只有 1、2、3 的數列
看看這數列吧
1、11、21、1211、111221、312211、13112221、1113213211、31131211131221、...... (OEIS A005150)
這是一奇怪的數列，只有三個數字 - 1、2 和 3。
這我們稱為描述數列 (Descriptive Sequence) 或 自描數列 (Self-descriptive Sequence) 或 語言數列 (Look And Say Sequence)：總之名字多多。
起始為 1，第二項是描述第一項的結果，即有 1 個 1；第三項是描述第二項的結果，即有 2 個 1；第四項是描述第三項的結果，即有 1 個 2 和 1 個 1：如此下去。
我們不難找到三個結論：
數列是發散的。
數列的個位恒為 1。
數列中只有三個數字
- 1、2 和 3。
對於以上第一點，不用多作解釋，文字描述是費時的，哪有數字的簡潔！
第二點，也很自然，數列最後總是描述多少個 1，故新一項數自然是以 1 為個位了。
第三點則用多一丁點時間來解釋吧！若真的出現 4 (或以上的數字)，必然在前一項出現了 4 (或以上的數字) 或是連續出現了 4個 (或更多個) 相同的數字。當然第一個可能性最終推導的源頭也是第二個原因，因為開始為 1 ，不會無故出現 4 或以上的數字。但問題是會不會有 4個 (或更多個) 相同的數字連續出現呢？那就讓我們先看看有 4 個相同數字的情況吧！
假設出現了連續 4 個相同的數字 A，即 ......AAAA...... ，式中 ...... 代表其他數字，下同。若我們自最左數位開始以數位兩兩一組，那只有兩個可能性，一是這四個 A 分列兩組，即 ...... (AA)(AA) ...... 或置於三組，即 ...... (XA)(AA)(AY)......。
先談第一個可能性，即再前一項出現了 A 個 A 和 A 個 A ，但我們不會把這兩組相同的數字分開描述，只會說一句有 2A 個 A ，故出現這情況是不可能的。而第二個可能性又如何，即再前一項出現了 X 個 A 、A 個 A 和 A 個 Y，我們同樣地把 (X+A) 個 A 分開報數，是不可能的。因此出現 4 或以上的數字是不可能的，除非這個 4 或以上的數字是與生俱來的吧。
若我們開始的不是 1 ，而是其他由 2 至 9 的數字又如何，看看下表：
2 |
2, 12, 1112, 3112, 132112, 1113122112, 311311222112, ...... |
3 |
3, 13, 1113, 3113, 132113, 1113122113, 311311222113, ...... |
4 |
4, 14, 1114, 3114, 132114, 1113122114, 311311222114, ...... |
d |
d, 1d, 111d, 311d, 13211d, 111312211d, 31131122211d, ...... |
上表中 d 為 2 至 9 任何一數。我們不難發現當中的共通。
原來這些數列的數值是會漸近一代數式 T(n) = 
，
式中的 
=
1.567......、
=
1.814...... 、
= 1.3035772690342963912570991121525518907307025046594...... ，這
又稱為康韋常數 (Conway's Constant) (OEIS A014715)，而這常數竟是
的唯一正實根。
這數列中有素數嗎
如研究以 1 為首的那條描述數列，我們找到當中有 11、 312211、 13112221這三個素數，當然陸續有來的。
當中亦有數學家找尋連續的描述素數 (Descriptive Prime)，或會否出現全素的描述數列呢？其中康納卡 (G. L. Jr. Honaker) 便找到 373, 131713, 111311171113, 3113331173113 這一數列，可惜其下一項是一合數。而在 2003年，里弗華 (Carlos B. Rivera, 1950- )、基思 (Mike Keith) 和 華達．舒尼達 (Walter Schneider) 找到一長七項的描述數列始自 19972667609。會否有更長的全素的描述數列？我相信會有的。
參考文獻及網址：
Rivera, C. "Problems & Puzzles: Puzzle 036-Sequences of descriptive primes." http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_036.htm
Schneider, Walter. "Descriptive Primes" http://www.wschnei.de/digit-related-numbers/descriptive-primes.html
Weisstein, E. W. "Look And Say Sequence." From MathWorld http://mathworld.wolfram.com/LookandSaySequence.html .
談祥柏. "振盪與暴漲的語言數列" 自 樂在其中的數學 , 北京 : 科學出版社 , p. 333-335 , 2005
