239# + 19623646397471 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30 | 104 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 9808759*239# + 9127517704421 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30 | 104 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
上表中的 p# 是表示 p 或以內的所有素數乘積。
十重素數組
十重素數組 (Prime Decuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、8、12、18、20、26、30、32 或 p+0、2、6、12、14、20、24、26、30 、32 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十重素數組為 p=11，但下一組已是 p=33081664151，這一組的開首數個位定是 1；在第二組別中，最小的一組十重素數組為 p=9853497737，這一組的開首數個位定是 7。
下表列寫十大十重素數組：
十重素數組 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 24698258*239# + 28606476153371 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32 | 104 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 72613488698235 * 227# + 39058751 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32 | 103 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2004 |
| 36273553*157# + 106263743005151 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32 | 70 |
羅辛杜 (Hans Rosenthal) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 35405054*157# + 143751012544871 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32 | 70 |
羅辛杜 (Hans Rosenthal) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 35078052*157# + 398861548425071 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36 | 70 |
羅辛杜 (Hans Rosenthal) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 34101658*157# + 164826429367331 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32 | 70 |
羅辛杜 (Hans Rosenthal) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 33744069*157# + 243858308984021 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32 | 70 |
羅辛杜 (Hans Rosenthal) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 33395983*157# + 49822093470881 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32 | 70 |
羅辛杜 (Hans Rosenthal) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 31812413*157# + 394317153630131 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32 | 70 |
羅辛杜 (Hans Rosenthal) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 30972388*157# + 218344297501061 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32 | 70 |
羅辛杜 (Hans Rosenthal) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
上表中的 p# 是表示 p 或以內的所有素數乘積。
十一重素數組
十一重素數組 (Prime 11-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、8、12、18、20、26、30、32、36 或 p+0、4、6、10、16、18、24、28、30 、34、36 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十一重素數組為 p=11，但下一組已是 p=7908189600581，這一組的開首數個位定是 1；在第二組別中，最小的一組十一重素數組為 p=1418575498573，這一組的開首數個位定是 7。
下表列寫十大十一重素數組：
十一重素數組 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 24698258*239# + 28606476153371 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36 | 104 |
勞恩 (Norman Luhn) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 35078052*157# + 398861548425071 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36 | 70 |
羅辛杜 (Hans Rosenthal) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 34101658*157# + 164826429367331 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36 | 70 |
羅辛杜 (Hans Rosenthal) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 92119245478633*130# + 21816911 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36 | 63 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2003 |
| 58187756*110# + 2320048690691 | 53 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2003 |
| 11450665899501*101# + 39058751 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36 | 52 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2003 |
| 946772106455*90# + 872141 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36 | 47 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2003 |
| 3676296453875*80# + 10527733922591 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36 | 44 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2001 |
| 434217435*89# + 604837794936491 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36 | 44 |
雲韋利根 (Christ van Willegen) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 434161298*89# + 612442658382671 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36 | 44 |
雲韋利根 (Christ van Willegen) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
上表中的 p# 是表示 p 或以內的所有素數乘積。
十二重素數組
十二重素數組 (Prime 12-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、8、12、18、20、26、30、32、36、42或 p+0、6、10、12、16、22、24、30、34 、36、40、42 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十二重素數組為 p=11，但下一組已是 p=380284918609481，這一組的開首數個位定是 1；在第二組別中，最小的一組十二重素數組為 p=1418575498567，這一組的開首數個位定是 7。
