由第一對孿生素數談起

英國數學家哈代 (Godfrey Harold Hardy 1877-1947)

英國數學家李特伍德 (John Edenser Littlewood 1885-1977)

(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )

 

素數的雙胞胎

(3,5)、(5,7)、(11,13)、(17,19)、(29,31)等，這些組合中的兩個素數均相 2 ，我們稱為一對對的孿生素數 (Twin Primes)。孿生即雙胞胎，這些素數組一對一對相鄰，尢如雙生嬰兒般。用數學的用詞即若 p 為素數， p+2 也是素數。

在素數世界中，孿生素數也不難找到，在 100 以內已有 8 對，在 1000 以內已有 35 對，在 10000 以內則有 213 對。我為大家預備了首 100000 對孿生素數，欲窺全豹，這邊有請。

下表列出首十位的孿生素數：

孿生素數	數位	發現者	發現年份
2003663613 * 2195000 ± 1	58711	維達 (Eric Vautier) / 麥杰本 (Patrick W. McKibbon) / 杰華賓高 (Dmitri Gribenko)	2007
194772106074315 * 2171960 ± 1	51780	索坦．查韋 (Zoltan Jarai) / 法加斯 (Gabor Farkas) / 莎織波克(Timea Csajbok) / 加斯沙 (Janos Kasza) / 安杜．查韋 (Antal Jarai)	2007
100314512544015 * 2171960 ± 1	51780	索坦．查韋 (Zoltan Jarai) / 法加斯 (Gabor Farkas) / 莎織波克(Timea Csajbok) / 加斯沙 (Janos Kasza) / 安杜．查韋 (Antal Jarai)	2006
16869987339975 * 2171960 ± 1	51779	索坦．查韋 (Zoltan Jarai) / 法加斯 (Gabor Farkas) / 莎織波克(Timea Csajbok) / 加斯沙 (Janos Kasza) / 安杜．查韋 (Antal Jarai)	2005
33218925 * 2169690 ± 1	51090	柏比 (Daniel Papp) / 加洛特 (Yves Gallot)	2002
60194061 * 2114689 ± 1	34533	安達碧基 (David Underbakke)	2002
108615 * 2110342 ± 1	33222	查達菲特 (Chris Chatfield)	2008
1765199373 * 2107520 ± 1	32376	麥伊赫頓 (James McElhatton) / 加洛特 (Yves Gallot)	2002
318032361 * 2107001 ± 1	32220	安達碧基 (David Underbakke) / 卡莫迪(Phil Carmody)	2001
1046619117 * 2100000 ± 1	30113	巴恩斯 (Gary Barnes)	2007

(讀者可參考網頁：http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1 )

 

沒人會用的孿生素數判別式

1949年，基文特 (P. A. Clement) 對孿生素數作了以下的描述：

設 n 不少於 2， n 和 n + 2 是孿生素數對當且僅當 4 [ (n-1)! + 1] + n = 0 (mod n(n+2) )

即 上式左方的結果為 n(n+2) 的倍數。

證明也不太困難，只是威爾遜定理 (Wilson's Theorem) 的一個應用。和威爾遜定理相關的事情，可參考《沒人會用的判別法》一文。

若同餘式成立，則 n 不可為 2 或 4，即 4 [ (n-1)! + 1] + n = 0 (mod n) 及 4 [ (n-1)! + 1] + n = 0 (mod n+2)

先看看 4 [ (n-1)! + 1] + n = 0 (mod n)，得

(n-1)! + 1 = 0 (mod n)

由威爾遜定理可知 n 為素數；

再看 4 [ (n-1)! + 1] + n = 0 (mod n+2)

即 4 [ (n-1)! + 1] - 2= 0 (mod n+2)

4(n-1)! + 2 = 0 (mod n+2)

兩邊乘以 n(n+1)，得

4(n+1)! + 2*n*(n+1) = 0 (mod n+2)

4[(n+1)! + 1] + 2n² + 2n - 4 = 0 (mod n+2)

4[(n+1)! + 1] + (n+2) (2n-2) = 0 (mod n+2)

即 (n+1)! + 1 = 0 (mod n+2)

由威爾遜定理可知 n+2 為素數；

 

反之 若 n 及 n+2 均為素數，則 n 不為 2 且

(n-1)! + 1 = 0 (mod n) 及 (n+1)! + 1 = 0 (mod n+2)

