素數算術數列
法國數學家狄利克雷 (Peter Dirichlet 1805-1859)
(照片取自「The MacTutor History of Mathematics Achieve」http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/ )
所謂算術數列 (Arithmetric Progression) 又稱等差數列，即一數列中每相鄰的兩項的相差均一樣。
如 1, 3, 5, 7, ... 這是首項為 1，而公差為 2 的算術數列。
根據狄利克雷定理 (Dirichlet's Theorm)：任何等差數列，只要首項和公差互質，當中便傳有無限個素數。但到底又有多少個連續出現的素數呢？素算術數列 (Prime Arithmetric Progression) 會否有無限長呢？
人們因此對由素數組成的算術數列似乎很有興趣。
素數個數 n |
公差 d |
首項 a |
未項 a+(n-1)d |
發現年份 |
發現者 |
12 |
30030 |
23143 |
353473 |
1958 |
古魯比夫 (V. A. Golubev) |
13 |
510510 |
766439 |
6892559 |
1965 |
斯列甸斯基 (W. N. Seredonski) |
14 |
2462460 |
46883579 |
78895559 |
不詳 |
不詳 |
16 |
9699690 |
53297929 |
198793279 |
不詳 |
不詳 |
16 |
223092870 |
2236133941 |
5582526991 |
1969 |
胡治 (Stephen C. Root) |
17 |
87297210 |
3430751869 |
4827507229 |
1977 |
溫杜比 (S. Weintraub) |
18 |
717777060 |
4808316343 |
17010526363 |
不詳 |
比治赫特 (Paul Pritchard) |
19 |
4180566390 |
8297644387 |
83547839407 |
不詳 |
比治赫特 (Paul Pritchard) |
19 |
13608665070 |
244290205469 |
489246176729 |
1987 |
范利 (James Fry) |
20 |
2007835830 |
803467381001 |
841616261771 |
1987 |
范利 (James Fry) |
20 |
7643355720 |
1140997291211 |
1286221049891 |
1987 |
范利 (James Fry) |
20 |
18846497670 |
214861583621 |
572945039351 |
1987 |
楊格 (Jeffrey Young) / 范利 (James Fry) |
20 |
1140004565700 |
1845449006227 |
23505535754527 |
1990 |
摩仁 (Moran) / 比治赫特 (Paul Pritchard) |
20 |
19855265430 |
24845147147111 |
25222397190281 |
1990 |
摩仁 (Moran) / 比治赫特 (Paul Pritchard) |
21 |
1419763024680 |
142072321123 |
28537332814723 |
1990 |
摩仁 (Moran) / 比治赫特 (Paul Pritchard) |
22 |
4609098694200 |
11410337850553 |
108201410428753 |
1993 |
比治赫特 (Paul Pritchard) |
我們發現當中的公差 d 必須是每一個不大於 n 的素數的公倍數，才有機會成為一長 n 的素數算術數列。
而現在已知最大的素數算術數列下表列出：
算術數列首項 |
公差 |
項數 |
位數 |
發現者 |
發現年份 |
17 * 2429319 - 197 * 2202534
- 1 |
17 * 2429318 - 197 * 2202534 |
3 |
129240 |
馬克．安德遜 (Mark Anderson) / 格比斯治 (Peter Grobstich)
/ 布靴斯特 (David Broadhurst) |
2005 |
45 * 2368554 - 405769059
* 2180009 - 1 |
45 * 2368553 - 405769059
* 2180009 |
3 |
110948 |
孫輁 (Jiong Sun) |
2003 |
585 * (319 * 2119853 - 51)
* 2114843 + 1 |
585 * (319 * 2119852 - 51)
* 2114843 + 1 |
3 |
70656 |
布靴斯特 (David Broadhurst) |
2003 |
3247803 * 2229377 - 82953297
* 2180000 - 1 |
3247803 * 2229376 - 82953297
* 2180000 |
3 |
69056 |
布靴斯特 (David Broadhurst) |
2003 |
5050827 * 2200027 - 61769973
* 2180008 - 1 |
5050827 * 2200026 - 61769973
* 2180008 |
3 |
60221 |
孫輁 (Jiong Sun) |
2004 |
2617921 * 23159# + 1 |
197732 * 23159# |
4 |
10004 |
奧基斯 (Mike Oakes) |
2006 |
197418203 * 225000 + 6089 |
6090 |
3 |
7535 |
布靴斯特 (David Broadhurst) / 莫蘭 (Francois Morain) |
2005 |
62623049 * 225000 - 1 |
611721 * 225005 |
4 |
7534 |
布靴斯特 (David Broadhurst) |
2004 |
87 * 224582+ 2579 |
1290 |
3 |
7402 |
安德遜 (Jens Kruse Andersen) / 羅辛杜 (Hans Rosenthal)
/ 亞林 (Torbjorn Alm) |
2004 |
2349242649 * 223457 + 1 |
1514297625 * 223456 |
4 |
7071 |
Arvind Narayanan / 安達碧基 (David Underbakke) |
2001 |
參考文獻及網址：
Caldwell, C. K. "The Top Twenty: Arithmetic Progressions of Primes ." http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=14.
Ribenboim, P. "The Little Book of Bigger Prime" , New York: Springer-Verlag, 1991
