快樂的素數
快樂或不快樂
數也有快樂或不快樂的，說笑吧！
快樂數 (Happy Number) 的定義也頗為複雜，首先用 s1 來代表一正整數 s0 的所有數位的平方和，再以 s2 來代表 s1 的所有數位的平方和，如此下去。如果一數經過多次「轉化」後變成 1 的話，這數便快樂了。
不快樂數 (Unhappy Number) 的定義則簡單得多。MathWorld 的定義如下：
A number which is not happy is said to be unhappy. (一數不是快樂的便是不快樂。)
不只是數，人也是一樣。
我們看看例子吧：
不快樂數如 4 ，42=16 ，12+62=37 ，32+72=58 ， 接下來是 89、145、42、20，又回到 4 。原來不快樂數的「轉化」是最終周期性，它們不快樂的原因大概是因為兜圈子吧！
因為「轉化」過程是以數位的乘、加作計算，故任何數位重排也不會影響其快樂與否，如 23 是快樂數，32也是快樂的。
那麼什麼數是快樂的，在 100 以內有 1、7、10、13、19、23、28、31、32、44、49、68、70、79、82、86、91、94、97 和 100 。(OEIS A007770 )
當中不乏素數，這便快樂素數 (Happy Prime)， 如 7、13、19、23、31、79、97、103、109、139等。(OEIS A035497 )
快樂多次方
若我們把快樂數的轉化方式改變，改以各數位的立方和或四次方和，又會怎樣呢？
看看一例子吧！
立方和： 2 變成 8，接下來是 512、134、92、737、713、371，以後也是 371 了。
四次方和： 2 變成 16，接下來是 1297、8979、17154，接下來 8 次轉化後成了 8208，，以後也是 8208了。
我們不難發現若把次方擴大，會出現兩個情況：
1. 出現一些「奇點」，如立方中的 371，其實平方中的 1 也是「奇點」之一。
2. 出現循環的現象。
不過我們也可把「奇點」說成得一個數的循環。
於是數學家開始向這方面埋頭苦幹，尋找循環和奇點。
他們稱這循環為重現數字不變數 (Recurring Digital Invariant 或 RDI) 並以循環中最小的數為標記。數學家麥達奇 (Joseph S. Madachy)在這方面有一定貢獻，他的著作列出部份重現數位不變元的資料：
次數 |
RDI |
長度 |
2 |
4 |
8 |
3 |
55, 136, 160, 919 |
3, 2, 3, 2 |
4 |
1138, 2178 |
7, 2 |
5 |
244, 8294, 8299, 9044, 9045, 10933, 24584, 58618,
89883 |
28, 10, 6, 10, 22, 4, 12, 2, 2 |
6 |
17148, 63804, 93531, 239459, 282595 |
30, 2, 4, 10, 3 |
7 |
80441, 86874, 253074, 376762, 922428, 982108 以及其他五個數 |
92, 56, 27, 30, 14, 21 |
8 |
6822, 7973187, 8616804 |
|
9 |
322219, 2274831, 20700388, 以及其他十一個數 |
|
10 |
20818070 以及其他五個數 |
另外數學家亦發現一些數在經過一某次方的轉化後，依然故我，麥達奇稱這些數為完全數字不變數 (Perfect Digital Invariant 或 PDI)。而若次方數與數位剛好相同的話，我們便稱之為超完全數字不變數 (Pluperfect Digital Invariant 或 PPDI) 或簡單稱為自戀數或水仙花數 (Narcissistic Number) 或岩士唐數 (Armstrong Number) 。而 Narcissus 一人，依據希臘傳說， 他在池中倒影看到自己的反照並愛上了自己，可能是世上最早的自戀狂。
當然，我們知道隨著次方增大，數位乘方總和增長速度一定遠超過數字本身，故有不等式：
從不等式可以計出 n 最大為 60。而其實當 n 很大時，9 的出現次數也急速增加，減少了自戀數出現的可能。
而中國長沙國防科技大學計算機學院的劉江寧釆用不定方程的解法，證明 n>40 後無解，從而找出所有自戀數。
下表列出所有合共 88 個自戀數：
n 次數 |
n-自戀數 |
n 次數 |
n-自戀數 |
1 |
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
2 |
不存在 |
3 |
153, 370, 371, 407 |
4 |
1634, 8208, 9474 |
5 |
54748, 92727, 93084 |
6 |
548834 |
7 |
1741725, 4210818, 9800817, 9926315 |
8 |
24678050, 24678051, 88593477 |
9 |
146511208, 472335975, 534494836, 912985153 |
10 |
4679307774 |
11 |
32164049650, 32164049651, 40028394225,
42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914 |
12 |
不存在 |
13 |
不存在 |
14 |
28116440335967 |
15 |
不存在 |
16 |
4338281769391370, 4338281769391371 |
17 |
21897142587612075, 35641594208964132,
35875699062250035 |
18 |
不存在 |
19 |
1517841543307505039, 3289582984443187032,
4498128791164624869, 4929273885928088826 |
20 |
63105425988599693916 |
21 |
128468643043731391252, 499177399146038697307 |
22 |
不存在 |
23 |
21887696841122916288858, 27879694893054074471405,
27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943 |
24 |
174088005938065293023722, 188451485447897896036875,
239313664430041569350093 |
25 |
1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378,
3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938 |
26 |
不存在 |
27 |
121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376,
128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765 |
28 |
不存在 |
29 |
14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740,
19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295 |
30 |
不存在 |
31 |
1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639,
2309092682616190307509695338915 |
32 |
17333509997782249308725103962772 |
33 |
186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991 |
34 |
1122763285329372541592822900204593 |
35 |
12679937780272278566303885594196922 |
36 |
不存在 |
37 |
1219167219625434121569735803609966019 |
38 |
12815792078366059955099770545296129367 |
39 |
115132219018763992565095597973971522400,
115132219018763992565095597973971522401 |
n>39 |
不存在 |
參考文獻及網址：
Guy, R. K. "Happy Numbers." §E34 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 234-235, 1994.
Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 021-Happy Primes." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_021.htm.
Weisstein, E. W. "Happy Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/HappyNumber.html.
Weisstein, E. W. "Narcissistic Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/NarcissisticNumber.html.
Weisstein, E. W. "Recurring Digital Invariant." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/RecurringDigitalInvariant.html.
Weisstein, E. W."Unhappy Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/UnhappyNumber.html.
吳鶴齡 幻方及其他 - 娛樂數學經典名題' (第二版) , 北京：科學出版社, pp 203-206, 2003
談祥柏 "水仙花數"自 樂在其中的數學 , 北京：科學出版社, pp 282-286, 2005