下表列寫十大十二重素數組：
十二重素數組 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 434161298*89# + 612442658382671 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42 | 44 |
雲韋利根 (Christ van Willegen) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 432589236*89# + 611531575179641 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42 | 44 |
雲韋利根 (Christ van Willegen) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 332352838383*80# + 38458151 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42 | 43 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2003 |
| 5027317106963 * 75# + 1418575498567 + 0, 6, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 34, 36, 40, 42 | 42 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2001 |
| 720345861287087*70# + 8393501 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42 | 40 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2003 |
| 564115572162757*70# + 8393501 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42 | 40 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2003 |
| 412477355651067*70# + 8393501 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42 | 40 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2003 |
| 186519833921143*70# + 8393501 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42 | 40 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2003 |
| 130171389197721*70# + 8393501 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42 | 40 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2003 |
| 119488020007747*70# + 8393501 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42 | 39 |
勞恩 (Norman Luhn) |
2003 |
上表中的 p# 是表示 p 或以內的所有素數乘積。
十三重素數組
十三重素數組 (Prime 13-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、8、12、18、20、26、30、32、36、42、48 或 p+0 、2、8、14、18、20、24、30、32、38、42、44、48 或 p+0、2、12、14、18、20、24、30、32 、38、42、44、48 或 p+0、4、6、10、16、18、24、28、30、34、36、46、48 或 p+0、4、6、10、16、18、24、28、30、34、40、46、48 或 p+0、6、12、16、18、22、28、30、36、40、42、46、48 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十三重素數組為 p=11，但下一組已是 p=7933248530182091，這一組的開首數個位定是 1；在第二組別中，最小的一組十三重素數組為 p=7697168877290909，這一組的開首數個位定是 9；在第三組別中，最小的一組十三重素數組為 p=10527733922579，這一組的開首數個位定是 9；在第四組別中，最小的一組十三重素數組為 p=1707898733581273，這一組的開首數個位定是 3 ；在第五組別中，最小的一組十三重素數組為 p=13，但下一組已是 p=4289907938811613，這一組的開首數個位定是 3；最後一組別中，最小的一組十三重素數組為 186460616596321，這一組的開首數個位定是 1。
下表列寫十大十三重素數組：
十三重素數組 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 26697593*67# + 315911634133211 + 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50 | 33 |
雲韋利根 (Christ van Willegen) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 26307518*67# + 184083066052001 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48 | 33 |
雲韋利根 (Christ van Willegen) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 26093748*67# + 383123187762431 + 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50 | 33 |
雲韋利根 (Christ van Willegen) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 26093748*67# + 383123187762431 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48 | 33 |
雲韋利根 (Christ van Willegen) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 25478069*67# + 114181562199821 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48 | 33 |
雲韋利根 (Christ van Willegen) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 24970179*67# + 164226895277561 + 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50 | 33 |
雲韋利根 (Christ van Willegen) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 23320603*67# + 60301221485621 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48 | 33 |
雲韋利根 (Christ van Willegen) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 22996461*67# + 257514231089231 + 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50 | 33 |
雲韋利根 (Christ van Willegen) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 22865416*67# + 58526097915401 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48 | 33 |
雲韋利根 (Christ van Willegen) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 22516115*67# + 73934561215633 + 0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48 | 33 |
雲韋利根 (Christ van Willegen) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
上表中的 p# 是表示 p 或以內的所有素數乘積。
十四重素數組
十四重素數組 (Prime 14-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、8、12、18、20、26、30、32、36、42、48、50 或 p+0、2、8、14、18、20、24、30、32、38、42、44、48、50 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十四重素數組為 p=11，但下一組已是 p=21817283854511261，這一組的開首數個位定是 1；在第二組別中，最小的一組十四重素數組為 p=79287805466244209，這一組的開首數個位定是 9。
