連續素數算術數列
亦有數學家不滿足於單純尋找一算術數列 (Arithmetric Progression) 中連續出現的素數，他們尋找由連續素數 (Consecutive Primes) 組成的算術數列。如：
251、257、263、269 和 1741、1747、1753、1759
由瓊斯 (M. F. Jones) 、 利耳 (M. Lal) 和 貝蘭頓 (W. J. Blundon) 於 1967年找到了由五個連續素數組成的算術數列 1010 + 24493 + 30k 其中 k = 0、1、2、3 和 4。
不久，蘭達 (L. J. Lander) 和 柏堅 (T. R. Parkin) 找到了由六個連續素數組成的算術數列 121174811 + 30k 其中 k 是介乎 0 和 5 之間的整數 。他們還証明了 9843019 + 30k 其中 k = 0、1、2、3 和 4 ，是由五個連續素數組成最小的算術數列。他們在 3*108 內還發現了另外 25 組這樣的數列，但卻沒有其他長度為 6 的數列。
另外納爾遜 (Hardy L. Nelson) 為了製造 3*3 的連續素幻方 (Consecutive Prime Magic Square) 而發現了長度為 9 的連續素數算術數列，這是 1480028171 和 這數 ±12、±18、±30 和 ±42。他還一次過找到另外 20 個這樣的連續素數算術數列。(詳見《連續素幻方》)
在 2004年，數學家格連 (Ben Green) 和杜 (Terence Tao) 證明了存在任意長的素算術數列 (Prime Arithmetric Progression) ，他們利用一些重要結果如「施米列迪定理 (Szemeredi's Theorem)」等協助作出證明。所謂施米列迪定理是指「每一正密度整數數列均存在任意長算術數列。」最後他們利用一個聰明的「轉移方法」和 48頁的計算，把這定理證明。
附表為現在已知最大的首十組連續素數算術數列：
算術數列首項 |
公差 |
項數 |
位數 |
發現者 |
發現年份 |
197418203 * 2250000 + 6089 |
6090 |
3 |
7535 |
莫蘭 (Francois Morain) / 布靴斯特 (David Broadhurst) |
2005 |
87 * 224582 + 2579 |
1290 |
3 |
7402 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) / 亞林 (Torbjorn Alm) /
羅辛杜 (Hans Rosenthal) |
2004 |
4811 * 220219 + 1 |
3738 |
3 |
6091 |
德密可 (Patrick Demichel) |
1996 |
(84055657369 * 205881 * 4001# * (205881 * 4001#
+ 1) + 210) * (205881 * 4001# - 1) / 35 + 13 |
6 |
3 |
5132 |
戴維斯 (Ken Davis) |
2006 |
(61310346529 * 205881 * 4001# * (205881* 4001# +
1) + 210) *(205881 * 4001# - 1) / 35 + 13 |
6 |
3 |
5132 |
戴維斯 (Ken Davis) |
2005 |
18672891658 * 4099# + 1591789579 |
210 |
4 |
1763 |
霍古基雲 (Jim Fougeron) |
2003 |
23963 + 1031392866 |
1500 |
4 |
1312 |
戴維斯 (Ken Davis) |
2005 |
4919761805 * 2999# + 6763 |
30 |
4 |
1284 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) / 亞林 (Torbjorn Alm) |
2002 |
111008 + 998672782 |
1080 |
4 |
1050 |
戴維斯 (Ken Davis) |
2005 |
111005 + 260495538 |
60 |
4 |
1047 |
戴維斯 (Ken Davis) |
2005 |
註：p# 為不少於 p 的素數相乘。
若我們從項數著眼，目前得到最長的連續素數組成的算術數列合共有 10 項，其首項為
p = 100 99697 24697 14247 63778 66555 87969 84032 95093 24689 19004 18036 03417 75890 43417 03348 88215 90672 29719
而公差則是 210。這組長達 93 數位的素數是由 托比歷 (Manfred Toplic) 於 1998 年找到的。
而他本人亦在同年較早時間找到另一組長達 9 項的連續素數組成的算術數列：
p = 99 67943 20667 01086 48449 06536 95853 56163 89823 64080 99161 83957 74048 58552 90714 75461 11479 96776 94651
這數列的公差同是 210，而亦達 92 數位之大。
參考文獻及網址：
Caldwell, C. K. "The Top Twenty: Consecutive Primes in Arithmetic Progression." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=13.
Ribenboim, P. "The Little Book of Bigger Prime" , New York: Springer-Verlag, 1991
Weisstein, E. W. "Arbitrarily Long Progressions of Primes." From MathWorld http://mathworld.wolfram.com/news/2004-04-12/primeprogressions/ .
