再談素幻方

連續素幻方

我們已在連續素幻方 (Consecutive Prime Magic Square) 中談及一些和幻方 (Magic Square) 相關的故事，若我們把要求降低，不求連續，只要素數，找來的幻方會更容易。

三階素幻方

大家且看一例：

47	29	101
113	59	5
17	89	71

4	3	8
9	5	1
2	7	6

左方紅色的是一個三階素幻方，右方藍色的則是一個普通的三階幻方。

觀察素幻方 (Prime Magic Square) ，我們可知正中央的數 (59) 是全行總和 (177) 的三分之一，這和右方幻方相同。利用這發現，我們不難創製三階素幻方。我們先定中央的素數，再把其兩倍分拆成 2 個素數的和，要有四種不同的分拆方法，然後把數字依右圖次序入座便成。但不是任何素數都可充當「中央大官」，如我們以 11 為中央，但 22 的分拆法僅 22 = 3+19 和 22 = 5+17 兩種，未及四種，故 11 未夠資格充當「中央大官」了。當然找到中央的素數和分拆組合以後，我們還得看看其他橫直行是否相等，但這已減少了不少無謂的測試了。

其實最小的三階素幻方正是上例。若以 89 為中央，我們可得：

71	47	149
167	89	11
29	131	107

素幻方中可否有 2 的存在？答案是不可，因若有 2 在其中一行一格內，包括該格的橫直 (或斜) 行的總和的奇偶性必定和其他的不同。因此惟一的偶素數 2 又一次被其他素數排擠了。

高階素幻方

高階素幻方 (High Ordered Prime Magic Square)，創製的限制會更多，故本人討來例子一二，以供欣賞。

17	317	397	67
307	157	107	227
127	277	257	137
347	47	37	367

11	3851	9257	1747	6481	881	5399
6397	827	5501	71	3779	9221	1831
3881	9281	1759	6361	911	5417	17
839	5381	101	3797	9227	1861	6421
9311	1777	6367	941	5441	29	3761
5387	131	3821	9239	1741	6451	857
1801	6379	821	5471	47	3767	9341

上述兩幻方均有同一特點，每行個位總和是相同的：四階素幻方是「全七」的，個位總和全為 4*7 = 28；而七階素幻方的每一行包括了一個 9 、兩個 7 和四個 1 ，個位總和為 9+2*7+4*1 = 27 。這樣使我們拿掉個位，這仍是一幻方。

說到最美的素幻方，則不可不看看下例的十三階素幻方了：

這不單是一個素幻方，而且是一個加邊幻方 (Bordered Magic Square) 或稱同心幻方 (Concentirc Magic Square) ，1即中央的 11*11、9*9、...... 、3*3 也全是幻方。

重素幻方

所謂重幻方 (Multimagic Square)，即指一幻方的各數字各自平方、取三次方，甚自更高次方以後，各直、橫 (以及對角線) 的和也是等同，即也成幻方。若該幻方各數字經平方後仍是幻方，我們稱為二重幻方 (Bimagic Square) ；若該幻方各數字經立方後仍是幻方，我們稱為三重幻方 (Trimagic Square) ，如此類推。

最早出現的一個重幻方，是在 1890 年由比費文 (G. Pfeffermann) 找到的：

自素幻方出現以後，挑戰數學難度的人開始把各樣幻方的中問題引入素數世界中，重幻方的概念也不例外，這便是重素幻方 (Prime Multimagic Square) 。

29	293	641	227
277	659	73	181
643	101	337	109
241	137	139	673

我們可知當中 16 個數字全是不同的素數；

直、橫各行的和是 1190；

各數平方後，直、橫各行的和是 549100；

但其對角線各數在平方前或後，其和也和別行不相同；

故這是一個二重素幻方 (Prime Bimagic Square) ，但不包括對角線。

這幻方是由一位名叫波亞 (Christian Boyer) 的數學工作者於 2004 年提出，但到底會不會有更高階或更完美的 (包括對角線) 的重素幻方，則拭目以待。