下表列寫十大十四重素數組：
十四重素數組 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 26093748*67# + 383123187762431 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50 | 33 |
雲韋利根 (Christ van Willegen)
/ 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2005 |
| 99999999948164978600250563546400 + 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 | 32 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2004 |
| 1251030012595955901312188450381 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50 | 31 |
羅辛杜 (Hans Rosenthal) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2003 |
| 1124495649695212998778414534811 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50 | 31 |
禾達 (Thomas Wolter) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2003 |
| 1100916249233879857334075234831 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50 | 31 |
羅辛杜 (Hans Rosenthal) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2003 |
| 1000000008282508019026959814211 +0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50 | 31 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2000 |
| 1000000007541367760266886291861 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50 | 31 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2000 |
| 1000000006672161724368529625351 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50 | 31 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2000 |
| 1000000005832631360266813468481 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50 | 31 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2000 |
| 1000000005644941246959007679801 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42 ,48 ,50 | 31 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2000 |
上表中的 p# 是表示 p 或以內的所有素數乘積。
十五重素數組
十五重素數組 (Prime 15-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、8、12、18、20、26、30、32、36、42、48、50、56 或 p+0、2、6、12、14、20、24、26、30、36、42、44、50、54、56 或 p+0、2、6、12、14、20、26、30、32、36、42、44、50、54、56 或 p+0、6、8、14、20、24、26、30、32、36、38、44、48、50、54、56 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十五重素數組為 p=11，但下一組已是 p=44360646117391789301，這一組的開首數個位定是 1；在第二組別中，最小的一組十五重素數組為 p=17，但下一組已是 p=17905159760365247387 ，這一組的開首數個位定是 7；在第三組別中，最小的一組十五重素數組為 p=1240068005144831867 ，這一組的開首數個位也一定是 7；在最後一組別中，最小的一組十五重素數組為 p=348214184662549960583 ，這一組的開首數個位定也是 3。
下表列寫十大十五重素數組：
十五重素數組 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 99999999948164978600250563546400 + 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 | 32 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2004 |
| 1251030012595955901312188450381 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50, 56 | 31 |
羅辛杜 (Hans Rosenthal) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2003 |
| 1100916249233879857334075234831 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50, 56 | 31 |
羅辛杜 (Hans Rosenthal) / 安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2003 |
| 999999999962618227626700812281 + 0, 2, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 48, 50, 56 | 30 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2000 |
| 10252256693298561414756287 + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60 | 26 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 2845372542509911868266817 + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56 | 25 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2000 |
| 1906230835046648293290047 + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56 | 25 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 163027495131423420474917 + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56 | 24 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 123452114023762529883167 + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56 | 24 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) |
1999 |
| 110885131130067570042707 + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56 | 24 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
上表中的 p# 是表示 p 或以內的所有素數乘積。
十六重素數組
十六重素數組 (Prime 16-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、12、14、20、26、30、32、36、42、44、50、54、56、60 或 p+0 、4、6、10、16、18、24、28、30、32、36、42、44、50、54、56、60 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十六重素數組為 p=47710850533373130107 ；在第二組別中，最小的一組十六重素數組為 p=13。
下表列寫十大十六重素數組：
十六重素數組 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 10252256693298561414756287 + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60 | 26 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) |
2004 |
