豐數、虧數和完全數

數的巧合

古代希臘人早已對一些數字特別喜愛，6 亦是其中一個。有人認為 6 是屬於愛美神維納斯 (Venus) 的，它象徵著美滿的婚姻；也有人 6 是完美之數，因上帝以六日創造宇宙......

為什麼 6 是完美呢？

原因可從 6 的「特性」看到，6 是一個合數，有因子 1、2、3 和 6。除去其本身 6 的其餘因子 (即真因子) (Aliquot Divisor) 總和，恰好是 6 本身，這樣的數實不多，我們稱為完全數 (Perfect Number)。

再看一例吧！28 ，28的真因子有 1、2、4、7 和14，其總和 1+2+4+7+14 = 28。

在自然數中，這巧合不易見，不是真因子總和 (Sum of Aliquot Divisors) 比原數大，稱為豐數、盈數或過剩數 (Abundant Number)；便是真因子總和比原數小，稱為虧數或不足數 (Deficient Number)。能巧合相等的完全數實不多。

我們亦有公式可計算一數的因子總和，即

s(n) = (p₁^r1+1-1)/(p₁-1) * (p₂^r2+1-1)/(p₂-1) * ...... * (p_k^rs+1-1)/(p_s-1)

式中的 p_i 為 n 的不同素因子，r_i 為該素因子的指數 (Index) ， i = 1, 2, 3, ....., s。

當然若這 s(n) 大於 2n ，這便是豐數；小於便是虧數；相等的便是完全數了。

(關於豐數的話題，可參看另文《豐數真面目》)

完全數

古希臘數學家歐幾里德 (Euclid 約前325 - 約前265) 已發現一條可給出完全數的公式：N=2^p-1(2^p-1)，當n>1 若 (2^p-1) 是素數，便可得出完全數。

例：取 p=2 得 2^2-1(2²-1)= 2*3=6；取 p=3 得2^3-1(2³-1)=4*7=28 ...... (OEIS A000396)

很容易理解，我們設 M = (2^p-1)，因 M 是素數，則N=2^p-1M的所有真因子為

1、2、2²、......、2^p-1、M、2M、2²M、......、2^p-2M

它們的和為

1+2+2²+......+2^p-1+M+2M+2²M+......+2^p-2M

=(1+2+2²+......+2^p-1)+(1+2+2²+......+2^p-2)M

=(2^p-1)+(2^p-1-1)M

=M+(2^p-1-1)M

=2^n-1M

這是一條可給出完全數的公式，但不是所有完全數都是以上述型式表出。

更多的完全數

到了公元 1 世紀，畢達哥拉斯學派的晚期學者尼科馬霍斯 (Nichomachus 約60 - 約120) 給出四個完全數： 6、28、496、8128，它們相當於 p = 2、3、5、7。由於完全數稀少，例子不多，難怪尼科馬霍斯也感慨的道：奇蹟發生了，世上善和美寥寥可數，惡和醜的東西卻比比皆是。自然數中遍佈雜亂的豐數和虧數，完全數卻以它特有的性質閃閃發光，珍奇而稀少。

此後 1000 多年，尋找完全數的工作裹足不前，按李約瑟 (Joseph Needham 1890-1995) 博士考証，1460年有一位不知名者找到了第五個完全數：335503369 ，即 p =13。在1603年，意大利數學家卡塔爾迪 (Pietro Antonio Cataldi 1548-1626) 發現了第六和第七個完全數：8589869056 和 137438691328 即 p = 17 和 19。

17世紀，法國數學家費馬 (Pierre de Fermat 1601-1665) 也研究過完全數，在1640年6月，他寫了一封信梅森 (Marin Mersenne 1588-1648) ，給定了三項研究基礎，從此研究偶完全數 (Even Perfect Number) 的工作和研究梅森素數 (Mersenne Prime) (形如 (2^p-1) 的素數) 的工作連在一起。可是梅森素數，本站有另文詳細介紹。這又是一稀有品種，屹今只發現了 42 個梅森素數，即只有 42 素個完全數，最大的一個是 p= 13466917 ，該完全數共有 8107893 個數位之多。欲見 42 個完全數，這邊有請。

尋找奇完全數

從歐幾里德的公式可知其答案一定是偶數，那麼是不是所有完全數都是偶數呢？或問會不會有奇完全數 (Odd Perfect Number) 呢？

現時在奇完全數猜想的研究是相當稚嫩，主要從下列多方面入手：

1. 奇完全數所含的不同素因子個數問題

最先在這方面取得成果是特凱尼諾夫 (A. Turcaninov) ，他在 1908 年証明了奇完全數有不少於 4 個不同的素因子，并由此推出奇完全數不小於二百萬。到了 1980年，希基斯 (P. Jr. Hagis) 證明了奇完全數有不少於 8 個不同的素因子。現在最好的結果是，不能被 3 整除的奇完全數至少含有 11 個不同的素因子，這是在 1983 年，由希基斯和基斯爾 (M Kishore) 各自證明的。

2. 奇完全數的下界問題

現在，借助電子計算機的高速，澳洲數學家布勒恩特 (Richard Brent 1946- ) 、高漢 (G. L. Cohen) 及拉依迪 (H. te Riele) 在 1991 年已經對 10³⁰⁰以內的範圍搜索，証明沒有奇完全數的影子。在奇完全數若真的存在，相信會是大得嚇人。

3. 奇完全數的積性結構

歐拉 (Leonhard Euler 1707-1783) 給出這方面的第一個結果：若奇完全數 N = p^e * k²，其中 p 為素數，p 不整除 k，且 p = e = 1 (mod 4)。關於 k 的類型也是數學家著力地方，其中 1971 年希基斯和麥丹尼爾 (W. L. McDamiel) 證明了 k 不是立方數。

4. 奇完全數的最大素因子

希基斯和高漢在 1998 年證明了奇完全數必定有一不少於 7 位數的素因子。

數學家們從多方面探討奇完全數的性質，也是基於奇完全數存在的假設。但我們看到一個一個更大的下界、一個一個更大的素因子得證，這只使是更相信奇完全數只是空中樓閣，根本不存在的，可惜但這一方面入手，路或更難走。

參考文獻及網址：

Ribenboim, P. "The Little Book of Bigger Prime" , New York: Springer-Verlag, 1991