殆完全數與擬完全數

因為尋找或推翻奇完全數 (Odd Perfect Number) 的研究都不易,數學家便訂立各類完全數的條件,希望對完全數 (Perfect Number) 多加認識。

殆完全數 (Almost Perfect Number) 即一數 n 的因子總和為 2n-1。若一數 n 的因子總和為 2n+1,則我們稱此數為擬完全數 (Quasi-perfect Number)。

我們知道所有 2 的冪數均是殆完全數,如 M=2k,而 M 的真因子 (Aliquot Divisor) 必為 21、22、...、2k-1、2k

其總和為 2+4+8+...+2k,即 2k+1-1= 2(2k)-1。

但不知有沒有其他類別的殆完全數。

而理論上擬完全數必是奇平方數,但卻未有存在例子。

看來這一分類暫未對完全數研究起了一些作用,還有待時間証明一切。

 

參考文獻及網址

Guy, R. K. "Almost Perfect, Quasi-Perfect, Pseudoperfect, Harmonic, Weird, Multiperfect and Hyperperfect Numbers." §B2 in Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, pp. 16 and 45-53, 1994.

Weisstein, E. W. "Almost Perfect Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/AlmostPerfectNumber.html.

Weisstein, E. W. "Quasiperfect Number." From MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/QuasiperfectNumber.html.

 

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