| 2845372542509911868266817 + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60 | 25 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2000 |
| 1906230835046648293290043 + 0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60 | 25 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 163027495131423420474913 + 0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60 | 24 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 110885131130067570042703 + 0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60 | 24 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 83405687980406998933663 + 0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60 | 23 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 78314167738064529047713 + 0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60 | 23 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 47624415490498763963983 + 0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60 | 23 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 20947353617877810296177 + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60 | 23 |
福布斯 (Tony Forbes) |
1999 |
| 3259125690557440336637 + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 26, 30, 32, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 60 | 22 |
福布斯 (Tony Forbes) |
1997 |
上表中的 p# 是表示 p 或以內的所有素數乘積。
十七重素數組
十七重素數組 (Prime 17-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、2、6、12、14、20、24、26、30、36、42、44、50、54、56、62、66 或 p+0、4、6、10、16、18、24、28、30、34、40、46、48、54、58、60、66 或 p+0、4、10、12、16、22、24、30、36、40、42、46、52、54、60、64、66 p+0、6、8、12、18、20、26、32、36、40、42、46、52、54、60、64、66 均為素數。
在第一組別中，最小的一組十七重素數組為 p=17，但下一組已是 p=37630850994954402655487 ，這一組的開首數個位定是 7；在第二組別中，最小的一組十七重素數組為 p=13 ，但下一組已是 p=47624415490498763963983 ，這一組的開首數個位定是 3，其餘兩組均未發現相關素數組合。
下表列寫十大十七重素數組：
十七重素數組 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 2845372542509911868266811 + 0, 6, 8, 12, 18, 20, 26, 32, 36, 38, 42, 48, 50, 56, 60, 62, 66 | 25 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2000 |
| 2845372542509911868266807 + 0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66 | 25 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2000 |
| 1906230835046648293290047 + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 62, 66 | 25 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 1906230835046648293290043 + 0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66 | 25 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 163027495131423420474913 + 0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66 | 24 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 110885131130067570042703 + 0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66 | 24 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 83405687980406998933663 + 0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66 | 23 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 78314167738064529047713 + 0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66 | 23 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 53947453971035573715707 + 0, 2, 6, 12, 14, 20, 24, 26, 30, 36, 42, 44, 50, 54, 56, 62, 66 | 23 |
福布斯 (Tony Forbes) |
1998 |
| 47624415490498763963983 + 0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66 | 23 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
上表中的 p# 是表示 p 或以內的所有素數乘積。
十八重素數組
十八重素數組 (Prime 18-tuplets) 是指若 p 為素數， p+0、4、6、10、16、18、24、28、30、34、40、46、48、54、60、64、66、70 或 p+0、4、10、12、16、22、24、30、36、40、42、46、42、54、60、64、66、70 均為素數。
下表列寫三組十八重素數組：
十八重素數組 |
數位 |
發現者 |
發現年份 |
| 2845372542509911868266807 + 0, 4, 10, 12, 16, 22, 24, 30, 36, 40, 42, 46, 52, 54, 60, 64, 66, 70 | 25 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2000 |
| 1906230835046648293290043 + 0, 4, 6, 10, 16, 18, 24, 28, 30, 34, 40, 46, 48, 54, 58, 60, 66, 70 | 25 |
華特和高 (Joerg Waldvogel) / 利高夫 (Peter Leikauf) |
2001 |
| 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 |
上表中的 p# 是表示 p 或以內的所有素數乘積。
總結
其實我們亦知不可能有完全連續的奇數 (Odd Number) 全為素數，所以所謂多重素數組實際上是在一最小的範圍 s 內出現最多 n個素數而使它們不會有數含有小於 n 的因子 (Divisor) ，正因為如此我們才有這樣不同的組別，而這些素數密集區域，我們稱之為素數雲 (Prime Constellation)。下表列出 s 和 n 的對應數值：
n |
s |
組別數目 |
2 |
2 |
1 |
3 |
6 |
2 |
4 |
8 |
1 |
5 |
12 |
2 |
6 |
16 |
1 |
7 |
20 |
2 |
8 |
26 |
3 |
9 |
30 |
4 |
10 |
32 |
2 |
11 |
36 |
2 |
12 |
42 |
2 |
13 |
48 |
6 |
14 |
50 |
2 |
15 |
56 |
4 |
16 |
60 |
2 |
17 |
66 |
4 |
18 |
70 |
2 |
19 |
76 |
4 |
20 |
80 |
2 |
其實數學家也為更大的多元數列計算 s 值和製定組別模式，可惜當 n 大於 18 時，除了在素數密集的細數區域找到多重素數組而外便找不到更大的組合，可能多是搜索範圍未夠大，但要尋找更大的素數組合定要在計算速度和方法上有所突破，畢竟我們現在對這些長長的東西認識不多。
附錄：
參考文獻及網址：
Forbes, T. "Prime k-Tuplets." http://www.ltkz.demon.co.uk/ktuplets.htm.