但 n(n+1) = (n+2) (n-1) + 2 ，所以 2(n-1)! + 1 = k(n+2)，其中 k 為整數。

由 (n-1)! = -1 (mod n) ，可知 2k + 1 = 0 (mod n)

代入原式得 4(n-2)! + 2 = -(n+2) (mod n(n+2))，所以得證。

這個方法對決定孿生素數沒有多大的價值，因為計算 (n-1)! 也相當費時，特別當 n 很大時。是故找孿生素數也不會用上式。

 

奇怪的孿生素數

其實孿生素數也有很多奇怪的特性，下面略述一二：

 

除了 (3,5) 一組外，所有孿生素數的和均是 12 的倍數 (Multiple)。

5 + 7 = 12、11 + 13 = 24 = 2 * 12、17 + 19 = 36 = 3 * 12、29 + 31 = 60 = 5 * 12、......

原因很簡單，除了 (3,5) 一組外，所有孿生素數的第一數除以 6 一定餘 5 ，記為 p = 5 (mod 6)。因這 p 不可能餘 2、4、0，因這全是偶數不會是素數；亦不會餘 3 ，因這是 3 的倍數，是合數；亦不可能是餘 1，因若餘 1 ，p+2 便餘 3 成了合數。故 p = 5 (mod 6) 及 p+2 = 1 (mod 6) ，所以其中值必是 6 的倍數，其和則再是中值的 2 倍，即 12 的倍數。

 

猜想一個

另外人們早就對孿生素數的個數有興趣，1922年哈代 (Godfrey Harold Hardy 1877-1947) 和李特伍德 (John Edenser Littlewood 1885-1977) 提出不超過 N 的孿生素數個數為 z(N) = CN / log(logN) ，其中 C 為一常數，C=1.3202......，這亦只是一猜想而已。透過統計分析測定正確，但未經數學上的邏輯証明，其實普遍的各類素數極限也是這樣。

又有人問孿生素數是否有無限對之多？人們相信是，但至今未有人完全把這証明出來。這正是著名的孿生素數猜想，亦是我們數論三大難題之一，三大難題包括費馬大定理 (Fermat's Last Theorem)、哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture) 和孿生素數猜想 (Twin Primes Conjecture)，其中費馬大定理已為人全解，現在數論學者的注意力會轉到剩下來的兩大難題之上。無巧不成，走在這兩大難題的最前面的也是我們中國人 - 陳景潤 (Jingrun Chen 1933-1996)。

其中在孿生素數猜想的問題上，陳景潤得到一結論：存在無窮多個素數 p ，使 p+2 為素因子個數不超過 2 的殆素數 (Almost Prime)，這便是陳氏定理 (Chen's Theorem)。殆素數是指一合數或素數，而其素因子個數不多於指定的數目 (現在是 2) 。只要我們可把「素因子個數不超過 2 的殆素數」換寫成素數，孿生素數猜想的問題便成歷史，但這一換不知是多少年後的事。

 

陳氏素數

順道一提，若 p 為素數，且 p+2 為一 「素因子個數不超過 2 的殆素數」，則稱 p 為陳氏素數 (Chen Prime)。

其實孿生素數中較小的一個素數必定為陳氏素數。陳氏素數由何而來，和陳氏定理一樣，陳景潤。

順道二提，陳氏素數有多少個呢？存在無限多組三個的陳氏素數形成等差級數，這變相證明了陳氏素數的個數是無限的。而證明這個事實的數學家正包括另一華人：澳洲華裔數學家陶哲軒 (Terence Chi-Shen Tao 1975- )。這事實是陶哲軒和英國數家格林 (Ben J. Green 1977-) 於 2004 證明格林- 陶定理 (Green Tao Thereom)，即存在任意長的素數等差級數的一個應用。其後，陶哲軒以此功績奪得 2006年的菲爾茲獎 (Fields Medal)，成為首位澳洲人奪得這個數學界的最高榮譽。

 

 

參考文獻及網址：

Caldwell, C. "The Top Twenty: Twin Primes." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=1.

Guy, R. K. "Gaps between Primes. Twin Primes." §A8 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 19-23, 1994.

Ribenboim, P. "The Little Book of Bigger Prime" , New York: Springer-Verlag, 1991

Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers. Middlesex, England: Penguin Books, p. 41, 1986.

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