談談素數陣

素數陣

素數陣 (Prime Array) 是什麼？若大家玩過文字遊戲 Crosswords 的話，一定不會對此陌生。

Crosswords 中每一格是填上一英文字母(當然中文字亦何)，然後玩者在方陣中找出最多在直、橫或斜行中連續出現的英文單字(或中文詞語)，便告勝利。

當然我們可以選擇一些同一主題的字、詞鑲進 Crosswords 中，便成一特定主題的文字遊戲了。

試想一想，若方格內的不是英文字母，換上數字 (0-9) 又如何？那麼我們在這方陣中找什麼？當然是素數吧！是不同的素數，如：

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9

在上面的一個 6x6 的方陣中，大家又何找到多少個不同的素數呢？(存在於連續的直、橫、斜行中，方向不拘)

如：2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19、...... ，原來當中合共有 187 個不同的素數。

這樣的一個方陣，我們稱為素數陣，簡記 A(m,n)。

數學家問如何建構一個 6x6 的方陣，即 A(6,6) 使之包含最多不同的素數。最先提出這問題的是戈登．李爾 (Gordon Lee) ，他於1989 提出這問題，故這問題又稱作戈登李爾謎題 (Gordon Lee Puzzle)。其後，胡治 (Stephen C. Root) 找到了上面一個包含 187 個不同素數的解。及後德國數學家奧斯華特 (Marcus Oswald) 也找到另外五個不同的解，這五個解也各自包含 187 個不同的素數，本文不作引述，讀者可自行參考 http://mathworld.wolfram.com/PrimeArray.html。

要證明這 187 個素數是最多，可不容易，惟一可說的時現時沒有包含更多素數的素數陣而已。

那麼其他大小的方陣又怎樣？

 

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7

這個 A(3,3) 內包含了 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 71, 73, 79, 97, 113, 157, 179, ...... 合共 30 個素數。這是由墨西哥人里弗華 (Carlos B. Rivera 1950- ) 及阿耶拉 (J. Ayala) 找到的，且在 1999年，美國數學家魏爾斯史甸 (Eric W. Weisstein 1969- ) 證明了三階素數陣是惟一的 (Unique) 及最多包含 30 個不同的素數。

 

 

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3

上面 4 個不同的四階素數陣中第一個是由墨西哥人里弗華 (Carlos B. Rivera 1950- ) 及阿耶拉 (J. Ayala) 於 1998 年發現，而另外的三個則是由英國人邦斐特 (James Bonfield) 於 1999年找到。當中全是含有 63 個素數，已是已知的最多的了。

 

 

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上面 2 個不同的五階素數陣各含有 116 個素數，第一個是由里弗華及阿耶拉於 1998 年發現，而另一個則是由韋西迪 (Wilfred Whiteside) 在 1999年找到的。

 

至於六階素數陣最多含有 187 個素數，合共有六個之多。

第一個，我們開始用作例子的一個是胡治找到，而其他的則是由奧斯華特在 1998年發現。

 

現在讓我們看看暫時最佳的 7x7 和 8x8 的素數陣：

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9

當中包含了 281 個不同的素數
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3
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3
7
3

當中包含了 394 個不同的素數

這兩個素數陣都是由韋西迪 (Wilfred Whiteside) 找到的，前者在 1999年，而後者則在 2003 年被發現的。

而最佳的 9x9 素數陣則是由希杜爾 (Gary Hertel) 找到的，內裡包含有 527 個素數：

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2
2
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3
3

 

素立體陣

另外研究素數陣的人也向立方陣方向發展，即一個 n*n*n 的立體。如：

3x3x3

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0
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2
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3
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1
4
9

當中包含了 82 個不同的素數，這是由韋西迪於 1999 年找到，他還一次過找到了 8 個不同的解。

 

4x4x4

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1
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3
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2
3
7
1
9

當中包含了 283 個不同的素數，這是由邦斐特於 2000年找到的。

 

參考文獻及網址：

Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 061-The Gordon Lee Puzzle." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_001.htm.

Weisstein, E. W. "Prime Array." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/PrimeArray.html.

 

 

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